三元一次方程及其解法.doc
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。 三元一次方程組及其解法 1.三元一次方程的定義:含有三個未知數(shù)的一次整式方程 2.三元一次方程組:由三個一次方程(一元、二元或三元)組成并含有三個未知數(shù)的方程組叫做三元一次方程組 3. 三元一次方程組的解:能使三個方程左右兩邊都成立的三個未知數(shù)的值 解題思路:利用消元思想使三元變二元,再變一元 4. 三元一次方程組的解法:用代入法或加減法消元,即通過消元將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組,再轉(zhuǎn)化為一元一次方程. 例題解析 一、三元一次方程組之特殊型 例1:解方程組 分析:方程③是關(guān)于x的表達(dá)式,通過代入消元法可直接轉(zhuǎn)化為二元一次方程組,因此確定“消x”的目標(biāo)。 解法1:代入法,消x. 把③分別代入①、②得 解得 把y=2代入③,得x=8. ∴ 是原方程組的解. 根據(jù)方程組的特點,可歸納出此類方程組為: 類型一:有表達(dá)式,用代入法型. 針對上例進(jìn)而分析,方程組中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能達(dá)到消元構(gòu)成二元一次方程組的目的。 解法2:消z. ①×5得 5x+5y+5z=60 ④ ④-② 得 4x+3y=38 ⑤ 由③、⑤得 解得 把x=8,y=2代入①得z=2. ∴ 是原方程組的解. 根據(jù)方程組的特點,可歸納出此類方程組為: 類型二:缺某元,消某元型. 例2:解方程組 分析:通過觀察發(fā)現(xiàn)每個方程未知項的系數(shù)和相等;每一個未知數(shù)的系數(shù)之和也相等,即系數(shù)和相等。具備這種特征的方程組,我們給它定義為“輪換方程組”,可采取求和作差的方法較簡潔地求出此類方程組的解。 解:由①+②+③得4x+4y+4z=48, 即x+y+z=12 .④ ①-④得 x=3, ②-④得 y=4, ③-④得 z=5, ∴ 是原方程組的解. 典型例題舉例:解方程組 解:由①+②+③得2(x+y+z)=60 , 即x+y+z=30 .④ ④-①得 z=10, ④-②得 y=11, ④-③得 x=9, ∴ 是原方程組的解. 根據(jù)方程組的特點,由學(xué)生歸納出此類方程組為: 類型三:輪換方程組,求和作差型. 例3:解方程組 分析1:觀察此方程組的特點是未知項間存在著比例關(guān)系,根據(jù)以往的經(jīng)驗,看見比例式就會想把比例式化成關(guān)系式求解,即由x:y=1:2得y=2x; 由x:z=1:7得z=7x.從而從形式上轉(zhuǎn)化為三元一次方程組的一般形式,即,根據(jù)方程組的特點,可選用“有表達(dá)式,用代入法”求解。 解法1:由①得y=2x,z=7x ,并代入②,得x=1. 把x=1,代入y=2x,得y=2; 把x=1,代入z=7x,得 z=7. ∴ 是原方程組的解. 分析2:由以往知識可知遇比例式時,可設(shè)一份為參數(shù)k,因此由方程①x:y:z=1:2:7,可設(shè)為x=k,y=2k,z=7k.從而也達(dá)到了消元的目的,并把三元通過設(shè)參數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為一元,可謂一舉多得。 解法2:由①設(shè)x=k,y=2k,z=7k,并代入②,得k=1. 把k=1,代入x=k,得x=1; 把k=1,代入y=2k,得y=2; 把k=1,代入z=7k,得 z=7. ∴ 是原方程組的解. 典型例題舉例:解方程組 分析1:觀察此方程組的特點是方程②、③中未知項間存在著比例關(guān)系,由例3的解題經(jīng)驗,易選擇將比例式化成關(guān)系式求解,即由②得x = y; 由③得z=.從而利用代入法求解。 解法1:略. 分析2:受例3解法2的啟發(fā),想使用設(shè)參數(shù)的方法求解,但如何將②、③轉(zhuǎn)化為x:y:z的形式呢?通過觀察發(fā)現(xiàn)②、③中都有y項,所以把它作為橋梁,先確定未知項y比值的最小公倍數(shù)為15,由②×5得y:x=15:10 ,由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的方程組形式,就能解決了。 解法2:由②、③得 x:y:z=10:15:12. 設(shè)x=10k,y=15k,z=12k,并代入①,得k=3. 