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成才之路 · 數(shù)學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,人教A版 · 必修3,統(tǒng)計,第二章,2.1 隨機抽樣,第二章,2.1.3 分層抽樣,1．簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣兩種抽樣方法都適合總體中個體分布較為均勻的總體的抽樣問題，簡單隨機抽樣適合個體_______的總體的抽樣，而系統(tǒng)抽樣適合個體______的總體的抽樣． 但是，當總體中的個體之間差異較大，分成具有明顯差異的幾部分時，如果利用上述兩種抽樣的方法都不能保證抽出的樣本具有很好的代表性，這就迫切需要一種更為合理的抽樣方法，就是本節(jié)要學習的______抽樣．在學習過程中，一是要把握分層抽樣方法的特點；二是要與前面的兩種抽樣方法對比學習，加深對三種抽樣方法的理解．,●知識銜接,較少,較多,分層,2．某廠共有64名員工，準備選擇4人參加技術(shù)評估．現(xiàn)將這64名員工編號，準備運用系統(tǒng)抽樣的方法抽取，已知8號，24號，56號在樣本中，那么樣本中還有一個員工的編號是( ) A．35 B．40 C．45 D．50 [答案] B,3．將參加數(shù)學夏令營的100名同學編號為001,002，…，100.現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為25的樣本，且第一段中隨機抽得的號碼為004，則在046至078號中，被抽中的人數(shù)為________． [答案] 8 [解析] 抽樣距為4，第一個號碼為004，故001～100中是4的整數(shù)倍的數(shù)被抽出，在046至078號中有048,052,056,060,064,068,072,076，共8個．,1．分層抽樣 (1)定義：一般地，在抽樣時，將總體分成_________的層，然后按照一定的______，從各層______地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體_________作為樣本，這種抽樣的方法是一種分層抽樣．,●自主預習,互不交叉,比例,獨立,合在一起,(2)步驟： ①分層：按_________將總體分成若干部分(層)； ②按_________確定每層抽取個體的個數(shù)； ③各層分別按______________或___________的方法抽取樣本； ④綜合每層抽樣，組成樣本．,某種特征,抽樣比,簡單隨機抽樣,系統(tǒng)抽樣,[破疑點] 分層抽樣又稱類型抽樣，應用分層抽樣應遵循以下要求： (1)分層：將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，遵循不重復、不遺漏的原則． (2)分層抽樣為保證每個個體都等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比和樣本容量與總體容量的比相等． (3)當總體由差異明顯的幾部分組成時，往往采用分層抽樣．,2．三種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系 為了方便使用，這里以表格的形式給出三種抽樣方法的對比：,1．某校高三年級有男生500人，女生400人．為了解該年級學生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調(diào)查，這種抽樣方法是( ) A．簡單隨機抽樣法 B．抽簽法 C．隨機數(shù)表法 D．分層抽樣法 [答案] D [解析] 樣本由差異明顯的幾部分組成，抽取的比例由每層個體占總體的比例確定，即為分層抽樣法．,●預習自測,2．有一批產(chǎn)品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，用分層抽樣從這批產(chǎn)品中抽出8件進行質(zhì)量分析，則抽樣比為________． [答案] 251 [解析] 一、二、三等品的比例為10255＝251，故抽樣比為251.,3．(2014·天津)某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查．已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4556，則應從一年級本科生中抽取________名學生． [答案] 60,4．在一批電視機中，有甲廠生產(chǎn)的56臺， 乙廠生產(chǎn)的42臺，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為14的樣本．,分層抽樣的概念,●互動探究,(2)下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是( ) A．從10名同學中抽取3人參加座談會 B．某社區(qū)有500個家庭，其中高收入的家庭125個，中等收入的家庭280個，低收入的家庭95個，為了了解生活購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100的樣本 C．從1000名工人中，抽取100名調(diào)查上班途中所用時間 D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量 [探究] 1.分層抽樣是等可能抽樣嗎？ 2．分層抽樣的適用范圍是什么？,[答案] (1)C (2)B,[規(guī)律總結(jié)] 分層抽樣的前提和遵循的兩條原則 (1)前提：分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個體間差異較小，每層中所抽取的個體數(shù)可按各層個體數(shù)在總體的個體數(shù)中所占比例抽?。?