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成才之路 · 數學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函數應用,第四章,第四章,§1 函數與方程,1.2 利用二分法求方程的近似解,在一檔娛樂節(jié)目中，主持人讓選手在規(guī)定時間內猜某物品的價格，若猜中了，就把物品獎給選手．某次競猜的物品為價格在800元～1200元之間的一款手機，選手開始報價： 選手：1000. 主持人：低了． 選手：1100. 主持人：高了．,選手：1050. 主持人：祝賀你，答對了． 問題1：主持人說“低了”隱含著手機價格在哪個范圍內？ 問題2：選手每次的報價值同競猜前手機價格所在范圍有何關系？,1.二分法 每次取區(qū)間的中點，將區(qū)間________，再經比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的方法稱為二分法． 2．函數零點的性質 對于圖像是連續(xù)不間斷的函數，其函數零點具有下列性質： (1)當函數圖像通過零點(不是二重零點)時，其函數值的符號_____．(填“改變”或“不改變”) (2)在相鄰的兩個零點之間所有的函數值保持_______．(填“同號”或“異號”),一分為二,改變,同號,1.已知函數y＝f(x)的圖像是連續(xù)不斷的，有如下的對應值表： 則函數y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有( ) A．2個 B．3個 C．4個 D．5個,[答案] B [解析] ∵f(2)·f(3)0，f(3)·f(4)0， f(4)·f(5)0， ∴至少有3個零點，分別在[2,3]，(3,4]，(4,5]上，故選B.,2．函數y＝x2－bx＋1有二重零點，則b的值為( ) A．2 B．－2 C．±2 D．不存在 [答案] C [解析] ∵y＝x2－bx＋1有二重零點， ∴Δ＝b2－4＝0，即b＝±2，故選C.,3．下列函數中能用二分法求零點的是( ) [答案] C [解析] 從圖像上看，A的函數無零點；B、D中的函數都是不變號零點，不能運用二分法．故選C.,4．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間[2,3]內的實根，取區(qū)間中點2.5，那么下一個有根區(qū)間是__________． [答案] [2,2.5] [解析] 由計算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)0，所以下一個有根區(qū)間是[2,2.5]．,5．函數f(x)＝x2＋ax＋b有零點，但不能用二分法求出，則a、b的關系是__________． [答案] a2－4b＝0 [解析] 二次函數有零點，但不能用二分法求出，則有Δ＝a2－4×1×b＝0，即a2－4b＝0.,判斷下列函數是否有變號零點： (1)y＝x2－5x－14； (2)y＝x2＋x＋1； (3)y＝－x4＋x3＋10x2－x＋5； (4)y＝x4－18x2＋81.,函數零點類型的判斷,f(5)＝－54＋53＋10·52－5＋5＝－2500并不一定代表f(x)在[a，b]上沒有零點． 2．若給出函數圖像，主要去看圖像是否與x軸有交點，圖像是否穿過了x軸來判定零點類型．,下列圖像與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數零點的是( ) [答案] A [解析] A、B、C、D四個選項中只有A的圖像沒有穿過x軸，此零點屬不變號零點，不能用二分法求解.,,二分法求函數零點的近似值,試判斷方程x3＋3x－5＝0在區(qū)間(0,3)內是否有實數解？若有，求出該解的近似值(精確到0.01)． [思路分析] 可利用函數零點存在性的判定方法判斷方程在(0,3)內有實數解，然后再利用二分法求出其近似值．,[規(guī)范解答] 設函數f(x)＝x3＋3x－5，由于f(0)＝－50，因此f(0)·f(3)0，所以方程的解又必在區(qū)間(1,2)內，故可取區(qū)間(1,2)為計算的初始區(qū)間．用二分法逐次計算，將方程的解所在的區(qū)間依次求出，列表如下：,由上表可知，區(qū)間[1.15234375,1.154296875]中的每一個數都精確到0.01，都等于1.15，所以1.15就是方程精確到0.01的近似解．,[規(guī)律總結] 二分法求解步驟 (1)確定區(qū)間[a，b]．