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2016-2017學(xué)年黑龍江省哈爾濱市松北區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．的倒數(shù)是（　?。? A．﹣ B． C．﹣ D． 2．下列運(yùn)算中，正確的是（　?。? A．2x+2y=2xy B．（x2y3）2=x4y5 C．（xy）2÷=（xy）3 D．2xy﹣3yx=xy 3．反比例函數(shù)y=的圖象，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，則k的取值范圍是（　?。? A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥2 4．如圖所示的由六個(gè)小正方體組成的幾何體的俯視圖是（　?。? A． B． C． D． 5．松北某超市今年一月份的營業(yè)額為50萬元．三月份的營業(yè)額為72萬元．則二、三兩個(gè)月平均每月營業(yè)額的增長率是（　?。? A．25% B．20% C．15% D．10% 6．若將拋物線y=2x2向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式為（　?。? A．y=2x2+3 B．y=2x2﹣3 C．y=2（x﹣3）2 D．y=2（x+3）2 7．如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊（E、F分別是AD、BC上的點(diǎn)），使點(diǎn)B與四邊形CDEF內(nèi)一點(diǎn)B′重合，若∠B′FC=50°，則∠AEF等于（　?。? A．110° B．115° C．120° D．130° 8．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC邊的長是（　?。? A．6 B．2 C．3 D．2 9．如圖，DE∥BC，分別交△ABC的邊AB、AC于點(diǎn)D、E， =，若AE=1，則EC=（　?。? A．2 B．3 C．4 D．6 10．甲、乙兩車沿同一平直公路由A地勻速行駛（中途不停留），前往終點(diǎn)B地，甲、乙兩車之間的距離S（千米）與甲車行駛的時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列說法： ①甲、乙兩地相距210千米； ②甲速度為60千米/小時(shí)； ③乙速度為120千米/小時(shí)； ④乙車共行駛3小時(shí)， 其中正確的個(gè)數(shù)為（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 　 二、填空題（每小題3分，共30分） 11．?dāng)?shù)字12800000用科學(xué)記數(shù)法表示為　?。? 12．函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是　?。? 13．計(jì)算： =　?。? 14．把多項(xiàng)式2m2﹣8n2分解因式的結(jié)果是　?。? 15．不等式組的解集為　?。? 16．分式方程=的解為x=　?。? 17．若弧長為4π的扇形的圓心角為直角，則該扇形的半徑為　?。? 18．已知，平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)y=x+2的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，則△AOB的面積=　?。? 19．已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于E，交AC所在直線于P，若∠APE=54°，則∠B=　?。? 20．如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB=，點(diǎn)P為CD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP+CP最小時(shí)，DP=　?。? 　 三、解答題（21、22小題各7分，23、24小題各8分，25、26、27小題各10分，共60分） 21．先化簡，再求代數(shù)式÷（1﹣）的值，其中x=2sin45°﹣tan45°． 22．如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，各個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱之為格點(diǎn)，點(diǎn)A、C、E、F均在格點(diǎn)上，根據(jù)不同要求，選擇格點(diǎn)，畫出符合條件的圖形： （1）在圖1中，畫一個(gè)以AC為一邊的△ABC，使∠ABC=45°（畫出一個(gè)即可）； （2）在圖2中，畫一個(gè)以EF為一邊的△DEF，使tan∠EDF=，并直接寫出線段DF的長． 23．為便于管理與場地安排，松北某中學(xué)校以小明所在班級(jí)為例，對(duì)學(xué)生參加各個(gè)體育項(xiàng)目進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)．并把調(diào)查的結(jié)果繪制了如圖所示的不完全統(tǒng)計(jì)圖，請你根據(jù)下列信息回答問題： （1）在這次調(diào)查中，小明所在的班級(jí)參加籃球項(xiàng)目的同學(xué)有多少人？并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖． （2）如果學(xué)校有800名學(xué)生，請估計(jì)全校學(xué)生中有多少人參加籃球項(xiàng)目． 24．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD為△ABC的中線，作CO⊥AB于O，點(diǎn)E在CO延長線上，DE=AD，連接BE、DE． （1）求證：四邊形BCDE為菱形； （2）把△ABC分割成三個(gè)全等的三角形，需要兩條分割線段，若AC=6，求兩條分割線段長度的和． 25．某商廈進(jìn)貨員預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用0.8萬元購進(jìn)這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求．于是，商廈又用1.76萬元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍，但單價(jià)貴了4元，商廈銷售這種襯衫時(shí)每件預(yù)定售價(jià)都是58元． （1）求這種襯衫原進(jìn)價(jià)為每件多少元？ （2）經(jīng)過一段時(shí)間銷售，根據(jù)市場飽和情況，商廈經(jīng)理決定對(duì)剩余的100件襯衫進(jìn)行打折銷售，以提高回款速度，要使這兩批襯衫的總利潤不少于6300元，最多可以打幾折？ 