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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修2-1,空間向量與立體幾何,第二章,2.4 用向量討論垂直與平行,第二章,1．垂直問題 (1)直線與直線垂直：只要兩直線的________垂直，兩直線必垂直． (2)直線與平面垂直：直線的________若與平面的________平行，則直線與平面垂直；反之亦成立． (3)平面與平面垂直：平面與平面垂直的充要條件是：_____________________________．,方向向量,方向向量,法向量,兩平面的法向量互相垂直,2．平行問題 (1)直線與直線平行：只要兩條直線的__________________________________． (2)直線與平面平行：直線的____________若與平面的__________垂直(直線不在平面內(nèi))，則直線與平面平行． (3)平面與平面平行：當(dāng)兩平面的______________(兩平面不重合)時兩平面平行．,方向向量平行且這兩條直線不共線即可,方向向量,法向量,法向量平行,3．三垂線定理 (1)三垂線定理：若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線在該平面上的________，則這兩條直線垂直． (2)三垂線定理的逆定理：若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線，則這條直線也垂直于直線在該平面內(nèi)的________．,投影,投影,2．確定平面的法向量 平面的法向量就是平面法線的方向向量，因此可以先確定平面的法線，再取它的方向向量．也可以直接判定向量與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而得到平面的法向量．確定平面的法向量通常有兩種方法：(1)幾何體中已經(jīng)給出有向線段，只需證明線面垂直；(2)幾何體中沒有具體的直線，此時可以采用待定系數(shù)法求解平面的法向量．,3．對于空間中平行關(guān)系的向量表示的三點說明 (1)直線與直線平行：關(guān)鍵看直線的方向向量是否共線． (2)直線與平面平行：關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量是否垂直；或者看直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量是否共面． (3)平面與平面平行：關(guān)鍵看兩平面的法向量是否共線．,4．關(guān)于三垂線定理的理解 (1)三垂線定理敘述的是平面內(nèi)直線a與平面的斜線b，及斜線b在平面內(nèi)的投影c三者之間的垂直關(guān)系． (2)這里a與b可以相交，可以異面． (3)三垂線定理是判斷或證明空間中線線垂直的主要依據(jù)，三垂線定理跨越了線面垂直，直接由線線垂直到線線垂直，為解決線線垂直提供了一條捷徑．,5．直線的方向向量與平面法向量在確定直線、平面的平行關(guān)系中的應(yīng)用 (1)若兩直線l1，l2的方向向量分別是u1，u2，則l1∥l2?u1∥u2. (2)若兩平面α，β的一個法向量分別是n1，n2，則α∥β?n1∥n2. (3)若直線l的方向向量是u，平面α的一個法向量是n，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.,6．判定空間線、面垂直關(guān)系時，直線的方向向量與平面的法向量的確定方法 在實際解題過程中，需要確定直線的方向向量和平面的法向量，通常是先確定直線上兩點的坐標，從而求出直線的方向向量；平面的法向量則通常需要確定平面內(nèi)不共線的三個點的坐標，然后確定平面內(nèi)兩條直線的方向向量，最后用待定系數(shù)法求出平面法向量．,1．設(shè)兩條直線所成角為θ(θ為銳角)，則直線的方向向量的夾角與θ( ) A．相等 B．互補 C．互余 D．相等或互補 [答案] D,4．在空間直角坐標系中，平面xOz的一個法向量是( ) A．(1,0,0) B．(0,1,0) C．(0,0,1) D．(0,1,1) [答案] B 5．若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為u＝(－2,0，－4)，則( ) A．l∥α B．l⊥α C．lα D．l與α斜交 [答案] B [解析] ∵u＝－2a，∴a∥u.∵u為平面α的法向量，∴l(xiāng)⊥α.,如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD．,線面平行,,,如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點D是AB的中點． (1)求證：AC⊥BC1； (2)求證：AC1∥平面CDB1.,,,如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是正方體六個面的中心．求證：平面EFG∥平面HMN.,面面平行,,[分析] 用向量證明面面平行有兩個途徑：利用面面平行的判定定理，即證明一個平面內(nèi)的兩個不共線向量都平行于另一個平面；證明兩個平面的法向量平行．,,[總結(jié)反思] 證明面面平行的向量方法有兩種：第一種是分別求出兩平面的法向量，再證明兩法向量平行；第二種是證明一個平面有兩不共線向量平行于另一平面，轉(zhuǎn)化為線面平行的問題．,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分別為C1D1、B1C1、CC1的中點． 求證：平面A1DB∥平面EFG. [證明] 以D為原點，直線DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．,,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，D1B1的中點． 求證：EF⊥平面B1AC． [分析] 可以從純幾何的角度和向量運算的角度進行證明．,線面垂直,,[解析] 證法一：如圖，取A1B1的中點G，連接EG，F(xiàn)G，A1B，則FG∥A1D1，EG∥A1B．,,[總結(jié)反思] 用向量法證明線面垂直的方法與步驟 (1)基向量法 ①確定基向量作為空間的一個基底，用基向量表示有關(guān)直線的方向向量； ②找出平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，并分別用基向量表示； ③分別計算有關(guān)直線的方向向量與平面相交直線的方向向量的數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積為0，證得線線垂直，然后由線面垂直的判定定理得出結(jié)論．,(2)坐標法 方法一：①建立空間直角坐標系； ②將直線的方向向量用坐標表示； ③找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量； ④分別計算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0. 方法二：①建立空間直角坐標系； ②將直線的方向向量用坐標表示； ③求出平面的法向量； ④判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．,,,,在正三棱錐P－ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分別為BC、PB上的點，且BEEC＝PFFB＝12. 求證：平面GEF⊥平面PBC．,面面垂直,,[證明] 證法1：如圖，以三棱錐的頂點P為原點，以PA、PB、PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．,,[證明] ∵FA⊥平面ABCD，∴FA⊥AD，F(xiàn)A⊥AB，又AD⊥AB，∴AF、AD、AB兩兩垂直．如圖，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設(shè)AB＝1，,,如圖，在棱長AB＝AD＝2，AA1＝3的長方體AC1中，點E是平面BCC1B1上的一個動點，點F是CD的中點．試確定點E的位置，使D1E⊥平面AB1F.,探索性問題,,,,在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC，DD1上是否分別存在點E，F(xiàn)，使得B1E⊥平面ABF，若存在，請證明你的結(jié)論，并求出E，F(xiàn)滿足的條件；若不存在，說明理由． [誤解] 若在建系不恰當(dāng)，則會導(dǎo)致運算煩瑣，甚至出錯，致使結(jié)論錯誤；若不知如何把線面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系，則本例無法繼續(xù)求解．,[正解] 建立如圖空間直角坐標系，,,[總結(jié)反思] 1.準確確定點的坐標 認真審題，分清題設(shè)條件，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，準確寫出相關(guān)點的坐標及合理設(shè)出待定點的坐標，本例中E，F(xiàn)要在正方體的棱上，其坐標必需滿足條件h，m∈[0,1]． 2．合理轉(zhuǎn)化已知條件 根據(jù)題設(shè)條件，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，準確運用向量運算解答．例如本例中②處的轉(zhuǎn)化．,