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河南省駐馬店市2015～2016學(xué)年度八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分） 1．要使分式有意義，則x的取值應(yīng)滿足（　?。? A．x=0 B．x≠0 C．x=﹣3 D．x≠﹣3 　 2．下列計(jì)算正確的是（　?。? A．a(chǎn)2?a3=a6 B．（﹣2ab）2=4a2b2 C．（a2）3=a5 D．3a3b2÷a2b2=3ab 　 3．下面所給的圖形中，不是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 　 4．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一點(diǎn)．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點(diǎn)落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（　?。? A．25° B．30° C．35° D．40° 　 5．從邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形，如圖，然后將剩余部分剪后拼成一個矩形，上述操作所能驗(yàn)證的等式是（　?。? A．a(chǎn)2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a(chǎn)2+ab=a（a+b） 　 6．下列因式分解錯誤的是（　　） A．2a3﹣8a2+12a=2a（a2﹣4a+6） B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3） C．（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c） D．﹣2a2+4a﹣2=2（a+1）2 　 7．如圖1是玩具拼圖模板的一部分，已知△ABC的六個元素，則圖2中甲、乙、丙三個三角形中能和△ABC完全重合的是（　?。? A．甲和丙 B．丙和乙 C．只有甲 D．只有丙 　 8．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，連接CE交AD于點(diǎn)H，則圖中的等腰三角形有（　　） A．5個 B．4個 C．3個 D．2個 　 　 二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分） 9．計(jì)算：3﹣2+（π﹣3）0﹣（﹣）2=　　　　　　． 　 10．如圖，AE∥FD，AE=FD，要使△EAC≌△FDB，則應(yīng)補(bǔ)充條件　　　　　?。ㄌ顚懸粋€即可）． 　 11．如果x2+kx+81是一個完全平方式，那么k的值為　　　　　?。? 　 12．若a=2b≠0，則的值為　　　　　　． 　 13．如圖，MN是等邊三角形ABC的一條對稱軸，D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線MN上的一個動點(diǎn)，當(dāng)PC+PD最小時，∠PCD的度數(shù)是　　　　　?。? 　 14．如圖，已知∠AOB=60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP=12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=　　　　　　． 　 15．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為　　　　　　． 　 　 三、解答題（共8小題，滿分75分） 16．先化簡，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x=﹣． 　 17．小明化簡（﹣）÷后說：“在原分式有意義的前提下，分式的值一定是正數(shù)”，你同意小明的說法嗎？請說明理由． 　 18．如圖，AB=AC，BD=DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)．求證：DE=DF． 　 19．請閱讀下列材料并回答問題： 在解分式方程時，小明的解法如下： 解：方程兩邊同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3=1① 去括號，得2x﹣1=3﹣1 ② 解得x= 檢驗(yàn)：當(dāng)x=時，（x+1）（x﹣1）≠0 ③ 所以x=是原分式方程的解 ④ （1）你認(rèn)為小明在哪里出現(xiàn)了錯誤　　　　　?。ㄖ惶钚蛱枺? （2）針對小明解分式方程出現(xiàn)的錯誤和解分式方程中的其他重要步驟，請你提出三條解分式方程時的注意事項(xiàng)； （3）寫出上述分式方程的正確解法． 　 20．列方程或方程組解應(yīng)用題： 某園林隊(duì)計(jì)劃由6名工人對180平方米的區(qū)域進(jìn)行綠化，由于施工時增加了2名工人，結(jié)果比計(jì)劃提前3小時完成任務(wù)，若每人每小時綠化面積相同，求每人每小時的綠化面積． 　 21．如圖，已知△ABC． （1）利用直尺和圓規(guī)，按照下列要求作圖（保留作圖痕跡，不要求寫作法） ①作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D； ②作線段BD的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、F． （2）連接DE，請判斷線段DE與線段BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 　 22．小麗同學(xué)要畫∠AOB的平分線，卻沒有量角器和圓規(guī)，于是她用三角尺按下面方法畫角平分線： ①在∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON； ②分別過點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P； ③畫射線OP，則OP為∠AOB的平分線． （1）請問：小麗的畫法正確嗎？試證明你的結(jié)論； （2）如果你現(xiàn)在只有刻度尺，能否畫一個角的角平分線？請你在備用圖中試一試．（不需要寫作法，但是要讓讀者看懂，你可以在圖中標(biāo)明數(shù)據(jù)） 　 23．（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長線上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN=90°，求證：AM=MN． 下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明． 