26．已知，AB、AC是圓O的兩條弦，AB=AC，過圓心O作OH⊥AC于點(diǎn)H． （1）如圖1，求證：∠B=∠C； （2）如圖2，當(dāng)H、O、B三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求∠BAC的度數(shù)； （3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)E為劣弧BC上一點(diǎn)，CE=6，CH=7，連接BC、OE交于點(diǎn)D，求BE的長和的值． 27．如圖，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸于點(diǎn)A、B（A左B右），交y軸于點(diǎn)C，S△ABC=6，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式； （2）若∠PCB=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）點(diǎn)Q為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1，連接PC、AQ，當(dāng)PC=AQ時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及△PCQ的面積． 28．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，直線y=﹣x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m． （1）求拋物線的解析式； （2）若PE=5EF，求m的值； （3）若點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)、是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)E′落在y軸上？若存在，請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 　  2016-2017學(xué)年黑龍江省哈爾濱市松北區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．的倒數(shù)是（　?。? A．﹣ B． C．﹣ D． 【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的性質(zhì)． 【分析】的倒數(shù)是，但的分母需要有理化． 【解答】解：因?yàn)?，的倒?shù)是，而= 故：選D 　 2．下列運(yùn)算中，正確的是（　?。? A．2x+2y=2xy B．（x2y3）2=x4y5 C．（xy）2÷=（xy）3 D．2xy﹣3yx=xy 【考點(diǎn)】冪的乘方與積的乘方；合并同類項(xiàng)；分式的乘除法． 【分析】分別利用合并同類項(xiàng)法則以及分式除法運(yùn)算和積的乘方運(yùn)算得出即可． 【解答】解：A、2x+2y無法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、（x2y3）2=x4y6，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、此選項(xiàng)正確； D、2xy﹣3yx=﹣xy，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：C． 　 3．反比例函數(shù)y=的圖象，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，則k的取值范圍是（　?。? A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥2 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小得出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可． 【解答】解：∵反比例函數(shù)y=中，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小， ∴k﹣2＞0， 解得k＞2． 故選C． 　 4．如圖所示的由六個(gè)小正方體組成的幾何體的俯視圖是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】簡單組合體的三視圖． 【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中． 【解答】解：從上面看易得左邊第一列有3個(gè)正方形，中間第二列有1個(gè)正方形，最右邊一列有1個(gè)正方形． 故選D． 　 5．松北某超市今年一月份的營業(yè)額為50萬元．三月份的營業(yè)額為72萬元．則二、三兩個(gè)月平均每月營業(yè)額的增長率是（　?。? A．25% B．20% C．15% D．10% 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】可設(shè)增長率為x，那么三月份的營業(yè)額可表示為50（1+x）2，已知三月份營業(yè)額為72萬元，即可列出方程，從而求解． 【解答】解：設(shè)增長率為x，根據(jù)題意得50（1+x）2=72， 解得x=﹣2.2（不合題意舍去），x=0.2， 所以每月的增長率應(yīng)為20%， 故選：B． 　 6．若將拋物線y=2x2向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式為（　?。? A．y=2x2+3 B．y=2x2﹣3 C．y=2（x﹣3）2 D．y=2（x+3）2 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】直接根據(jù)“上加下減、左加右減”的原則進(jìn)行解答即可． 【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將二次函數(shù)y=2x2向上平移3個(gè)單位可得到函數(shù)y=2x2+3， 故選：A． 　 7．如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊（E、F分別是AD、BC上的點(diǎn)），使點(diǎn)B與四邊形CDEF內(nèi)一點(diǎn)B′重合，若∠B′FC=50°，則∠AEF等于（　?。? A．110° B．115° C．120° D．130° 【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）． 【分析】先根據(jù)平角的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可求出∠EFB′的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可． 