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第三章 三角恒等變形 §1 同角三角函數的基本關系,同角三角函數的基本關系式,sin2α+cos2α=1,1.判一判 (正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)對任意角α， 都成立.( ) (2)對任意角α，sin α2+cos α2=1都成立.( ) (3)對任意角α， 都成立.( ) (4)對任意角α，β，sin2α+cos2β=1都成立.( ),【解析】(1)正確.當α∈R時， 都成立. (2)錯誤.當α∈R時，sin α2與sin2α的含義不同，且當α為 角度制時α2無意義，即sin α2無意義. (3)錯誤,當2α≠kπ+ ,k∈Z，即α≠ k∈Z時，才成 立. (4)錯誤,必須是對同一個角. 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×,2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)sin225°+cos225°=_______. (2) =_______. (3) =_______. (4)tan 135°·cos 135°=_______.,【解析】(1)sin225°+cos225°=1. 答案：1 (2) 答案: (3) 答案：,(4)tan 135°·cos 135°= ·cos 135°=sin 135° =sin(180°-45°)=sin 45°= 答案：,【要點探究】 知識點 同角三角函數基本關系 1.適用的前提條件 必須在等式兩邊的角均有意義的前提下才能使用，如式子 不成立.,2.對“同角”的理解 同角三角函數的基本關系式揭示了“同角不同名”的三角函數 的運算規(guī)律，這里，“同角”有兩層含義:一是“角相同”如 與 ,2α與2α都是同角,二是對“任意”一個角(在使函數 有意義的前提下).關系式成立與角的表達形式無關,如 3.應用平方關系的注意點 在應用平方關系式求sin α或cos α時,其正負號是由角α所 在的象限決定的,不可憑空想象.,4.同角三角函數基本關系的常用等價變形 (1)sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. (2)sin α=cos αtan α, (3) (4),【微思考】 (1)利用平方關系求sin α或cos α是否會得到正負兩個值？請說明理由. 提示：不一定，其正負號由角α所在的象限決定. (2)由tan α的值求sin α與cos α的關鍵是什么？ 提示：由商數關系與平方關系構造關于sin α與cos α的方程組求解.,【即時練】 1.(2014·南昌高一檢測)已知sin α= 且α為第二象限的 角，則tan α=( ) 2.已知tan α=2，求cos α的值．,【解析】1.選A.因為α為第二象限的角， 所以,2.由tan α＝2知 sin α=2cos α，則sin2α=4cos2α.又因為sin2α+cos2α=1， 所以4cos2α+cos2α=1，即cos2α= 又tan α=2＞0,α是第一或第三象限的角, 若α是第一象限的角，則cos α＞0, 所以cos α=,若α是第三象限的角，則cos α= 綜上可知：若α是第一象限的角，則cos α= 若α是第三象限的角，則cos α=,【題型示范】 類型一 利用同角關系求三角函數式的值 【典例1】 (1)已知cos αsin α= 則cos α-sin α的值等于( ) (2)(2014·天津高一檢測)已知tan α= 計算:,【解題探究】1.題(1)中cos α-sin α與cos αsin α之間的關系是什么？ 2.題(2)中所求的式子能否轉化為關于tan α的式子，方法是什么？ 【探究提示】 1.(cos α-sin α)2=1-2cos αsin α. 2.能轉化為關于tan α的式子，方法是分子、分母同時除以cos α或cos2α.,【自主解答】(1)選B.因為cos αsin α= 所以cos α-sin α= (2)① ② =,【延伸探究】若題(2)②中“ ”，則 tan α的值如何？ 【解析】因為 = 由已知得 即tan2α-2tan α=0. 解得tan α=0或2. 經檢驗知，均符合要求，所以tan α=0或2.,【方法技巧】 1.關于sin α，cos α的齊次式的求值策略 (1)關于sin α，cos α的齊次式就是式子中的每一項都是關于sin α，cos α的式子且它們的次數之和相同，設為n次，將分子，分母同除以cos α的n次冪，其式子可化為關于tan α的式子，再代入求值. (2)若無分母時，把分母看作1，并將1用sin2α+cos2α來代換，將分子、分母同除以cos2α，可化為關于tan α的式子，再代入求值.,2.利用sin α±cos α與sin αcos α間的關系求值 (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. 對sin α-cos α,sin α+cos α,sin αcos α可以“知一求二”.,【變式訓練】已知sin θ+cos θ= (0＜θ＜π), 求sin θ·cos θ和sin θ-cos θ的值. 【解析】因為sin θ+cos θ= (0＜θ＜π), 所以(sin θ+cos θ)2= 即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ= 所以sin θcos θ=,由上知，θ為第二象限的角， 所以sin θ-cos θ＞0, 所以sin θ-cos θ= =,【誤區(qū)警示】本題解題時易忽視sin θcos θ＜0,sin θ- cos θ的符號為正，而誤為應取正負，從而造成錯解.,【補償訓練】已知tan θ+ =3，求tan2θ+(sin θ- cos θ)2+ 的值. 