把k=3,代入x=10k,得x=30; 把k=3,代入y=15k,得y=45; 把k=3,代入z=12k,得 z=36. ∴ 是原方程組的解. 根據(jù)方程組的特點,由學(xué)生歸納出此類方程組為: 類型四:遇比例式找關(guān)系式,遇比設(shè)元型. 二、三元一次方程組之一般型 例4:解方程組 分析:對于一般形式的三元一次方程組的求解,應(yīng)該認(rèn)清兩點:一是確立消元目標(biāo)——消哪個未知項;二是在消元的過程中三個方程式如何正確的使用,怎么才能做到“目標(biāo)明確,消元不亂”,為此歸納出: (一) 消元的選擇 1.選擇同一個未知項系數(shù)相同或互為相反數(shù)的那個未知數(shù)消元; 2.選擇同一個未知項系數(shù)最小公倍數(shù)最小的那個未知數(shù)消元。 (二) 方程式的選擇 采取用不同符號標(biāo)明所用方程,體現(xiàn)出兩次消元的過程選擇。 解: (明確消z,并在方程組中體現(xiàn)出來——畫線) ①+③ 得5x+2y=16, ④ (體現(xiàn)第一次使用在①③后做記號√) ②+③ 得3x+4y=18, ⑤ (體現(xiàn)第二次使用在②③后做不同記號△) 由④、⑤得 解得 把x=2 ,y=3代人②,得 z=1. ∴ 是原方程組的解. 典型例題舉例:解方程組 分析:通過比較發(fā)現(xiàn)未知項y的系數(shù)的最小公倍數(shù)最小,因此確定消y。以方程②作為橋梁使用,達(dá)到消元求解的目的。 解:②×2 得 6x-4y+10z=22, ④ 2x +4y+ 3z=9, ① ①+④ 得 8x +13z=31 . ⑤ ②×3 得 9x-6y+15z=33 ,⑥ 5x-6y+7z =13, ③ ⑥-③得 4x +8z =20 . x +2z=5 . ⑦ 由⑤、⑦得 解得 把x=-1 ,z=3代人① ,得 . ∴ 是原方程組的解. 在此需要說明的是,每一個三元一次方程組的求解方法都不是唯一的,需要進(jìn)一步的觀察,但是學(xué)生只要掌握了最基本的解方程組思想和策略,就可以以不變應(yīng)萬變,就可以很容易的學(xué)會三元一次方程組的解法。 課堂練習(xí) 1.解下列方程組 (1) (2) 2.解下列方程組 (1) (2) 3.有這樣一個數(shù)學(xué)題:在等式中,當(dāng)x=1時,y=1;當(dāng)y=3時,y=9,當(dāng)x=5時,y=5. (1)請你列出關(guān)于a,b,c的方程組.這是一個三元三次方程組嗎? (2)你能求出a,b,c的值嗎? 4.解方程組 5.解方程組 6. 解方程組 7. 解方程組, 三元一次方程組的實際應(yīng)用 EG01:某車間有60人,生產(chǎn)甲乙丙三種零件,每人每小時能生產(chǎn)甲24個,或乙20個,或丙16個,現(xiàn)用零件甲9個,乙15個,丙12個,裝配成某機(jī)件,如何安排勞動力,才能使每小時生產(chǎn)的零件恰好成套?共有多少套? 解:設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各有x人,y人,z人.根據(jù)題意得 x+y+z=60 24x/9=20y/15=16z/12 解得x=12,y=24,z=24 24×12/9=32 答:安排生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各有12人,24人,24人,共有32套. EG02: 甲、乙、丙三個數(shù)的和是35,甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大5,乙數(shù)的1/3(三分之一)等于丙數(shù)的1/2(二分之一),求這三個數(shù)。 解: 設(shè)甲是x,乙是y,丙是z 則x+y+z=35 (1) 甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大5 2x-y=5 (2) 乙數(shù)的1/3(三分之一)等于丙數(shù)的1/2 y/3=z/2 (3) 由(2)和(3)得到 y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3 代入(1) x+2x-5+4x/3-10/3=35 13x/3=130/3 x=10 y=2x-2=15 z=2y/3=10 所以 甲是10,乙是15,丙是10 EX: 1.有甲乙丙三種貨物,若購物甲種3件,乙種7件,丙1件需要31.5元,如果購買甲4件,乙10件,丙1件共需要42元,若購甲乙丙各一件,需要10.5元。