(2)遵循的兩條原則： ①將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則； ②分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比．,(1)(2014·湖南)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2、p3，則( ) A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1 C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3,(2)(2013·湖南)某學校有男、女學生各500名．為了解男、女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是( ) A．抽簽法 B．隨機數(shù)法 C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法 [答案] (1)D (2)D,[解析] (1)根據(jù)隨機抽樣的原理可得簡單隨機抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個個體被抽到的概率相等，即p1＝p2＝p3，故選D. (2)由于被抽取的個體的屬性具有明顯差異，所以宜采用分層抽樣法．,(2010·四川)一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其余人員120人．為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是( ) A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,6,分層抽樣各層中樣本容量的計算,,(1)(2014·重慶)某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為( ) A．100 B．150 C．200 D．250 (2)(2014·江西)甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質(zhì)量檢測，若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件．,[答案] (1)A (2)1800,一個單位有職工160人，其中有業(yè)務人員112人，管理人員16人，后勤服務人員32人，為了了解職工的某種情況，要從中抽取一個容量為20的樣本，寫出用分層抽樣的方法抽取樣本的過程． [探究] 分層抽樣中各層抽取個體數(shù)依各層個體數(shù)之比來分配，確定各層抽取的個體數(shù)之后，可采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取個體．,分層抽樣的操作步驟,,[解析] 三部分所含個體數(shù)之比為1121632＝712，設(shè)三部分各抽個體數(shù)為7x，x,2x，則由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故業(yè)務人員、管理人員、后勤服務人員抽取個體數(shù)分別為14,2和4. 對112名業(yè)務人員按系統(tǒng)抽樣分成14個部分，其中每個部分包括8個個體，對每個部分利用簡單隨機抽樣抽取個體．若將160名人員依次編號為1,2,3，…，160.那么在1～112名業(yè)務人員中第一部分的個體編號為1～8.從中隨機取一個號碼，如它是4號，那么可以從第4號起，每隔8個抽取1個號碼，這樣得到112名業(yè)務人員被抽出的14個號碼依次為4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.,再用抽簽法可抽出管理人員和服務人員的號碼． 將以上各層抽出的個體合并起來，就得到容量為20的樣本．,[規(guī)律總結(jié)] 分層抽樣的注意事項 分層抽樣是當總體由差異明顯的幾部分組成時采用的抽樣方法，進行分層抽樣時應注意以下幾點： (1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異要小，各層之間的樣本差異要大，且互不重疊． (2)為了保證每個個體等可能入樣，所有層應采用同一抽樣比，等可能抽樣． (3)在每層抽樣時，應采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣．,[特別提醒] 保證每個個體等可能入樣是簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣共同的特征，為了保證這一點所有層按同一抽樣比，等可能抽樣．,某政府機關(guān)有在編人員100人，其中科級以上干部10人，科員70人，辦事員20人．上級機關(guān)為了了解他們對政府機構(gòu)改革的看法，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，并寫出具體的抽樣過程．,(2013·新課標全國Ⅰ)為了解某地區(qū)的中小學生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是( ) A．簡單隨機抽樣 B．按性別分層抽樣 C．按學段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣,三種抽樣方法的比較,●探索延拓,,[探究] 根據(jù)小學、初中、高中三個學段學生的視力差異性比較大和男女生視力差異性不大可確定抽樣方法． [解析] 由于該地區(qū)的中小學生人數(shù)比較多，不能采用簡單隨機抽樣，所以排除選項A；由于該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，可采取按照學段進行分層抽樣，而男女生視力情況差異不大，不能按照性別進行分層抽樣，所以排除B和D. [答案] C,[規(guī)律總結(jié)] 抽樣方法的選取方法 (1)若總體由差異明顯的幾個層次組成，則選用分層抽樣． (2)若總體沒有差異明顯的層次，則考慮采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣． 