證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE． （下面請你完成余下的證明過程） （2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則∠AMN=60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由． （3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X，請你作出猜想：當(dāng)∠AMN=　　　　　　時，結(jié)論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明） 　 　  河南省駐馬店市2015～2016學(xué)年度八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分） 1．要使分式有意義，則x的取值應(yīng)滿足（　?。? A．x=0 B．x≠0 C．x=﹣3 D．x≠﹣3 【考點(diǎn)】分式有意義的條件． 【分析】根據(jù)分式有意義分母不等于0列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：由題意得，x+3≠0， 解得x≠﹣3． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念： （1）分式無意義?分母為零； （2）分式有意義?分母不為零； （3）分式值為零?分子為零且分母不為零． 　 2．下列計(jì)算正確的是（　?。? A．a(chǎn)2?a3=a6 B．（﹣2ab）2=4a2b2 C．（a2）3=a5 D．3a3b2÷a2b2=3ab 【考點(diǎn)】整式的除法；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、積的乘方、冪的乘方、整式的除法，即可解答． 【解答】解：A、a2?a3=a5，故正確； B、正確； C、（a2）3=a6，故錯誤； D、3a2b2÷a2b2=3，故錯誤； 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、積的乘方、冪的乘方、整式的除法，解決本題的關(guān)鍵是熟記同底數(shù)冪的乘法、積的乘方、冪的乘方、整式的除法的法則． 　 3．下面所給的圖形中，不是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得出答案． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤； B、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)正確； C、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤； D、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 　 4．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一點(diǎn)．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點(diǎn)落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（　?。? A．25° B．30° C．35° D．40° 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）． 【專題】壓軸題． 【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再由圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠CB′D的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°， ∴∠B=90°﹣25°=65°， ∵△CDB′由△CDB反折而成， ∴∠CB′D=∠B=65°， ∵∠CB′D是△AB′D的外角， ∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查的是圖形的翻折變換及三角形外角的性質(zhì)，熟知圖形反折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 5．從邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形，如圖，然后將剩余部分剪后拼成一個矩形，上述操作所能驗(yàn)證的等式是（　?。? A．a(chǎn)2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a(chǎn)2+ab=a（a+b） 【考點(diǎn)】平方差公式的幾何背景． 【分析】由大正方形的面積﹣小正方形的面積=矩形的面積，進(jìn)而可以證明平方差公式． 【解答】解：大正方形的面積﹣小正方形的面積=a2﹣b2， 矩形的面積=（a+b）（a﹣b）， 故a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 故選A． 【點(diǎn)評】本題主要考查平方差公式的幾何意義，用兩種方法表示陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵． 　 6．下列因式分解錯誤的是（　?。? A．2a3﹣8a2+12a=2a（a2﹣4a+6） B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3） C．（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c） D．﹣2a2+4a﹣2=2（a+1）2 【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用． 【分析】分解因式就是把一個多項(xiàng)式化為幾個整式的積的形式．因此，要確定從左到右的變形中是否為分解因式，只需根據(jù)定義來確定． 【解答】解：A、B、C分解正確； D、﹣2a2+4a﹣2=﹣2（a2﹣2a﹣1）=﹣2（a﹣1）2，錯誤． 故選：D． 【點(diǎn)評】要注意熟練掌握因式分解的幾種方法．注意變形中其符號的變化． 　 7．如圖1是玩具拼圖模板的一部分，已知△ABC的六個元素，則圖2中甲、乙、丙三個三角形中能和△ABC完全重合的是（　?。? A．甲和丙 B．丙和乙 C．只有甲 D．只有丙 【考點(diǎn)】全等三角形的判定． 【分析】利用三角形全等的判定方法可判定△ABC和甲、丙兩個三角形全等，可得出答案． 【解答】解：△ABC和甲滿足“SAS”所以可得這兩個三角形全等， △ABC和丙滿足“AAS”所以可得這兩個三角形全等， 故能與△ABC完全重合的是甲和丙， 故選A． 【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵． 　 8．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，連接CE交AD于點(diǎn)H，則圖中的等腰三角形有（　　） A．5個 B．