【解答】解：∵四邊形A′EFB′是四邊形ABFE折疊而成， ∴∠BFE=∠EFB′， ∵∠B'FC=50°， ∴∠EFB===65°， ∵AD∥BC， ∴∠AEF=180°﹣∠EFB=115°． 故選B． 　 8．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC邊的長是（　?。? A．6 B．2 C．3 D．2 【考點(diǎn)】解直角三角形． 【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及勾股定理求解． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=4， ∴sinA===， ∴AB=6． ∴AC==2． 故選B． 　 9．如圖，DE∥BC，分別交△ABC的邊AB、AC于點(diǎn)D、E， =，若AE=1，則EC=（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【考點(diǎn)】平行線分線段成比例． 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到=，即=，然后利用比例性質(zhì)求EC． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴=，即=， ∴EC=2． 故選A． 　 10．甲、乙兩車沿同一平直公路由A地勻速行駛（中途不停留），前往終點(diǎn)B地，甲、乙兩車之間的距離S（千米）與甲車行駛的時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列說法： ①甲、乙兩地相距210千米； ②甲速度為60千米/小時(shí)； ③乙速度為120千米/小時(shí)； ④乙車共行駛3小時(shí)， 其中正確的個(gè)數(shù)為（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以分別計(jì)算出各個(gè)小題中的結(jié)果，從而可以判斷各小題是否正確，從而可以解答本題． 【解答】解：由圖可知， 甲車的速度為：60÷1=60千米/時(shí)，故②正確， 則A、B兩地的距離是：60×=210（千米），故①正確， 則乙的速度為：（60×2）÷（2﹣1）=120千米/時(shí)，故③正確， 乙車行駛的時(shí)間為：2﹣1=1（小時(shí)），故④錯(cuò)誤， 故選C． 　 二、填空題（每小題3分，共30分） 11．?dāng)?shù)字12800000用科學(xué)記數(shù)法表示為　1.28×107　． 【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)． 【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)． 【解答】解：將12800000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.28×107． 故答案為：1.28×107． 　 12．函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是　x≠﹣2?。? 【考點(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍． 【分析】根據(jù)分母不等于0列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：根據(jù)題意得x+2≠0， 解得x≠﹣2． 故答案為：x≠﹣2． 　 13．計(jì)算： =　﹣?。? 【考點(diǎn)】二次根式的加減法． 【分析】二次根式的加減運(yùn)算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并． 【解答】解：原式=2﹣3=﹣． 　 14．把多項(xiàng)式2m2﹣8n2分解因式的結(jié)果是　2（m+2n）（m﹣2n）?。? 【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用． 【分析】直接提取公因式2，進(jìn)而利用平方差公式分解即可． 【解答】解：2m2﹣8n2=2（m2﹣4n2）=2（m+2n）（m﹣2n）． 故答案為：2（m+2n）（m﹣2n）． 　 15．不等式組的解集為　﹣2≤x＜　． 【考點(diǎn)】解一元一次不等式組． 【分析】先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集即可． 【解答】解： ∵解不等式①得：x≥﹣2， 解不等式②得：x＜， ∴不等式組的解集為﹣2≤x＜， 故答案為：﹣2≤x＜． 　 16．分式方程=的解為x=　3?。? 【考點(diǎn)】解分式方程． 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x﹣2=x+1， 解得：x=3， 經(jīng)檢驗(yàn)x=3是分式方程的解， 故答案為：3 　 17．若弧長為4π的扇形的圓心角為直角，則該扇形的半徑為　8　． 【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算． 【分析】利用扇形的弧長公式表示出扇形的弧長，將已知的圓心角及弧長代入，即可求出扇形的半徑． 【解答】解：∵扇形的圓心角為90°，弧長為4π， ∴l(xiāng)=， 即4π=， 則扇形的半徑r=8． 故答案為：8． 　 18．已知，平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)y=x+2的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，則△AOB的面積=　4?。? 【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【分析】先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵一次函數(shù)y=x+2的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B， ∴A（﹣4，0），B（0，2）， ∴△AOB的面積=×2×4=4． 故答案為：4． 　 19．已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于E，交AC所在直線于P，若∠APE=54°，則∠B=　72°或18°?。? 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的兩種情況，推出AP=BP，推出∠BAC=∠ABP，求出∠BAC的度數(shù)和∠ABC的度數(shù)即可． 