問甲乙丙每件各多少元? 2.汽車在平路上每小時行30公里,上坡時每小時行28公里,下坡時每小時行35公里,現(xiàn)在行駛142公里的路程用去4小時三十分鐘,回來使用4小時42分鐘,問這段平路有多少公里?去時上下坡路各有多少公里? 3.某校初中三個年級一共有651人,初二的學(xué)生數(shù)比初三學(xué)生數(shù)多10%,初一的學(xué)生數(shù)比初二的學(xué)生數(shù)多5%。求三個年級各有多少人? AW: 1式子:3x+7y+z=31.5 4x+10y+z=42 x+y+z=10.5 答案:???這題有問題,多解的(只要符合x+3y=10.5)就行,真不知樓上怎么算出來的。。 2:去時上坡x平路y下坡z x+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4.5 z/28+y/30+x/35=4.7 答案:x=42 y=30 z=70 3:初一:x 初二:y 初三:z x+y+z=651 y=1.1z x=1.05y 答案:x=231 y=220 z=200 訓(xùn)練集中營1?,F(xiàn)有1角,5角,1元硬幣各10枚.從中取出15枚,共值7元,1角,5角,1元各取幾枚? 2。甲地到乙地全稱是3.3KM,一段上坡,一段平路,一段下坡,如果保持上坡每小時行3KM,平路每小時行4KM,下坡每小時行5KM,那么,從甲地到乙地需行51分,從乙地到甲地需行53.4分,求從甲地到乙地時的上坡。平路。下坡的路程各是多少? 3。水費價格:不超過6立方米部分,每立方米2元。超過6立方米至10立方米部分,每立方米4元。超過10立方米部分,每立方米8元。某居民三月和四月共用水15立方米,交水費44元,(四月用水量多于三月用水量),求三月和四月用水量?如果某居民某月用水量是13.5立方米,則他需要交水費多少元? 4。某足球聯(lián)賽一個賽季共進(jìn)行26場比賽(即每隊均賽26場),其中勝一場得三分,平一場得一分,負(fù)一場得0分。某隊在這個賽季中平局的場數(shù)比負(fù)的場數(shù)多7場,結(jié)果共得34分。這個隊在這個賽季中勝,平,負(fù)各多少場? 5。學(xué)校的籃球數(shù)比排球數(shù)的2倍少3個,足球數(shù)與排球數(shù)的比是2:3,三種球共41個,求三種球各有多少 6。一個水池裝有甲、乙進(jìn)水管和丙出水管,若打開甲管4小時,乙管2小時和丙管2小時,則水池中余水5噸;若打開甲管2小時,乙管3小時,丙管1小時,則池中余水1噸,求打開甲管22小時,乙管5小時,丙管11小時,池中余水多少噸? 7。小紅買了面值為50分和230分的郵票共8枚,共用去9元4角問50分和230分的郵票各買幾枚? 8。運往某地的兩批貨物,第一批為440噸,用8節(jié)火車車廂和10輛汽車正好運完;第二批貨物520噸,多用了2節(jié)火車車廂而少用了5輛汽車,正好運完。求每節(jié)火車車廂和每輛汽車平均各裝多少噸? 9。1、有一批零件共420個,若甲先做2天,乙加入,合作2天可以完成;若乙先做2天,甲加入,合作3天可以完成,求二人每天平均做多少個? 10。、張紅用7元錢買2角和5角一張的郵票共20張,問兩種郵票各買多少張? 11。有甲乙兩數(shù),甲數(shù)的3倍與乙數(shù)的2倍之和是47,甲數(shù)的5倍比乙數(shù)的6倍小1,求這兩個數(shù)。 12。某車隊運一批貨物,若每輛裝3.5噸,就有2噸運不走,若每輛多裝0.5噸,則還可以裝其他貨物1噸,問有多少輛車?多少噸貨物? 13。已知甲、乙兩輛汽車同時、同方向從同一地點A出發(fā)行駛. (1)若甲車的速度是乙車的2倍,甲車走了90千米后立即返回與乙車相遇,相遇時乙車走了1小時.求甲、乙兩車的速度; (2)假設(shè)甲、乙每輛車最多只能帶200升汽油,每升汽油可以行駛10千米,途中不能再加油,但兩車可以互相借用對方的油,若兩車都必須沿原路返回到出發(fā)點A,請你設(shè)計一種方案使甲車盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)點A,并求出甲車一共行駛了多少米? THANKS !!! 致力為企業(yè)和個人提供合同協(xié)議,策劃案計劃書,學(xué)習(xí)課件等等 打造全網(wǎng)一站式需求 歡迎您的下載,資料僅供參考 -可編輯修改-- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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