4個 C．3個 D．2個 【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，運(yùn)用直角三角形的兩個銳角互余和角平分線的性質(zhì)，證得∠CAD=∠BAD=30°， CD=ED，AC=AE，即△ABD、△CDE、△ACE、△BCE是等腰三角形 【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， ∵AD是角平分線， ∴∠CAD=∠BAD=30°， ∴AD=BD． ∴△ABD是等腰三角形． ∵AD是角平分線，∠ACB=90°，DE⊥AB， ∴CD=ED ∴AC=AE ∴△CDE、△ACE是等腰三角形； 又△CEB也是等腰三角形 顯然此圖中有4個等腰三角形． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定；要綜合運(yùn)用直角三角形的兩個銳角互余和角平分線的性質(zhì)，找到相等的線段，來判定等腰三角形． 　 二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分） 9．計(jì)算：3﹣2+（π﹣3）0﹣（﹣）2=　1?。? 【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪． 【專題】計(jì)算題；實(shí)數(shù)． 【分析】原式第一項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算，第二項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，最后一項(xiàng)利用乘方的意義計(jì)算即可得到結(jié)果． 【解答】解：原式=+1﹣=1． 故答案為：1． 【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 　 10．如圖，AE∥FD，AE=FD，要使△EAC≌△FDB，則應(yīng)補(bǔ)充條件　∠E=∠F　（填寫一個即可）． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定． 【分析】添加條件AB=CD可證明AC=BD，然后再根據(jù)AE∥FD，可得∠A=∠D，再利用SAS定理證明△EAC≌△FDB即可． 【解答】解：添加∠E=∠F，理由如下： ∵AE∥FD， ∴∠A=∠D， ∵AB=CD， ∴AC=BD， 在△AEC和△DFB中，， ∴△EAC≌△FDB（ASA）． 故答案是：∠E=∠F． 【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角． 　 11．如果x2+kx+81是一個完全平方式，那么k的值為　±18?。? 【考點(diǎn)】完全平方式． 【專題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)兩數(shù)的平方和加上或減去兩數(shù)積的2倍，等于兩數(shù)和或差的平方判斷，即可求出k的值． 【解答】解：∵x2+kx+81是一個完全平方式， ∴k=±18． 故答案為：±18． 【點(diǎn)評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵． 　 12．若a=2b≠0，則的值為　?。? 【考點(diǎn)】分式的化簡求值． 【專題】計(jì)算題． 【分析】把a(bǔ)=2b代入原式計(jì)算，約分即可得到結(jié)果． 【解答】解：∵a=2b， ∴原式==， 故答案為： 【點(diǎn)評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，MN是等邊三角形ABC的一條對稱軸，D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線MN上的一個動點(diǎn)，當(dāng)PC+PD最小時，∠PCD的度數(shù)是　30°?。? 【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題． 【分析】由于點(diǎn)C關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)是B，所以當(dāng)B、P、D三點(diǎn)在同一直線上時，PC+PD的值最?。? 【解答】解：由題意知，當(dāng)B、P、D三點(diǎn)位于同一直線時，PC+PD取最小值， 連接BD交MN于P， ∵△ABC是等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)， ∴BD⊥AC， ∴PA=PC， ∴∠PCD=∠PAD=30° 故答案為：30°． 【點(diǎn)評】此題考查了線路最短的問題，確定動點(diǎn)為何位置時，使PC+PD的值最小是關(guān)鍵． 　 14．如圖，已知∠AOB=60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP=12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=　5　． 【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【分析】過P作PD⊥OB，交OB于點(diǎn)D，在直角三角形POD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OD的長，再由PM=PN，利用三線合一得到D為MN中點(diǎn)，根據(jù)MN求出MD的長，由OD﹣MD即可求出OM的長． 【解答】解：過P作PD⊥OB，交OB于點(diǎn)D， 在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12， ∴OD=6， ∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2， ∴MD=ND=MN=1， ∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5． 故答案為：5． 【點(diǎn)評】此題考查的是勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 15．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為　63°或27°　． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】分類討論． 【分析】分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出它的底角的度數(shù)． 【解答】解：在三角形ABC中，設(shè)AB=AC，BD⊥AC于D． ①若是銳角三角形，∠A=90°﹣36°=54°， 底角=（180°﹣54°）÷2=63°； ②若三角形是鈍角三角形，∠BAC=36°+90°=126°， 此時底角=（180°﹣126°）÷2=27°． 所以等腰三角形底角的度數(shù)是63°或27°． 