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不定積分解題方法總結(jié) 摘要：在微分學(xué)中，不定積分是定積分、二重積分等的基礎(chǔ)，學(xué)好不定積分十分重要。然而在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循”。本文論述了筆者在學(xué)習(xí)過程中對(duì)不定積分解題方法的歸納和總結(jié)。 關(guān)鍵詞：不定積分；總結(jié)；解題方法 不定積分看似形式多樣，變幻莫測(cè)，但并不是毫無(wú)解題規(guī)律可言。本文所總結(jié)的是一般規(guī)律，并非所有相似題型都適用，具體情況仍需要具體分析。 1. 利用基本公式。（這就不多說了~） 2. 第一類換元法。（湊微分） 設(shè)f(μ)具有原函數(shù)F(μ)。則 其中可微。 用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容，同時(shí)為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實(shí)在看不清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2： 例1： 【解】 例2： 【解】 3. 第二類換元法： 設(shè)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且具有原函數(shù)，則有換元公式 第二類換元法主要是針對(duì)多種形式的無(wú)理根式。常見的變換形式需要熟記會(huì)用。主要有以下幾種： （7）當(dāng)根號(hào)內(nèi)出現(xiàn)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式時(shí)一般用代去根號(hào)。 但當(dāng)根號(hào)內(nèi)出現(xiàn)高次冪時(shí)可能保留根號(hào)， （7）當(dāng)根號(hào)內(nèi)出現(xiàn)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式時(shí)一般用代去根號(hào)。 但當(dāng)根號(hào)內(nèi)出現(xiàn)高次冪時(shí)可能保留根號(hào)， 4. 分部積分法. 公式： 分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點(diǎn)，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取時(shí)，通?；谝韵聝牲c(diǎn)考慮： （1） 降低多項(xiàng)式部分的系數(shù) （2） 簡(jiǎn)化被積函數(shù)的類型 舉兩個(gè)例子吧~！ 例3： 【解】觀察被積函數(shù)，選取變換,則 例4： 【解】 上面的例3，降低了多項(xiàng)式系數(shù)；例4，簡(jiǎn)化了被積函數(shù)的類型。 有時(shí)，分部積分會(huì)產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。 在中，的選取有下面簡(jiǎn)單的規(guī)律： 將以上規(guī)律化成一個(gè)圖就是： （a^x arcsinx） （lnx Pm(x) sinx) ν μ 但是，當(dāng)時(shí)，是無(wú)法求解的。 對(duì)于（3）情況，有兩個(gè)通用公式： （分部積分法用處多多~在本冊(cè)雜志的《涉及l(fā)nx的不定積分》中，?？梢钥吹椒植糠e分） 5 不定積分中三角函數(shù)的處理 1.分子分母上下同時(shí)加、減、乘、除某三角函數(shù)。 被積函數(shù)上下同乘變形為 令，則為 2.只有三角函數(shù)時(shí)盡量尋找三角函數(shù)之間的關(guān)系，注意的使用。 三角函數(shù)之間都存在著轉(zhuǎn)換關(guān)系。被積函數(shù)的形式越簡(jiǎn)單可能題目會(huì)越難，適當(dāng)?shù)氖褂萌呛瘮?shù)之間的轉(zhuǎn)換可以使解題的思路變得清晰。 3. 函數(shù)的降次 ①形如積分（m，n為非負(fù)整數(shù)） 當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，可令，于是 ， 轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的積分 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可令，于是 ， 同樣轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的積分。 當(dāng)m，n均為偶數(shù)時(shí)，可反復(fù)利用下列三角公式： 不斷降低被積函數(shù)的冪次，直至化為前兩種情形之一為止。 ② 形如和的積分（n為正整數(shù)） 令，則，，從而 已轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分。 類似地，可通過代換轉(zhuǎn)為成有理函數(shù)的積分。 ③形如和的積分（n為正整數(shù)） 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若令，則，于是 已轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式的積分。 類似地，可通過代換轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分。 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，利用分部積分法來求即可。 4.當(dāng)有x與三角函數(shù)相乘或除時(shí)一般使用分部積分法。 5. 幾種特殊類型函數(shù)的積分。 （1） 有理函數(shù)的積分 有理函數(shù)先化為多項(xiàng)式和真分式之和，再把分解為若干個(gè)部分分式之和。（對(duì)各部分分式的處理可能會(huì)比較復(fù)雜。出現(xiàn)時(shí)，記得用遞推公式：） 1.有理真分式化為部分分式之和求解 ①簡(jiǎn)單的有理真分式的拆分 ②注意分子和分母在形式上的聯(lián)系 此類題目一般還有另外一種題型： 2.注意分母（分子）有理化的使用 例5： 【解】 故不定積分求得。 （2）三角函數(shù)有理式的積分 萬(wàn)能公式： 的積分，但由于計(jì)算較煩，應(yīng)盡量避免。 對(duì)于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系數(shù) 來做。（注：沒舉例題并不代表不重要~） （3） 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分 一般用第二類換元法中的那些變換形式。 像一些簡(jiǎn)單的，應(yīng)靈活運(yùn)用。如：同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可令；同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可令；同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可令x=sint；同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可令x=cost等等。 （4）善于利用，因?yàn)槠淝髮?dǎo)后不變。 這道題目中首先會(huì)注意到，因?yàn)槠湫问奖容^復(fù)雜。但是可以發(fā)現(xiàn)其求導(dǎo)后為與分母差，另外因?yàn)榍髮?dǎo)后不變，所以容易想到分子分母同乘以。 （5）某些題正的不行倒著來 這道題換元的思路比較奇特，一般我們會(huì)直接使用，然而這樣的換元方法是解不出本題的。我概括此類題的方法為“正的不行倒著來”，當(dāng)這類一般的換元法行不通時(shí)嘗試下。這種思路類似于證明題中的反證法。 （6）注意復(fù)雜部分求導(dǎo)后的導(dǎo)數(shù) 注意到: 本題把被積函數(shù)拆為三部分：，的分子為分母的導(dǎo)數(shù)，的值為1，的分子為分母因式分解后的一部分。此類題目出現(xiàn)的次數(shù)不多，一般在競(jìng)賽中出現(xiàn)。 （7）對(duì)于型積分，考慮的符號(hào)來確定取不同的變換。 如果，設(shè)方程兩個(gè)實(shí)根為，令 ， 可使上述積分有理化。 如果，則方程沒有實(shí)根，令 ， 可使上述積分有理化。此中情況下，還可以設(shè) ， 至于采用哪種替換，具體問題具體分析。