驗證f(a)·f(b)0，初始區(qū)間的選擇不宜過大，否則將增加運算的次數； (2)求區(qū)間[a，b]的中點c. (3)計算f(c)： ①若f(c)＝0，則c就是函數的零點． ②若f(a)·f(c)0，則令b＝c(此時零點x0∈[a，c])． ③若f(c)·f(b)0，則令a＝c(此時零點x0∈[c，b])． (4)判斷a，b的兩端的近似值是否相等且滿足要求的精確度，若是，得零點的近似解；否則，重復(2)～(4)步．特別注意要運算徹底．,用二分法求函數y＝x3－3的一個正零點(精確到0.01)． [分析] 選定區(qū)間[1,2]→用二分法逐次計算→驗證區(qū)間兩端點值精確到0.01后相等→取正零點 [解析] 記f(x)＝y(tǒng)＝x3－3，由于f(1)＝－20，因此可取區(qū)間[1,2]作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算，見表如下,因為區(qū)間[1,44140625,1.443359375]內的所有值，若精確到0.01都是1.44，所以1.44就是所求函數一個精確到0.01的正零點的近似值.,函數零點的綜合應用,(1)指出方程x3－2x－1＝0的正根所在的大致區(qū)間； (2)求證：方程x3－3x＋1＝0的根一個在區(qū)間(－2，－1)內，一個在區(qū)間(0,1)內，另一個在區(qū)間(1,2)． [思路分析] 解答本題的關鍵是尋找合適的a、b使得f(a)·f(b)0.,[規(guī)范解答] (1)方程x3－2x－1＝0，即x3＝2x＋1，令F(x)＝x3－2x－1，f(x)＝x3，g(x)＝2x＋1在同一平面直角坐標系中，作出函數f(x)和g(x)的圖像如圖，顯然它們 在第一象限只有1個交點，兩函數圖像交點的橫坐標就是方程的解． 又∵F(1)＝－20， ∴方程的正根在區(qū)間(1,2)內．,,(2)證明：令G(x)＝x3－3x＋1，它的圖像一定是連續(xù)的， 又G(－2)＝－8＋6＋1＝－10， ∴方程x3－3x＋1＝0的一根在區(qū)間(－2，－1)內． 同理可以驗證G(0)·G(1)＝1×(－1)＝－10， G(1)·G(2)＝(－1)×3＝－30， ∴方程的另兩根分別在(0,1)和(1,2)內．,[規(guī)律總結] 1.求函數零點所在區(qū)間時，若F(x)＝0對應函數y＝F(x)比較簡單，其圖像容易畫出，就可以觀察圖像與x軸相交的點的位置，交點橫坐標就是方程F(x)＝0的解，從而得到F(x)＝0的根所在大致區(qū)間；若函數y＝F(x)的圖像不容易畫出，則將F(x)分解為f(x)＝g(x)的形式，且y＝f(x)與y＝g(x)較容易畫出圖像，它們交點的橫坐標就是F(x)＝0的解，這種方法要求作圖要準確，否則得不出正確答案． 2．對于連續(xù)函數，可以多次驗證某些點處的函數值的符號是否異號．若異號，則方程的解在以這兩個數為端點的區(qū)間內．若同號，再需要利用二分法多次嘗試．,將(1)中的方程改為“x5－x－1＝0”時，求其一個正根所在的大致區(qū)間． [解析] ∵f(1)＝－1，f(2)＝29，∴f(1)·f(2)0， 即x5－x－1＝0的一個正根所在的區(qū)間為(1,2)．,用二分法求方程x2－5＝0的一個非負近似解(精確到0.1)． [誤解] 令f(x)＝x2－5， 因為f(2.2)＝2.22－5＝－0.160， 所以f(2.2)·f(2.4)0，,因為f(2.2)·f(2.3)0， 因為f(2.2)·f(2.25)0，所以x0∈[2.2,2.25]， 所以原方程的非負近似解為2.2. [辨析] 本題產生錯解的原因是對精確度的理解不正確，2.25取近似值為2.3.,[正解] 令f(x)＝x2－5， 因為f(2.2)＝－0.160， 所以f(2.2)·f(2.4)0， 因為f(2.2)·f(2.3)0， 因為f(2.2)·f(2.25)0，所以x0∈[2.2,2.25]，,同理可得x0∈[2.225,2.25]，x0∈[2.225,2.2375]， 因為2.2375－2.225＝0.01250.1，區(qū)間[2.225，2.2375]的左、右端點精確到0.1所取的近似值2.2，所以2.2就是所給方程的一個非負近似解． [規(guī)律總結] 用二分法求函數的零點，首先是大致區(qū)間的確定，使區(qū)間長度盡量小，否則會增加運算量．雖然此類問題要求用計算器運算，但也應注意運算的準確性．另外，在計算到第n步時，區(qū)間[an，bn]的長度應小于精確度．,