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第七章 機械能守恒定律 第三節(jié) 功率,一、功率的概念,1.物理意義：表示力做功快慢的物理量,2.定義：功與完成這些功所用時間的比值叫功率,3.定義式： ，所求出的功率是時間t內的平均功率。,4.計算式： ，其中θ是力與速度間的夾角。用該公式時，要求F為恒力。,（1）當v為即時速度時，對應的P為即時功率；,（2）當v為平均速度時，對應的P為平均功率。,（3）重力的功率可表示為 ，僅由重力及物體的豎直分運動的速度大小決定。,（4）若力和速度在一條直線上，上式可簡化為 Pt=F·vt,（5）由公式P=Fvt可知，當功率一定時，即時速度越大，則作用力越小；反之，作用力越大，速度越小。汽車上坡時要慢速行駛就是這個原因。,對于機動車輛的功率Ｐ＝Ｆｖ（因Ｆ與Ｖ同向）。Ｆ是牽引力，Ｐ即為牽引力的功率，Ｆ并非機車的合外力。,例1.如圖示,質量為m的小滑塊,由靜止開始從傾角為θ的光滑斜面上高為h 的A 點滑到斜面的底端B點，求： （1）滑塊由A 點滑到B點的過程中，重力的平均功率；,（2）滑塊到達B點時重力的瞬時功率,解：設滑塊到達B點時的速度為vB ，經歷的時間為t,由機械能守恒定律得 vB2 =2gh,,【練習1】從空中以40m/s的初速度平拋一重為10N的物體，物體在空中運動3s落地，不計空氣阻力，取ｇ=10m/s2，則物體落地時，重力的瞬時功率為( ) A.400W B.300W C.500W D.700W,B,【解析】本題要求的是3s未重力的瞬時功率，如圖所示，由于曲線運動,G與未速度v間有夾角α，同學們常常考慮先求了v的大小，再求出α，利用公式P=F·vcosα求解，這種思路是正確的.但過于麻煩.本題要求的功率是P=G·vcosα，其實v·cosα就是v豎直分量，只需求出3s末平拋運動的豎直分速度vy.vy=g·t所以P=G·v·cosα=G·vy=G·gt=10×10×3W=300W,Vx=V0,α,V,Vy,【例2】一跳繩運動員質量m=50kg,1min跳N=180次，假設每次跳躍中，腳與地面的接觸時間占跳躍一次所用時間的2/5，試估算該運動員跳繩時克服重力做功的平均功率多大?,【解析】跳躍的周期T=60s/180=1/3s，而一個周期內在空中停留時間t1=(3/5)T=(1/5)s人向上跳看做是豎直上拋運動，設起跳速度為v0，,由t1=2v0/g得v0=gt1/2,每次跳躍克服重力做功W=1/2mv02=1/8mg2t12,所以克服重力做功的平均功率P=W/T=75(W),提示：兩種情況中拉力對人做的功一樣，第二種情況拉力除對人做功外，又對另一只小船也做了功，所以W2＞W1．由于所用時間一樣，所以P2＞P1．,【例3】一個小孩站在船頭，按應當為圖中兩種情況用同樣大小力拉繩，經過相同的時間t（船未碰撞），小孩所做的功W1、W2及在時間t內小孩拉繩的功率 P1、P2的關系為（ ） A．W1＞W2，P1= P2 B．W1＝W2，P1＝P2 C．W1＜W2，P1＜P2 D．W1＜W2，P1= P2,C,練習2.某人用同一水平力F先后兩次拉同一物體，第一次使此物體沿光滑水平面前進s距離，第二次使此物體沿粗糙水平也前進s距離，若先后兩次拉力做的功為W1和W2，拉力做功的功率是P1和P2，則( ) A.W1=W2，P1=P2 B.W1=W2，P1＞P2 C.W1＞W2，P1＞P2 D.W1＞W2，P1=P2,B,例4、 質量為m=80kg 的人站在質量為MA=240kg 的船上，用80N 的力拉一根足夠長的水平繩子，不計水的阻力，從靜止起經過t=10 秒鐘，下列兩種情況下，人做功的平均功率和瞬時功率各多少？ （1）繩的另一端系在岸邊的樹上， （2）繩的另一端系在質量為MB=400kg 的船上,解：（1）a=F/（m+MA）= 0.25 m/s2,SA=1/2at2=12.5 m,vAt=at=2.5m/s,P1=F vAt =200W,（2） aB=F/ MB= 0.2 m/s2,SB=1/2aBt2=10 m vBt= aBt = 2m/s,W2=F（SA+ SB ）=1800J,P2=F（vt + vBt ）= 360W,練習3.如圖所示，質量為lkg的物體與平面間摩擦系數μ=0．l（g取10m／s2），在2 N水平拉力作用下由靜止開始運動了2s，求這段時間內拉力、摩擦力、重力、支持力的平均功率及2s末的即時功率各為多少？,解析：a=(F-f)/m =1m／s2,s＝?at2＝2m,v＝at＝2m/s,外力 F做功功率平均值為：p1＝W/t=Fs/t=2W 2s末即時功率為：P1/=Fv＝4 W,摩擦力做功功率平均值：P2=fs/t=1W 2 s末即時功率為：P2/=fv= 2 W,重力與支持力N由P=Fvcosθ知：功率都為0．