【解答】解：分為兩種情況： ①如圖1， ∵PE是AB的垂直平分線， ∴AP=BP， ∴∠A=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°， ∴∠A=∠ABP=36°， ∵∠A=36°，AB=AC， ∴∠C=∠ABC==72°； ②如圖2， ∵PE是AB的垂直平分線， ∴AP=BP， ∴∠PAB=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°， ∴∠PAB=∠ABP=36°， ∴∠BAC=144°， ∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC==18°， 故答案為：72°或18°． 　 20．如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB=，點(diǎn)P為CD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP+CP最小時(shí)，DP=　5　． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題；解直角三角形． 【分析】如圖，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′．易知PB+PC=PB+PE，所以當(dāng)BE′⊥AC時(shí)，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，由tan∠ACB==，設(shè)BE′=5，CE′=3k，則AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，根據(jù)BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，列出方程求出k，即可解決問題． 【解答】解：如圖，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′． ∵CD⊥AB，∠ACD=30°，∠PEC=90°，AC=8， ∴PE=PC，∠A=60°，∠ABE′=30°，AD=4，CD=4， ∴PB+PC=PB+PE， ∴當(dāng)BE′⊥AC時(shí)，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小， ∵tan∠ACB==，設(shè)BE′=5，CE′=3k， ∴AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k， ∴BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2， ∴（12﹣6k）2+48=9k2+75k2， 整理得k2+3k﹣4=0， ∴k=1或﹣4（舍棄）， ∴BE′=5， ∴PB+PC的最小值為5． 故答案為5． 　 三、解答題（21、22小題各7分，23、24小題各8分，25、26、27小題各10分，共60分） 21．先化簡，再求代數(shù)式÷（1﹣）的值，其中x=2sin45°﹣tan45°． 【考點(diǎn)】分式的化簡求值；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】先化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題． 【解答】解：÷（1﹣） = = =， 當(dāng)x=2sin45°﹣tan45°=2×﹣1=， 原式=． 　 22．如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，各個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱之為格點(diǎn)，點(diǎn)A、C、E、F均在格點(diǎn)上，根據(jù)不同要求，選擇格點(diǎn)，畫出符合條件的圖形： （1）在圖1中，畫一個(gè)以AC為一邊的△ABC，使∠ABC=45°（畫出一個(gè)即可）； （2）在圖2中，畫一個(gè)以EF為一邊的△DEF，使tan∠EDF=，并直接寫出線段DF的長． 【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；銳角三角函數(shù)的定義． 【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)，AB在水平格線上，BC為4×4的正方形的對(duì)角線； （2）由于tan∠EDF=，則在含∠D的直角三角形中，滿足對(duì)邊與鄰邊之比為1：2即可． 【解答】解：（1）如圖1，△ABC為所作； （2）如圖2，△DEF為所作，DF==4． 　 23．為便于管理與場地安排，松北某中學(xué)校以小明所在班級(jí)為例，對(duì)學(xué)生參加各個(gè)體育項(xiàng)目進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)．并把調(diào)查的結(jié)果繪制了如圖所示的不完全統(tǒng)計(jì)圖，請你根據(jù)下列信息回答問題： （1）在這次調(diào)查中，小明所在的班級(jí)參加籃球項(xiàng)目的同學(xué)有多少人？并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖． （2）如果學(xué)校有800名學(xué)生，請估計(jì)全校學(xué)生中有多少人參加籃球項(xiàng)目． 【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本估計(jì)總體；扇形統(tǒng)計(jì)圖． 【分析】（1）根據(jù)跳繩人數(shù)除以跳繩人數(shù)所占的百分比，可得抽查總?cè)藬?shù)，根據(jù)有理數(shù)的減法，可得參加籃球項(xiàng)目的人數(shù)，根據(jù)參加籃球項(xiàng)目的人數(shù)，可得答案； （2）根據(jù)全校學(xué)生人數(shù)乘以參加籃球項(xiàng)目所占的百分比，可得答案． 【解答】解：（1）抽查總?cè)藬?shù)是：20÷40%=50（人）， 參加籃球項(xiàng)目的人數(shù)是：50﹣20﹣10﹣15=5（人）， 即小明所在的班級(jí)參加籃球項(xiàng)目的同學(xué)有5人， 補(bǔ)全條形圖如下： （2）800×=80（人）． 答：估計(jì)全校學(xué)生中大約有80人參加籃球項(xiàng)目． 　 24．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD為△ABC的中線，作CO⊥AB于O，點(diǎn)E在CO延長線上，DE=AD，連接BE、DE． （1）求證：四邊形BCDE為菱形； （2）把△ABC分割成三個(gè)全等的三角形，需要兩條分割線段，若AC=6，求兩條分割線段長度的和． 【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）容易證三角形BCD為等邊三角形，又DE=AD=BD，再證三角形DBE為等邊三角形四邊相等的四邊形BCDE為菱形． （2）畫出圖形，證出BM+MN=AM+MC=AC=6即可． 