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高中解析幾何專題（精編版） 1. （天津文）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2。點(diǎn)滿足 （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若直線PF2與圓相交于M，N兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程。 【解析】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問題能力與運(yùn)算能力，滿分13分。 （Ⅰ）解：設(shè)，因?yàn)椋? 所以，整理得（舍） 或 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，可得橢圓方程為，直線FF2的方程為 A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去并整理，得。解得，得方程組的解 不妨設(shè)，， 所以 于是 圓心到直線PF2的距離 因?yàn)椋? 整理得，得（舍），或 所以橢圓方程為 2. 已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為（,0），斜率為I的直線與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3,2）. （I）求橢圓G的方程； （II）求的面積. 【解析】 解：（Ⅰ）由已知得 解得 又 所以橢圓G的方程為 （Ⅱ）設(shè)直線l的方程為 由得 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為AB中點(diǎn)為E， 則 因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊， 所以PE⊥AB. 所以PE的斜率 解得m=2。 此時(shí)方程①為 解得 所以 所以|AB|=. 此時(shí)，點(diǎn)P（—3，2）到直線AB：的距離 所以△PAB的面積S= 3. (全國大綱文)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為的直線與C交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足 （Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上； （II）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上。 【解析】22．解：（I）F（0，1），的方程為， 代入并化簡得 …………2分 設(shè) 則 由題意得 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為 經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)P的坐標(biāo)為滿足方程 故點(diǎn)P在橢圓C上。 （II）由和題設(shè)知， PQ的垂直一部分線的方程為 ① 設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則，AB的垂直平分線為的方程為 ② 由①、②得的交點(diǎn)為 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知A、P、B、Q四點(diǎn)在以N為圓心，NA為半徑的圓上。 4. （全國新文）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上． （I）求圓C的方程； （II）若圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，且求a的值． 【解析】解：（Ⅰ）曲線與y軸的交點(diǎn)為（0，1），與x軸的交點(diǎn)為（ 故可設(shè)C的圓心為（3，t），則有解得t=1. 則圓C的半徑為 所以圓C的方程為 （Ⅱ）設(shè)A（），B（），其坐標(biāo)滿足方程組： 消去y，得到方程 由已知可得，判別式 因此，從而 ① 由于OA⊥OB，可得 又所以 ② 由①，②得，滿足故 5. （遼寧文）如圖，已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O，長軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D． （I）設(shè)，求與的比值； （II）當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由． 【解析】解：（I）因?yàn)镃1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè) 設(shè)直線，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得 ………………4分 當(dāng)表示A，B的縱坐標(biāo)，可知 ………………6分 （II）t=0時(shí)的l不符合題意.時(shí)，BO//AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即 解得 因?yàn)? 所以當(dāng)時(shí)，不存在直線l，使得BO//AN； 當(dāng)時(shí)，存在直線l使得BO//AN. ………………12分 6. （江西文）已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于和兩點(diǎn)，且, （1）求該拋物線的方程； （2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值． 【解析】19．（本小題滿分12分） （1）直線AB的方程是， 與聯(lián)立，從而有 所以： 由拋物線定義得： 所以p=4，從而拋物線方程是 （2）由可簡化為 從而 設(shè) 又 即 解得 7. （山東文）22．（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓．如圖所示，斜率為且不過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?， （i）求證：直線過定點(diǎn)； （ii）試問點(diǎn)，能否關(guān)于軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí)的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說明理由． 【解析】22．（I）解：設(shè)直線， 由題意， 由方程組得 ， 由題意， 所以 設(shè)， 由韋達(dá)定理得所以 由于E為線段AB的中點(diǎn)，因此 此時(shí)所以O(shè)E所在直線方程為 又由題設(shè)知D（-3，m），令x=-3，得，即mk=1， 所以當(dāng)且僅當(dāng)m=k=1時(shí)上式等號(hào)成立， 此時(shí) 由得因此 當(dāng)時(shí)， 取最小值2。 （II）（i）由（I）知OD所在直線的方程為 將其代入橢圓C的方程，并由 解得，又， 由距離公式及得 由 因此，直線的方程為 所以，直線 （ii）由（i）得 若B，G關(guān)于x軸對(duì)稱， 則 代入 即， 解得（舍去）或 所以k=1， 此時(shí)關(guān)于x軸對(duì)稱。 又由（I）得所以A（0，1）。 