當總體容量較小時宜用抽簽法；當總體容量較大，樣本容量較小時宜用隨機數(shù)表法；當總體容量較大，樣本容量也較大時宜用系統(tǒng)抽樣．,某社區(qū)有700戶家庭，其中高收入家庭225戶，中等收入家庭400戶，低收入家庭75戶．為了調(diào)查社會購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100戶的樣本，記作①；某中學高二年級有12名籃球運動員，要從中選出3人調(diào)查投籃命中率情況，記作②；從某廠生產(chǎn)的802輛轎車中抽取40輛測試某項性能，記作③.為完成上述三項抽樣，則應采取的抽樣方法是( ) A．①簡單隨機抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣 B．①分層抽樣，②簡單隨機抽樣，③系統(tǒng)抽樣 C．①簡單隨機抽樣，②分層抽樣，③系統(tǒng)抽樣 D．①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡單隨機抽樣,[答案] B [解析] 對于①，總體由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差異明顯的三部分組成，而所調(diào)查的指標與收入情況密切相關(guān)，所以應采用分層抽樣； 對于②，總體中的個體數(shù)較少，而且所調(diào)查內(nèi)容對12名調(diào)查對象是平等的，應采用簡單隨機抽樣； 對于③，總體中的個體數(shù)較多，且個體之間差異不明顯，樣本中個體數(shù)也較多，應采用系統(tǒng)抽樣．,[規(guī)律總結(jié)] 抽樣方法的選擇要結(jié)合三種抽樣方法的特點去比較，明確它們各自的特點以及在抽樣過程中的可操作性，由明顯差異的幾部分組成時，要選用分層抽樣．,某單位有老、中、青年人各32人，50人，20人，現(xiàn)用分層抽樣從三個群體中共抽取20人進行某項調(diào)查，問：老、中、青每組應各抽取多少人？每人被抽中的機會是否相等？ [錯解] 按分層抽樣的要求，可先從老年人中用隨機抽樣法剔除2人，使三個群體的人數(shù)比為352，則共抽20人進行調(diào)查，三組中各抽取人數(shù)為6人，10人，4人；但由于老年組中先剔除2人，沒有參與后面的抽取，因此每人抽中機會不相等．,●誤區(qū)警示,[錯因分析] 由于剔除的2位老人是隨機剔除的，因而老年人中每人被抽中的機會仍相等． [正解] 先從老年人中隨機剔除2人，余下的三個群體人數(shù)比為352，從三組中各抽取人數(shù)分別為6人，10人，4人．每人被抽中的機會相等．,某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對某一節(jié)目的喜愛程度進行調(diào)查，參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12000人，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表所示： 電視臺為了進一步了解觀眾的具體想法和意見，打算從中再抽取60人進行更為詳細的調(diào)查，各種態(tài)度應抽取的人數(shù)分別為________． [答案] 12、23、20、5,[分析] 總體中人數(shù)較多且觀眾持不同的態(tài)度→應采用分層抽樣的方法,1．某市為了了解職工家庭生活狀況，先把職工按所從事的行業(yè)分為8類(每類家庭數(shù)不完全相同)，再對每個行業(yè)抽取的職工家庭進行調(diào)查，這種抽樣方法是( ) A．簡單隨機抽樣 B．系統(tǒng)抽樣 C．分層抽樣 D．不屬于以上幾類抽樣 [答案] C [解析] 因為職工所從事的行業(yè)有明顯差異，所以適合用分層抽樣．,2．(2011·福建高考)某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名．現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了6名，則在高二年級的學生中應抽取的人數(shù)為( ) A．6 B．8 C．10 D．12 [答案] B,3．(2013·湖南)某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n＝( ) A．9 B．10 C．12 D．13 [答案] D [分析] 利用抽樣比等于某層抽取的個體數(shù)與該層的個體總數(shù)之比，列方程可求出n.,4．從某地區(qū)15 000位老人中按性別分層抽取一個容量為500的樣本，調(diào)查其生活能否自理的情況如下表所示. 則該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性多的人數(shù)約為( ) A．60 B．100 C．1 500 D．2 000,,,[答案] A,5．一個單位有職工160人，其中業(yè)務人員120人，管理人員16人，后勤服務人員24人．為了了解職工的家庭收入情況，要從中抽取一個容量為20的樣本，請確定抽樣方法，并簡述抽樣過程． [探究] 由于不同層次人員的收入有著較大的差異，因此宜采用分層抽樣抽取樣本．,(3)在各層中分別用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣抽取樣本． (4)綜合每層抽樣，組成樣本．,