【解答】（1）證明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD為△ABC的中線， ∴BC=AB，CD=AB=AD， ∴∠ACD=∠A=30°， ∴∠BDC=30°+30°=60°， ∴△BCD是等邊三角形， ∵CO⊥AB， ∴OD=OB， ∴DE=BE， ∵DE=AD， ∴CD=BC=DE=BE， ∴四邊形BCDE為菱形； （2）解：作∠ABC的平分線交AC于N，再作MN⊥AB于N，如圖所示： 則MN=MC=BM，∠ABM=∠A=30°， ∴AM=BM， ∵AC=6， ∴BM+MN=AM+MC=AC=6； 即兩條分割線段長度的和為6． 　 25．某商廈進(jìn)貨員預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用0.8萬元購進(jìn)這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求．于是，商廈又用1.76萬元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍，但單價(jià)貴了4元，商廈銷售這種襯衫時(shí)每件預(yù)定售價(jià)都是58元． （1）求這種襯衫原進(jìn)價(jià)為每件多少元？ （2）經(jīng)過一段時(shí)間銷售，根據(jù)市場飽和情況，商廈經(jīng)理決定對(duì)剩余的100件襯衫進(jìn)行打折銷售，以提高回款速度，要使這兩批襯衫的總利潤不少于6300元，最多可以打幾折？ 【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用． 【分析】（1）設(shè)這種襯衫原進(jìn)價(jià)為每件x元．根據(jù)“用1.76萬元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍，但單價(jià)貴了4元”列出方程并解答，注意需要驗(yàn)根； （2）設(shè)打m折，根據(jù)題意列出不等式即可． 【解答】解：（1）設(shè)這種襯衫原進(jìn)價(jià)為每件x元 =， 解得：x=40． 經(jīng)檢驗(yàn)：x=40是原分式方程的解， 答：這種襯衫原進(jìn)價(jià)為每件40元； （2）設(shè)打m折， 8000÷40×3=600，58=29000， 29000+58×100×≥8000+17600+6300， 解得：m≥5． 答：最多可以打5折． 　 26．已知，AB、AC是圓O的兩條弦，AB=AC，過圓心O作OH⊥AC于點(diǎn)H． （1）如圖1，求證：∠B=∠C； （2）如圖2，當(dāng)H、O、B三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求∠BAC的度數(shù)； （3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)E為劣弧BC上一點(diǎn)，CE=6，CH=7，連接BC、OE交于點(diǎn)D，求BE的長和的值． 【考點(diǎn)】圓的綜合題． 【分析】（1）如圖1中，連接OA．欲證明∠B=∠C，只要證明△AOC≌△AOB即可． （2）由OH⊥AC，推出AH=CH，由H、O、B在一條直線上，推出BH垂直平分AC，推出AB=BC，由AB=AC，推出AB=AC=BC，推出△ABC為等邊三角形，即可解決問題． （3）過點(diǎn)B作BM⊥CE延長線于M，過E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K．設(shè)ME=x，則BE=2x，BM=x，在△BCM中，根據(jù)BC2=BM2+CM2，可得BM=5，推出sin∠BCM==，推出NE=，OK=CK=，由NE∥OK，推出DE：OD=NE：OK即可解決問題． 【解答】證明：（1）如圖1中，連接OA． ∵AB=AC， ∴=， ∴∠AOC=∠AOB， 在△AOC和△AOB中， ， ∴△AOC≌△AOB， ∴∠B=∠C． 解：（2）連接BC， ∵OH⊥AC， ∴AH=CH， ∵H、O、B在一條直線上， ∴BH垂直平分AC， ∴AB=BC，∵AB=AC， ∴AB=AC=BC， ∴△ABC為等邊三角形， ∴∠BAC=60°． 解：（3）過點(diǎn)B作BM⊥CE延長線于M，過E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K． ∵CH=7， ∴BC=AC=14， 設(shè)ME=x， ∵∠CEB=120°， ∴∠BEM=60°， ∴BE=2x， ∴BM=x， △BCM中，∵BC2=BM2+CM2， ∴142=（x）2+（6+x）2， ∴x=5或﹣8（舍棄）， ∴BM=5， ∴sin∠BCM==， ∴NE=， ∴OK=CK=， ∵NE∥OK， ∴DE：OD=NE：OK=45：49． 　 27．如圖，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸于點(diǎn)A、B（A左B右），交y軸于點(diǎn)C，S△ABC=6，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式； （2）若∠PCB=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）點(diǎn)Q為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1，連接PC、AQ，當(dāng)PC=AQ時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及△PCQ的面積． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）利用三角形的面積求出a即可得出拋物線解析式； （2）先判斷出∠OBC=45°，而點(diǎn)P在第一象限，所以得出CP∥OB即：點(diǎn)P和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)一樣，即可確定出點(diǎn)P坐標(biāo)； （3）根據(jù)點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)Q在第二象限，且橫坐標(biāo)相差1，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)P（3﹣m，﹣m2+4m）（0＜m＜1）；得出點(diǎn)Q（4﹣m，﹣m2+6m﹣5），得出CP2，AQ2，最后建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x+1）（x﹣3）， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a）， ∴AB=4，OC=|﹣3a|=|3a|， ∵S△ABC=6， ∴AB?OC=6， ∴×4×|3a|=6， ∴a=﹣1或a=1（舍）， ∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3； （2）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3a）， ∴C（0，3）， ∴OB=3，OC=3， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠BCO=∠OBC=45°， ∵點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，且∠PCB=45°， ∴PC∥OB， ∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3， 