由于的外接圓的圓心在x軸上，可設(shè)的外接圓的圓心為（d，0）， 因此 故的外接圓的半徑為， 所以的外接圓方程為 8. （陜西文）17．（本小題滿分12分） 設(shè)橢圓C: 過點(diǎn)（0，4），離心率為 （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。 【解析】17．解（Ⅰ）將（0，4）代入C的方程得 ?∴b=4 又 得 即， ?∴a=5 ?∴C的方程為 （?Ⅱ）過點(diǎn)且斜率為的直線方程為， 設(shè)直線與Ｃ的交點(diǎn)為Ａ，Ｂ， 將直線方程代入Ｃ的方程，得 ， 即，解得 ，， AB的中點(diǎn)坐標(biāo)， ， 即中點(diǎn)為。 注：用韋達(dá)定理正確求得結(jié)果，同樣給分。 9. （上海文）22．（16分）已知橢圓（常數(shù)），點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，是右頂點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為。 （1）若與重合，求的焦點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若，求的最大值與最小值； （3）若的最小值為，求的取值范圍。 【解析】22．解：⑴ ，橢圓方程為， ∴ 左．右焦點(diǎn)坐標(biāo)為。 ⑵ ，橢圓方程為，設(shè)，則 ∴ 時(shí)； 時(shí)。 ⑶ 設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則 ∵ 當(dāng)時(shí)，取最小值，且，∴ 且 解得。 10. （四川文）21．（本小題共l2分） 過點(diǎn)C(0，1)的橢圓的離心率為，橢圓與x軸交于兩點(diǎn)、，過點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q． （I）當(dāng)直線l過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長； （Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：為定值． 本小題主要考查直線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及基本性質(zhì)等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的思想方法及推理運(yùn)算能力． 解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以橢圓方程為． 橢圓的右焦點(diǎn)為，此時(shí)直線的方程為 ，代入橢圓方程得 ，解得，代入直線的方程得 ，所以， 故． （Ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)與題意不符． 設(shè)直線的方程為．代入橢圓方程得． 解得，代入直線的方程得， 所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為． 又直線AC的方程為，又直線BD的方程為，聯(lián)立得 因此，又． 所以． 故為定值． 11. （浙江文）（22）（本小題滿分15分）如圖，設(shè)P是拋物線：上的動(dòng)點(diǎn)。過點(diǎn)做圓的兩條切線，交直線：于兩點(diǎn)。 （Ⅰ）求的圓心到拋物線 準(zhǔn)線的距離。 （Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使線段被拋物線在點(diǎn)處得切線平分，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。 【解析】（22）本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線、直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力。滿分15分。 （Ⅰ）解：因?yàn)閽佄锞€C1的準(zhǔn)線方程為： 所以圓心M到拋物線C1準(zhǔn)線的距離為： （Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，拋物線C1在點(diǎn)P處的切線交直線于點(diǎn)D。 再設(shè)A，B，D的橫坐標(biāo)分別為 過點(diǎn)的拋物線C1的切線方程為： （1） 當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P（1，1）與圓C2的切線PA為： 可得 當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P（—1，1）與圓C2的切線PA為： 可得 所以 設(shè)切線PA，PB的斜率為，則 （2） （3） 將分別代入（1），（2），（3）得 從而 又 即 同理， 所以是方程的兩個(gè)不相等的根，從而 因?yàn)? 所以 從而 進(jìn)而得 綜上所述，存在點(diǎn)P滿足題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 12. （重慶文）21．（本小題滿分12分。（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問8分） 如題（21）圖，橢圓的中心為原點(diǎn)0，離心率e=，一條準(zhǔn)線的方程是 （Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：，其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在定點(diǎn)F，使得與點(diǎn)P到直線l：的距離之比為定值；若存在，求F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。 【解析】21．（本題12分） 解：（I）由 解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （II）設(shè)，則由 得 因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓上，所以 ， 故 設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知 因此 所以 所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，該橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率是該橢圓的右準(zhǔn)線，故根據(jù)橢圓的第二定義，存在定點(diǎn)，使得|PF|與P點(diǎn)到直線l的距離之比為定值。 13. （安徽文）（17）（本小題滿分13分） 設(shè)直線 （I）證明與相交； （II）證明與的交點(diǎn)在橢圓 【解析】（17）（本小題滿分13分）本題考查直線與直線的位置關(guān)系，線線相交的判斷與證明，點(diǎn)在曲線上的判斷與證明，橢圓方程等基本知識(shí)，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力. 證明：（I）反證法，假設(shè)是l1與l2不相交，則l1與l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得 此與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾. 