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§4 平面向量的坐標,1.平面向量的坐標表示 (1)向量a的坐標：________. (2)全體有序?qū)崝?shù)對與坐標平面內(nèi)的所有向量之間的關(guān)系是 _________的.,a=(x,y),一一對應(yīng),2.平面向量線性運算的坐標表示 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則,(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),和,與差,(λx1,λy1),乘積,(x2,y2),(x1,y1),(x2-x1,y2-y1),其終點的相,應(yīng)坐標減去起點,的相應(yīng)坐標,3.向量平行的坐標表示 (1)公式：設(shè)a,b是非零向量，且a=(x1,y1),b=(x2,y2), a∥b?__________. 若y1≠0且y2≠0，則上式可表示為a∥b ? . (2)文字語言： 定理1：若兩個向量(與坐標軸不平行)平行，則它們相應(yīng)的 坐標_______. 定理2：若兩個向量相對應(yīng)的坐標_______，則它們平行.,x1y2-x2y1=0,,成比例,成比例,1．判一判 (正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)位置不同的向量的坐標一定不一樣.( ) (2)一個向量的坐標等于其起點相應(yīng)坐標減去終點的相應(yīng)坐標.( ) (3)對于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，若a∥b，則x1x2－y1y2 =0.( ),2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)若向量a=(5,－2)，則向量a的相反向量的坐標是______. (2)若向量a=(1,－1),b=(3, ),則a－2b=______. (3)若向量m=(2,2),n=(－1,x),且m∥n,則x=______.,【解析】1.(1)錯誤.當位置不同的向量是相等向量時坐標一樣. (2)錯誤.一個向量的坐標等于其終點相應(yīng)坐標減去起點的相應(yīng)坐標. (3)錯誤.對于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，若a∥b，則x1y2－x2y1=0. 答案：(1)× (2)× (3)×,2.(1)若向量a=(5,－2)，則向量a的相反向量－a=(－5,2). 答案：(－5,2) (2)若向量a=(1,－1),b=(3, ), 則a－2b=(1,－1)－2(3, )=(－5,－2). 答案：(－5,－2) (3)若向量m=(2,2),n=(－1,x),且m∥n, 則2x－2×(－1)=0,解得x=－1. 答案：-1,【要點探究】 知識點1 向量的坐標表示 1.對平面向量坐標表示的三點說明 (1)向量的坐標只與始點和終點的相對位置有關(guān),而與它們的具體位置無關(guān). (2)向量確定后,向量的坐標就被確定了.,(3)引入向量的坐標表示以后,向量就有兩種表示方法：一種是幾何法,即用向量的長度和方向表示；另一種是坐標法,即用一對有序?qū)崝?shù)表示.有了向量的坐標表示,就可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.,2.點的坐標與向量坐標的區(qū)別與聯(lián)系 (1)區(qū)別 ①表示形式不同，向量a=(x,y)中間用等號連接，而點的坐標A(x,y)中間沒有等號. ②意義不同，點A(x,y)的坐標(x,y)表示點A在平面直角坐標系中的位置，a=(x,y)的坐標(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x,y)既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應(yīng)指明點(x,y)或向量a=(x,y).,(2)聯(lián)系 當平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標與向量終點的坐標相同.,【微思考】 (1)如果已知向量的坐標，能否確定向量的位置？ 提示：不能.已知向量的坐標，向量的兩個端點的坐標不能確定，因此向量的位置不能確定. (2)相等向量的坐標、端點坐標之間有什么關(guān)系？ 提示：相等向量的坐標相同,但是端點坐標不一定相同.,【即時練】 1.若點A(1,1),B(0,2),則 =_______. 2.已知 =(2,4)，若點M(－3,2)，則點N的坐標為_______. 3.已知a=(2,0)，b=(x－1,y+1)，若a=b，則x=_______, y=_______.,【解析】1.若點A(1,1),B(0,2),則 =(－1,1). 答案：(－1,1) 2.已知 =(2,4)，若點M(－3,2)， 設(shè)N的坐標為x,y,則 解得 則N(－1,6). 答案：(－1,6),3.若a=b,則 解得 答案：3 -1,知識點2 向量共線的坐標表示 兩個向量共線的表示形式 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)當b≠0時，a=λb. 這是幾何運算，體現(xiàn)了向量a與b的長度及方向之間的關(guān)系.,(2)x1y2-x2y1=0. 這是代數(shù)運算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少未知數(shù)個數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點，程序化的特征. (3)當x2y2≠0時， ，即兩向量的相應(yīng)坐標成比例. 通過這種形式較易記憶向量共線的坐標表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯誤.,【微思考】 (1)向量平行的坐標表示有何特征? 提示：交叉坐標乘積之差等于零. (2)對于平行向量如何根據(jù)其坐標判斷兩向量是同向還是反向？ 提示：根據(jù)向量的坐標，由(x1,y1)=λ(x2,y2),當λ0時，兩向量同向，當λ0時，兩向量反向.,【即時練】 1.若向量a=(1,－2)，b=( ,－1)，則向量a,b的關(guān)系是 _______. 2.已知向量a=(a,b),b=(－1,2),若a∥b,則a,b滿足的關(guān)系 式為_______.,【解析】 1.1×(－1)－(－2)× =－1+1=0. 