由（1）知，拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3， 令y=3，∴﹣x2+2x+3=3， ∴x=0（舍）或x=2， ∴P（2，3）； （3）如圖2，過點(diǎn)P作PD⊥x軸交CQ于D，設(shè)P（3﹣m，﹣m2+4m）（0＜m＜1）； ∵C（0，3）， ∴PC2=（3﹣m）2+（﹣m2+4m﹣3）2=（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]， ∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1， ∴Q（4﹣m，﹣m2+6m﹣5）， ∵A（﹣1，0）． ∴AQ2=（4﹣m+1）2+（﹣m2+6m﹣5）2=（m﹣5）2[（m﹣1）2+1] ∵PC=AQ， ∴81PC2=25AQ2， ∴81（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]=25（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]， ∵0＜m＜1， ∴[（m﹣1）2+1]≠0， ∴81（m﹣3）2=25（m﹣5）2， ∴9（m﹣3）=±5（m﹣5）， ∴m=或m=（舍）， ∴P（，），Q（，﹣）， ∵C（0，3）， ∴直線CQ的解析式為y=﹣x+3， ∵P（，）， ∴D（，﹣）， ∴PD=+=， ∴S△PCQ=S△PCD+S△PQD=PD×xP+PD×（xQ﹣xP）=PD×xQ=××=． 　 28．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，直線y=﹣x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m． （1）求拋物線的解析式； （2）若PE=5EF，求m的值； （3）若點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)、是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)E′落在y軸上？若存在，請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式； （2）用含m的代數(shù)式分別表示出PE、EF，然后列方程求解； （3）解題關(guān)鍵是識(shí)別出當(dāng)四邊形PECE′是菱形，然后根據(jù)PE=CE的條件，列出方程求解；當(dāng)四邊形PECE′是菱形不存在時(shí)，P點(diǎn)y軸上，即可得到點(diǎn)P坐標(biāo)． 【解答】解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A （﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)， ∴解得， ∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x+5． （2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m， ∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F(xiàn)（m，0）． ∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|， EF=|yE﹣yF|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|． 由題意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|﹣m+15| ①若﹣m2+m+2=﹣m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0， 解得：m=2或m=； ②若﹣m2+m+2=﹣（﹣m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0， 解得：m=或m=． 由題意，m的取值范圍為：﹣1＜m＜5，故m=、m=這兩個(gè)解均舍去． ∴m=2或m=． （3）假設(shè)存在． 作出示意圖如下： ∵點(diǎn)E、E′關(guān)于直線PC對(duì)稱， ∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′． ∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3，∴PE=CE， ∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形． 當(dāng)四邊形PECE′是菱形存在時(shí)， 由直線CD解析式y(tǒng)=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5． 過點(diǎn)E作EM∥x軸，交y軸于點(diǎn)M，易得△CEM∽△CDO， ∴==，即 =，解得CE=|m|， ∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2| ∴|﹣m2+m+2|=|m|． ①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣； ②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣． 由題意，m的取值范圍為：﹣1＜m＜5，故m=3+這個(gè)解舍去． 當(dāng)四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時(shí)， 此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，E，C，E'三點(diǎn)重合與y軸上，也符合題意， ∴P（0，5） 綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，5）或（﹣，）或（4，5）或（3﹣，2﹣3）． 　  2017年2月10日 第31頁（共31頁）