故答案為：63°或27°． 【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理． 　 三、解答題（共8小題，滿分75分） 16．先化簡，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x=﹣． 【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡求值． 【分析】先算乘法，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出即可． 【解答】解：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1） =x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x =x2+3， 當(dāng)x=﹣時，原式=（﹣）2+3=8． 【點(diǎn)評】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值的應(yīng)用，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵． 　 17．小明化簡（﹣）÷后說：“在原分式有意義的前提下，分式的值一定是正數(shù)”，你同意小明的說法嗎？請說明理由． 【考點(diǎn)】分式的化簡求值． 【專題】計(jì)算題． 【分析】同意小明的說法，原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，判斷即可． 【解答】解：同意小明的說法，理由為： 原式=[﹣]?=?=?=， ∵（a﹣2）2≥0，且a﹣2≠0， ∴（a﹣2）2＞0，即一定為正數(shù)， 則在原分式有意義的前提下，分式的值一定是正數(shù)． 【點(diǎn)評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 　 18．如圖，AB=AC，BD=DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)．求證：DE=DF． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】要證DE=DF，只需證△BDF≌△CDE，已知AB=AC，可得∠B=∠C，又已知BD=DC，∠BED=∠CFD=90°，則兩三角形全等可證． 【解答】證明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵BD=DC， ∴△BDF≌△CDE， ∴DE=DF． 【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；通過三角形全等證明線段相等是最常用的證明方法之一，要熟練掌握． 　 19．請閱讀下列材料并回答問題： 在解分式方程時，小明的解法如下： 解：方程兩邊同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3=1① 去括號，得2x﹣1=3﹣1 ② 解得x= 檢驗(yàn)：當(dāng)x=時，（x+1）（x﹣1）≠0 ③ 所以x=是原分式方程的解 ④ （1）你認(rèn)為小明在哪里出現(xiàn)了錯誤?、佗凇。ㄖ惶钚蛱枺? （2）針對小明解分式方程出現(xiàn)的錯誤和解分式方程中的其他重要步驟，請你提出三條解分式方程時的注意事項(xiàng)； （3）寫出上述分式方程的正確解法． 【考點(diǎn)】解分式方程． 【專題】計(jì)算題；分式方程及應(yīng)用． 【分析】（1）觀察解方程過程，找出錯誤步驟即可； （2）針對小明解分式方程出現(xiàn)的錯誤和解分式方程中的其他重要步驟，寫出三條注意事項(xiàng)即可； （3）寫出正確的解答過程即可． 【解答】解：（1）小明在①②出現(xiàn)了錯誤； 故答案為：①②； （2）三條注意事項(xiàng)：去分母時，注意方程中的每項(xiàng)都要乘以最簡公分母；去括號時，注意正確運(yùn)用去括號法則；解整式方程求出x要進(jìn)行檢驗(yàn)； （3）正確解法為： 去分母得：2（x﹣1）﹣3（x+1）=1， 去括號得：2x﹣2﹣3x﹣3=1， 移項(xiàng)合并得：﹣x=6， 解得：x=﹣6， 經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣6是分式方程的解． 【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根． 　 20．列方程或方程組解應(yīng)用題： 某園林隊(duì)計(jì)劃由6名工人對180平方米的區(qū)域進(jìn)行綠化，由于施工時增加了2名工人，結(jié)果比計(jì)劃提前3小時完成任務(wù)，若每人每小時綠化面積相同，求每人每小時的綠化面積． 【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用． 【分析】設(shè)每人每小時的綠化面積x平方米，根據(jù)增加2人后完成的時間比原來的時間少3小時為等量關(guān)系建立方程求出其解即可． 【解答】解：設(shè)每人每小時的綠化面積x平方米，由題意，得 ， 解得：x=2.5． 經(jīng)檢驗(yàn)，x=2.5是原方程的解，且符合題意． 答：每人每小時的綠化面積2.5平方米． 【點(diǎn)評】本題考查了列分式方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，分式方程的解法的運(yùn)用，解答時驗(yàn)根是必須的過程，學(xué)生容易忘記，解答本題時根據(jù)增加2人后完成的時間比原來的時間少3小時為等量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵． 　 21．如圖，已知△ABC． （1）利用直尺和圓規(guī)，按照下列要求作圖（保留作圖痕跡，不要求寫作法） ①作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D； ②作線段BD的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、F． （2）連接DE，請判斷線段DE與線段BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】（1）直接利用角平分線的作法以及結(jié)合線段垂直平分線的畫法得出答案； （2）利用線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案． 【解答】解：（1）如圖所示： （2）DE=BF， 理由：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵EF垂直平分BD，設(shè)垂足為O， 則OB=OD，BE=DE， ∴∠ABD=∠EDB， ∴∠DBC=∠EDB， 在△BOF和△DOE中， ， ∴△BOF≌△DOE（ASA）， ∴DE=BF． 