從而相交. （II）（方法一）由方程組 解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為 而 此即表明交點(diǎn) （方法二）交點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足 整理后，得 所以交點(diǎn)P在橢圓 14. （福建文）18．（本小題滿分12分） 如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點(diǎn)A。 （I）求實(shí)數(shù)b的值； （11）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 。【解析】18．本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，滿分12分。 解：（I）由，（*） 因?yàn)橹本€與拋物線C相切，所以 解得b=-1。 （II）由（I）可知， 解得x=2，代入 故點(diǎn)A（2，1）， 因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切， 所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y=-1的距離， 即 所以圓A的方程為 15. （湖北文）21．（本小題滿分14分）平面內(nèi)與兩定點(diǎn)、（）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上、A2兩點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線。 （Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線為；對(duì)給定的，對(duì)應(yīng)的曲線為，設(shè)、是的兩個(gè)焦點(diǎn)。試問：在上，是否存在點(diǎn)，使得△的面積。若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。 【解析】21．本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理運(yùn)算的能力，以及分類與整合和數(shù)形結(jié)合的思想。（滿分14分） 解：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為， 當(dāng)時(shí)，由條件可得 即， 又的坐標(biāo)滿足 故依題意，曲線C的方程為 當(dāng)曲線C的方程為是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓； 當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是圓心在原點(diǎn)的圓； 當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓； 當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。 （II）由（I）知，當(dāng)m=-1時(shí)，C1的方程為 當(dāng)時(shí)， C2的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 對(duì)于給定的， C1上存在點(diǎn)使得的充要條件是 ② ① 由①得由②得 當(dāng) 或時(shí)， 存在點(diǎn)N，使S=|m|a2； 當(dāng) 或時(shí)， 不存在滿足條件的點(diǎn)N， 當(dāng)時(shí)， 由， 可得 令， 則由， 從而， 于是由， 可得 綜上可得： 當(dāng)時(shí)，在C1上，存在點(diǎn)N，使得 當(dāng)時(shí)，在C1上，存在點(diǎn)N，使得 當(dāng)時(shí)，在C1上，不存在滿足條件的點(diǎn)N。 16. （湖南文）21．（本小題滿分13分） 已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離的差等于1． （Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與軌跡相交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，求的最小值. 【解析】21．解析：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 由題意為 化簡得 當(dāng)、 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為 （II）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為． 由，得 設(shè)則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是 ． 因?yàn)椋缘男甭蕿椋? 設(shè)則同理可得 故 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最小值16． 17. （廣東文）21．（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)A，設(shè)是上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP （1）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程； （2）已知T（1，-1），設(shè)H是E 上動(dòng)點(diǎn),求+的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)； （3）過點(diǎn)T（1，-1）且不平行與y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率k的取值范圍。 【解析】21．（本小題滿分14分） 解：（1）如圖1，設(shè)MQ為線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)Q， 因此即 ① 另一種情況，見圖2（即點(diǎn)M和A位于直線OP的同側(cè)）。 MQ為線段OP的垂直平分線， 又 因此M在軸上，此時(shí)，記M的坐標(biāo)為 為分析的變化范圍，設(shè)為上任意點(diǎn) 由 （即）得， 故的軌跡方程為 ② 綜合①和②得，點(diǎn)M軌跡E的方程為 18. （江蘇）18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k （1）當(dāng)直線PA平分線段MN，求k的值； （2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d； （3）對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB 【解析】18．本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，滿分16分. 解：（1）由題設(shè)知，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以 （2）直線PA的方程 解得 于是直線AC的斜率為 （3）解法一： 將直線PA的方程代入 則 故直線AB的斜率為 其方程為 解得. 于是直線PB的斜率 因此 解法二： 設(shè). 設(shè)直線PB，AB的斜率分別為因?yàn)镃在直線AB上，所以 從而 因此 www.zxsx.com 18