【解析】由 即 所以sin θ·cos θ= 所以原式= -2+(1-2sin θcos θ)=32-2+1-,類型二 利用同角關系化簡三角函數式 【典例2】 (1)(2014·安慶高一檢測)函數 ( ) A.在 上遞增 B.在 上遞增，在 上遞減 C.在 上遞減 D.在 上遞減，在 上遞增,(2)化簡下列各式. ① ②(2014·西安高一檢測) 其中α為第三 象限角.,【解題探究】1.題(1)中研究函數f(x)的單調性關鍵是什么？ 2.化簡含有弦、切及根號的三角函數式的一般思路是什么？ 【探究提示】1.關鍵是將f(x)化簡到tan x的形式. 2.一般思路是切化弦,做到函數名稱統(tǒng)一及根據平方關系去掉根號，再化簡.,【自主解答】(1)選D.在區(qū)間 上，f(x)= 所以其在 上遞增，在 上遞減.,(2)① ②因為α為第三象限角，所以-1＜sin α＜0,-1＜cos α＜ 0，1+sin α＞0,1-sin α＞0. 則,【方法技巧】三角函數式化簡的三種常用技巧 (1)化切為弦,即把正切函數都化為正、余弦函數,從而減少函數名稱,達到化繁為簡的目的. (2)對于含有根號的,常把根號里面的部分化成完全平方式,然后去根號達到化簡的目的. (3)對于化簡含高次的三角函數式,往往借助于因式分解,或構造sin2α+cos2α=1,以降低函數次數,達到化簡的目的.,【變式訓練】化簡： =__________. 【解題指南】把1-2sin 10°cos 10°配湊成(cos 10°- sin 10°)2即可開方. 【解析】 答案:-1,【補償訓練】化簡：cos4α+sin2α(1+cos2α). 【解析】原式=cos4α+sin2αcos2α+sin2α =cos2α(cos2α+sin2α)+sin2α =cos2α+sin2α=1.,類型三 利用同角關系證明三角恒等式 【典例3】 (1)求證： (2)(2013·安康高一檢測)求證： 【解題探究】1.題(1)中，sin α,cos α與tan α共存，一般用到哪個關系式？ 2.對于題(2)，左右兩邊差異是什么？如何消除差異？,【探究提示】 1.一般會用到 2.差異有兩點，一是函數名稱，二是式子形式，可通過切化弦或者弦化切來消除差異.,【自主解答】(1)左邊= = = =右邊， 所以原式成立.,(2)方法一：右邊= = = =3-2cos2α=左邊， 所以原式得證.,方法二：左邊= = =右邊， 所以原式得證.,【方法技巧】 1.利用同角關系證明三角恒等式常用的途徑 (1)由左邊推至右邊，或由右邊推至左邊，遵循的是化繁為簡 的原則. (2)兩邊夾法，即左邊=A，右邊=A，則左邊=右邊，這里的A起 著橋梁的作用. (3)左邊-右邊=0，或 =1，通過作差或作商，將原式轉化 為一個等價的、更便于證明的等式.,2.證明過程中的三個注意 (1)注意化繁為簡，化切為弦. (2)注意公式的變式運用.如1±2sin αcos α=(sin α± cos α)2等. (3)注意為分式運算時，要把握通分的時機，不要隨意通分，爭取在變式化簡時往同分母的方向化簡.,【變式訓練】求證： 【解題指南】由于等式兩邊的結構較復雜，可考慮分別將等式 兩邊化簡，利用“兩邊夾法”證明.,【證明】左邊= 右邊= 左邊=右邊，原式得證.,【補償訓練】已知sin2A+cos2Asin2Bcos2C=sin2B.求證：tan2A=sin2Ctan2B. 【證明】由已知sin2A+cos2A·sin2B·cos2C=sin2B， 則sin2A+cos2Asin2B(1-sin2C)=sin2B， 所以sin2A+cos2Asin2B-cos2A·sin2B·sin2C=sin2B， cos2Asin2B·sin2C=sin2A-sin2B(1-cos2A)， 即：cos2A·sin2B·sin2C=sin2A·cos2B， 兩邊同除以cos2A·cos2B得 tan2A=sin2C·tan2B.,【易錯誤區(qū)】忽視角的范圍定錯符號而致誤 【典例】(2014·合肥高一檢測)已知sin α+cos α= α∈(0，π)，則tan α=________.,【解析】將等式sin α+cos α= 兩邊平方，得2sinαcosα = ＜0,又因為α∈(0,π)，所以sin α＞0,cos α＜0， α∈ 可得1-2sin αcos α= ?sin2α+cos2α-2sin αcos α= 所以(sin α-cos α)2= 即sin α-cos α= 由sin α+cos α= 和sin α-cos α= 解得,所以 答案：,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.挖掘好題設條件，限制準角的范圍 對題目的條件要認真分析，找出隱含條件，根據所給角的范圍結合函數值正負，壓縮角的范圍是定準符號的關鍵. 2.公式要記牢，運算要準確 要掌握好同角三角函數的基本關系，能熟練地進行平方關系的轉換，及利用商數關系求正切.,【類題試解】已知sin α+cos α= 其中0＜α＜π,則 sin α-cos α=________. 【解析】因為sin α+cos α= 所以(sin α+cos α)2= 所以1+2sin αcos α= 所以sin αcos α= 因為0＜α＜π且sin αcos α＜0,所以sin α＞0,cos α＜0, 所以sin α-cos α＞0. 又因為(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α= 所以sin α- cos α= 答案：,