【點(diǎn)評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與畫法以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 　 22．小麗同學(xué)要畫∠AOB的平分線，卻沒有量角器和圓規(guī)，于是她用三角尺按下面方法畫角平分線： ①在∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON； ②分別過點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P； ③畫射線OP，則OP為∠AOB的平分線． （1）請問：小麗的畫法正確嗎？試證明你的結(jié)論； （2）如果你現(xiàn)在只有刻度尺，能否畫一個角的角平分線？請你在備用圖中試一試．（不需要寫作法，但是要讓讀者看懂，你可以在圖中標(biāo)明數(shù)據(jù)） 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；直角三角形全等的判定；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】作圖題；證明題． 【分析】（1）小麗的畫法正確，在Rt△OMP與Rt△ONP中，因?yàn)镺P=OP，OM=ON∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），所以∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB． （2）分別在∠AOB的兩邊取M、N，使OM=ON，連接MN，并取MN的中點(diǎn)P，畫射線OP，則OP為∠AOB的平分線．（利用了等腰三角形三線合一定理） 【解答】解：（1）小麗的畫法是正確的， 證明如下： 因?yàn)镽t△OMP與Rt△ONP中，OM=ON，OP=OP， 所以Rt△OMP≌Rt△ONP， 所以∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB； （2）只有刻度尺能畫一個角的角平分線，畫法如圖： ①分別在∠AOB的兩邊取M、N，使OM=ON； ②連接MN，并取MN的中點(diǎn)P； ③畫射線OP，則OP為∠AOB的平分線． 作圖依據(jù)：等腰三角形底邊上的中線平分頂角． 【點(diǎn)評】本題利用了直角三角形的判定以及等腰三角形三線合一定理（底邊上的中線平分頂角，并且垂直于底邊）． 　 23．（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長線上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN=90°，求證：AM=MN． 下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明． 證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE． （下面請你完成余下的證明過程） （2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則∠AMN=60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由． （3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X，請你作出猜想：當(dāng)∠AMN=　　時，結(jié)論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明） 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點(diǎn)E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊成比例得出AM=MN． （2）同（1），要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點(diǎn)E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊成比例得出AM=MN． （3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多邊形的一個內(nèi)角即等于時，結(jié)論AM=MN仍然成立． 【解答】（1）證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME． ∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC． ∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE， BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM， ∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°． ∵N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)， ∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°． 在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN， ∴△AEM≌△MCN（ASA）， ∴AM=MN． （2）解：結(jié)論AM=MN還成立 證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME． 在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC． ∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAE， BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM， ∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°． ∵N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)， ∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°． 在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN， ∴△AEM≌△MCN（ASA）， ∴AM=MN． （3）解：若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X，則當(dāng)∠AMN=時，結(jié)論AM=MN仍然成立． 【點(diǎn)評】本題綜合考查了正方形、等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定，同時考查了學(xué)生的歸納能力及分析、解決問題的能力．難度較大．