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基本知識 排列與元素的順序有關，組合與順序無關．如231與213是兩個排列，2＋3＋1的和與2＋1＋3的和是一個組合． (一)兩個基本原理是排列和組合的基礎 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn種不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn種不同的方法． 這里要注意區(qū)分兩個原理，要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問題，第一類中的方法都是獨立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理． 這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來． (二)排列和排列數(shù) (1)排列：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列． 從排列的意義可知，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序必須完全相同，這就告訴了我們?nèi)绾闻袛鄡蓚€排列是否相同的方法． (2)排列數(shù)公式：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列 ,當m＝n時，為全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！ (三)組合和組合數(shù) (1)組合：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一個組合． 從組合的定義知，如果兩個組合中的元素完全相同，不管元素的順序如何，都是相同的組合；只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合． (2)組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個 這里要注意排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系，從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素，“按照一定的順序排成一列”與“不管怎樣的順序并成一組”這是有本質區(qū)別的． 一、排列組合部分是中學數(shù)學中的難點之一，原因在于 (1)從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學模型，需要較強的抽象思維能力 (2)限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關鍵性詞(特別是邏輯關聯(lián)詞和量詞)準確理解； (3)計算手段簡單，與舊知識聯(lián)系少，但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大； (4)計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，并具有較強的分析能力。 二、兩個基本計數(shù)原理及應用 (1)加法原理和分類計數(shù)法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分類的要求 每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏) (2)乘法原理和分步計數(shù)法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同 [例題分析]排列組合思維方法選講 1．首先明確任務的意義 例1. 從1、2、3、……、20這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有________個。 分析：首先要把復雜的生活背景或其它數(shù)學背景轉化為一個明確的排列組合問題。 設a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c決定， 又∵ 2b是偶數(shù)，∴ a,c同奇或同偶，即：從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個數(shù)中選出兩個數(shù)進行排列，由此就可確定等差數(shù)列，因而本題為2=180。 例2. 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從M到N有多少種不同的走法? 分析：對實際背景的分析可以逐層深入 （一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。 （二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。 （三）事實上，當把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。 從而，任務可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)， ∴ 本題答案為：=56。 2．注意加法原理與乘法原理的特點，分析是分類還是分步，是排列還是組合 例3．在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。 分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不容易用一個包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。 第一類：A在第一壟，B有3種選擇； 第二類：A在第二壟，B有2種選擇； 第三類：A在第三壟，B有一種選擇， 同理A、B位置互換 ，共12種。 例4．從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析：顯然本題應分步解決。 （一）從6雙中選出一雙同色的手套，有種方法； （二）從剩下的十只手套中任選一只，有種方法。 （三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有種方法； （四）由于選取與順序無關，因而（二）（三）中的選法重復一次，因而共240種。 例5．身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_______。 分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關系，共有三縱列，從而有=90種。 例6．在11名工人中，有5人只能當鉗工，4人只能當車工，另外2人能當鉗工也能當車工?，F(xiàn)從11人中選出4人當鉗工，4人當車工，問共有多少種不同的選法? 分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標準必須前后統(tǒng)一。 以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當中有幾個去當鉗工為分類標準。 第一類：這兩個人都去當鉗工，有種； 第二類：這兩人有一個去當鉗工，有種； 第三類：這兩人都不去當鉗工，有種。 因而共有185種。 例7．現(xiàn)有印著0，l，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數(shù)? 分析：有同學認為只要把0，l，3，5，7，9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實際上抽出的三個數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。 抽出的三數(shù)含0，含9，有種方法； 抽出的三數(shù)含0不含9，有種方法； 抽出的三數(shù)含9不含0，有種方法； 抽出的三數(shù)不含9也不含0，有種方法。 又因為數(shù)字9可以當6用，因此共有2×(+)++=144種方法。 例8．停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是________種。 分析：把空車位看成一個元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有種停車方法。 3．特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮 例9．六人站成一排，求 (1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù) (2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù) 分析：（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。 第一類：乙在排頭，有種站法。 第二類：乙不在排頭，當然他也不能在排尾，有種站法， 共+種站法。 （2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。 第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。 第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。 第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。 共+2+=312種。 例10．對某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進行一一測試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能? 分析：本題意指第五次測試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個次品，因而第五次測試應算是特殊位置了，分步完成。 第一步：第五次測試的有種可能； 第二步：前四次有一件正品有中可能。 第三步：前四次有種可能。 ∴ 共有種可能。 4．捆綁與插空 例11. 8人排成一隊 (1)甲乙必須相鄰 (2)甲乙不相鄰 (3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 (4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰 (5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰 分析：（1）有種方法。 （2）有種方法。 （3）有種方法。 （4）有種方法。 （5）本題不能用插空法，不能連續(xù)進行插空。 用間接解法：全排列-甲乙相鄰-丙丁相鄰+甲乙相鄰且丙丁相鄰，共--+=23040種方法。 例12. 某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況? 分析：∵ 連續(xù)命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個空中選出2個的排列，即。 例13. 馬路上有編號為l，2，3，……，10 十個路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關掉的情況下，求滿足條件的關燈方法共有多少種? 分析：即關掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。 ∴ 共=20種方法。 5．間接計數(shù)法. (1)排除法 例14. 三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成多少個三角形? 分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。 所求問題的方法數(shù)=任意三個點的組合數(shù)-共線三點的方法數(shù)， ∴ 共種。 例15．正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體? 分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點的組合數(shù)-共面四點的方法數(shù)， ∴ 共-12=70-12=58個。 例16. l，2，3，……，9中取出兩個分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個不同數(shù)值的對數(shù)? 分析：由于底數(shù)不能為1。 （1）當1選上時，1必為真數(shù)，∴ 有一種情況。 （2）當不選1時，從2--9中任取兩個分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其中l(wèi)og24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94. 因而一共有53個。 (3)補上一個階段，轉化為熟悉的問題 例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢? 分析：（一）實際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對稱，具有相同的排法數(shù)。因而有=360種。 （二）先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復了種， ∴ 共=120種。 例18．5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法? 分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復了次。因而有=9×8×7×6=3024種。 若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法， 同理也有3024種，綜上，有6048種。 例19. 三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法? 分析：先認為三個紅球互不相同，共種方法。而由于三個紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共=20種。 6．擋板的使用 例20．10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法? 分析：把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當于一種分配方式。因而共36種。 7．注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系： 所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段(排序)可轉化為排列問題。 例21. 從0，l，2，……，9中取出2個偶數(shù)數(shù)字，3個奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)? 分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。 （一）兩個選出的偶數(shù)含0，則有種。 （二）兩個選出的偶數(shù)字不含0，則有種。 例22. 電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法? 分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。 （二）選擇10層中的四層下樓有種。 ∴ 共有種。 例23. 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)， (1)可組成多少個不同的四位數(shù)? (2)可組成多少個不同的四位偶數(shù)? (3)可組成多少個能被3整除的四位數(shù)? (4)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85項是什么? 分析：（1）有個。 （2）分為兩類：0在末位，則有種：0不在末位，則有種。 ∴ 共+種。 （3）先把四個相加能被3整除的四個數(shù)從小到大列舉出來，即先選 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4×()+=96種。 （4）首位為1的有=60個。 前兩位為20的有=12個。 前兩位為21的有=12個。 因而第85項是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301。 8．分組問題 例24. 6本不同的書 (1) 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法? (2) 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？ (3) 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？ (4) 甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法? (5) 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法? 分析：（1）有中。 (2）即在（1）的基礎上除去順序，有種。 （3）有種。由于這是不平均分組，因而不包含順序。 （4）有種。同（3），原因是甲，乙，丙持有量確定。 （5）有種。 例25. 6人分乘兩輛不同的車，每車最多乘4人，則不同的乘車方法為_______。 分析：（一）考慮先把6人分成2人和4人，3人和3人各兩組。 第一類：平均分成3人一組，有種方法。 第二類：分成2人，4人各一組，有種方法。 （二）再考慮分別上兩輛不同的車。 綜合（一）（二），有種。 例26. 5名學生分配到4個不同的科技小組參加活動，每個科技小組至少有一名學生參加，則分配方法共有________種. 分析：（一）先把5個學生分成二人，一人，一人，一人各一組。 其中涉及到平均分成四組，有=種分組方法。 （二）再考慮分配到四個不同的科技小組，有種， 由（一）（二）可知，共=240種。