答案：平行 2.已知向量a=(a,b),b=(－1,2),若a∥b,則2a+b=0. 答案：2a+b=0,【題型示范】 類型一 平面向量的坐標表示及其線性運算 【典例1】 (1)(2014·北京高考)已知向量a=(2,4)，b=(-1,1)， 則2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9),(2)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=λa+μb (λ，μ∈R)，則 =_______.,【解題探究】1.題(1)中求向量2a-b的坐標的運算順序是什么？ 2.將向量坐標表示的前提是什么？ 【探究提示】1.將a,b的坐標代入求解. 2.先建立適當?shù)淖鴺讼祵⑾蛄坑米鴺吮硎?,【自主解答】(1)選A.2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7). (2)以向量a,b的交點為原點，原點向右的方向為x軸正方向， 正方形網(wǎng)格的邊長為單位長度建立直角坐標系，則a=(－1,1), b=(6,2),c=(－1,－3)，根據(jù)c=λa+μb得(－1,－3)=λ(－1,1) +μ(6,2)，即 解得λ=－2,μ=－ ,所以 答案：4,【方法技巧】平面向量坐標的線性運算方法 (1)若已知向量的坐標，則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行. (2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算. (3)向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行.,【變式訓(xùn)練】已知向量 =(k,12), =(4,5), =(-k,10), 且A，B，C三點共線，則k=______. 【解析】 =(4-k,-7), =(-2k,-2). 因為A，B，C三點共線， 所以-2(4-k)-(-2k)(-7)=0， 解得k=- . 答案：-,【補償訓(xùn)練】設(shè)點A(-1,2),B(2,3),C(3,-1)，且 求D點的坐標. 【解題指南】設(shè)出D點坐標，將向量用坐標表示即可.,【解析】設(shè)D(x,y)，因為A(-1,2),B(2,3),C(3,-1)， 所以 =(3，1)， =(1，-4)， =(x+1,y-2). 又因為 所以(x+1,y-2)=2(3,1)-3(1,-4)=(6,2)-(3,-12)=(3,14). 所以 解得 所以D(2,16).,類型二 平面向量平行的坐標表示及其應(yīng)用 【典例2】 (1)(2013·陜西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b, 則實數(shù)m等于( ) A．－ B. C.－ 或 D.0,(2)如圖所示，已知點A(4,0),B(4,4)，C(2，6)，求AC與OB的交點P的坐標.,【解題探究】1.題(1)中a∥b如何用坐標表示？ 2.題(2)中點O,P,B；A,P,C的關(guān)系分別是什么？ 【探究提示】1.表示為:1·2-m·m=0 2.分別是共線關(guān)系.,【自主解答】(1)選C. 因為a=(1,m),b=(m,2),且a∥b, 所以1·2=m·m?m=± . (2)方法一：設(shè)P(x,y)， 則 =(x,y), =(4,4). 因為 共線， 所以4x-4y=0.①,又 =(x-2,y-6), =(2,-6), 且向量 共線， 所以-6(x-2)+2(6-y)=0.② 解由①②組成的方程組，得x=3,y=3， 所以點P的坐標為(3，3).,方法二：設(shè) =t(4,4)=(4t,4t), 則 =(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t)， =(2,6)-(4,0)=(-2,6). 由 共線的條件知 (4t-4)·6-4t·(-2)=0， 解得t= ,所以 =(4t,4t)=(3,3), 所以點P的坐標為(3，3).,【延伸探究】在本題(1)中，若向量a,b同向，則應(yīng)該選哪個 答案？ 【解析】選B.由本題(1)的解答可知,m=- 或 , 當m=- 時,b=- a反向； 當m= 時，b= a同向，故m= .,【方法技巧】利用向量共線的條件求值的處理思路 ①是利用共線向量定理a=λb(b≠0)列方程組求解，②是利用向量共線的坐標表達式x1y2-x2y1=0直接求解.,【變式訓(xùn)練】已知向量a=(1,3),b=(3,n),若2a-b與b共線,則實數(shù)n的值是( ) A.6 B.9 C.3+2 D.3-2 【解析】選B.2a-b=(2,6)－(3,n)=(－1,6－n)， 因為2a-b與b共線，則-n-3(6-n)=0, 解得n=9.,【補償訓(xùn)練】已知向量a＝(1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－2)， 若向量λa＋b與c共線，則實數(shù)λ的值為( ) A.-2 B.- C.-1 D.- 【解析】選C.λa＋b=(λ+2,2λ)，又向量λa＋b與c共線， 則(λ+2)×(－2)－2λ=－4λ－4=0，解得λ=－1.,【易錯誤區(qū)】忽略向量的方向致誤 【典例】(2014·肇慶高一檢測)已知向量a=(－m,4)與b= (－9,m)共線且反向，則m=( ) A.±6 B.-6 C.6 D.36,【解析】選B.已知向量a=(－m,4)與b=(－9,m)共線， 可得－m2－4×(－9)=－m2+36=0，即m2=36， 解得m=±6， 當m=6時，a=(－6,4)，b=(－9,6)，則a= b，a與b同向， 不符合題意. 當m=－6時，a=(6,4)，b=(－9,－6)， 則a=－ b，a與b反向符合題意.故選B.,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 深入理解向量關(guān)系，防止錯解 利用向量平行的坐標表示解決共線問題時應(yīng)關(guān)注兩個向量的方向關(guān)系，由方向關(guān)系確定參數(shù)的取值.如本例中兩向量共線且反向，參數(shù)的值應(yīng)取負值.,【類題試解】已知A(1,3)，B(2,4)，a=(2x－1,x2+3x－3)且 a= ，則x=( ) A.1 B.1或-4 C.0 D.-4 【解析】選A. =(1,1)，又a= ，則由2x－1=1，解得 x=1； 由x2+3x－3=1，解得x=1或x=－4(舍去).故選A.,