,【例5】正常人心臟在一次搏動中泵出血液70 mL，推動血液流動的平均壓強為1.6×104Pa，設心臟主動脈的內徑約2.5cm，每分鐘搏動75次，求： (1)心臟推動血液流動的平均功率是多大? (2)血液從心臟流出的平均速度是多大?,(3)把一種對人體無害，但不能透出血管的9 mg的試劑，由靜脈一次性注入體內，在安靜的情況下，經過一定的時間后抽取血樣檢查，發(fā)現該試劑的濃度已穩(wěn)定在2 mg/L，則此人全部循環(huán)血量通過心臟一次的時間需多長?,,,(2)每分鐘心臟輸出血量為: V=nV0=75×70×10-6m3=5.25×10-3m3 心臟主動脈橫截面積S為： S=?r2=3.14×(1.25×10-2)2=4.9×10-4m2,【解析】(1)設心臟每次推動血液前進的位移為L，血液受到心臟的壓力為F，由p=F/S可知，心臟起搏一次對血液所做的功W=F·L=p0SL=p0V,V是心臟跳動一次輸送的血液. W=npV=75×1.6×104×70×10-6J=84 J P=W/t=84/60=1.4 W,,,所以v=L/t=V/(S·t) =(5.25×10-3m/s)/(4.9×10-4×60)=0.18m/s,(3)設此人的循環(huán)血量為V1，則V1=9/2 所以V1=4.5(L)=4.5×10-3m3 循環(huán)一次的時間為: t=(4.5×10-3/5.25×10-3)×60=51s,,,．,【練習4】長為L的細線一端固定在O點，另一端系一質量為m的小球，開始時，細線被拉直，并處于水平位置，球處在0點等高的A位置，如圖所示，現將球由靜止釋放，它由A運動到最低點B的過程中，重力的瞬時功率變化的情況是 （ ） A.一直在增大 B.一直在減小 C.先增大后減小 D.先減小后增大,解析:小球在A位置時速度為零，重力的瞬時功率為零，到達B位置時，速度達到最大,方向水平向左，與重力夾角為900，PB＝0，由于兩個極端位置瞬時功率均為0，故可判斷C正確．,二.汽車的兩種加速問題,1.恒定功率的加速,由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，隨著v的增大，F必將減小，a也必將減小，汽車做加速度不斷減小的加速運動，直到F=f，a=0，這時v達到最大值.,可見恒定功率的加速一定不是勻加速。這種加速過程發(fā)動機做的功只能用W=Pt計算，不能用W=Fs計算（因為F為變力）。,,,P=P額不變 F2 = P額/vm =f a=0 v= vm,汽車以恒定功率運動,,解：汽車在水平路面行駛達到最大速度時牽引力F等于阻力f，即Pm=f?vm，而速度為v時的牽引力F=Pm/v，再利用F-f=ma，可以求得這時的a=0.50m/s2,例6.質量為2t的農用汽車，發(fā)動機額定功率為30kW，汽車在水平路面行駛時能達到的最大時速為54km/h。若汽車以額定功率從靜止開始加速，當其速度達到v=36km/h時的瞬時加速度是多大？,練習5.下列關于汽車運動的論述，不正確的是( ) A.汽車以額定功率啟動后做變加速運動，速度、加速度均逐漸增大 B.汽車以額定功率啟動后做變加速運動，速度逐漸增大；加速度逐漸減小，加速度為0時，速度最大 C.汽車勻速行駛時最大允許速度受發(fā)動機額定功率限制，要提高最大允許速度，必須增大發(fā)動機的額定功率 D.汽車在水平路面上以額定功率P行駛，則當牽引力F與阻力f平衡時，汽車的最大速度vm=P/f,A,例7. 列車在恒定功率機車的牽引下，從車站出發(fā)行駛5分鐘，速度達到20m/s，那么在這段時間內，列車行駛的路程（ ） A.一定小于3km B.一定等于3km C.一定大于3km D.不能確定,解：畫出運動的v-t圖象如圖示，,若為勻變速運動，則圖象如圖示， 位移為3km，故選C,,C,練習6．按額定功率行駛的汽車，所受地面的阻力保持不變，則[ ] A．汽車加速行駛時，牽引力不變，速度增大 B．汽車可以做勻加速運動 C．汽車加速行駛時，加速度逐漸減小，速度逐漸 增大 D．汽車達到最大速度時，所受合力為零,C D,2.恒定牽引力的加速,(1)由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽車做勻加速運動，而隨著v的增大，P也將不斷增大，直到P達到額定功率Pm，功率不能再增大了。這時勻加速運動結束，，此后汽車要想繼續(xù)加速就只能做恒定功率的變加速運動了。,(2)可見恒定牽引力的加速時功率一定不恒定。這種加速過程發(fā)動機做的功只能用W=F?s計算，不能用W=P?t計算（因為P為變功率）。,(4)注意：勻加速結束時機車的速度并不是最后的最大速度。因此時F＞ｆ，之后還要在功率不變的情況下變加速一段時間才達到最后的最大速度Ｖｍ。,,(4)發(fā)動機銘牌上的額定功率，指的是該機正常工作的最大輸出功率，而實際功率是指非正常工作時消耗的功率。,,,汽車先做勻加速運動，再做變加速運動。,a=(F1-f )/m 不變 v=at ↑ P= F1 v ↑,P=P額 不變 v ↑ F = P額 / v ↓ a=(F-f )/m ↓,P=P額 不變 F2 = P額/vm =f a=0 v= vm,,例八.額定功率為80kW的汽車，在水平長直公路上行駛時最大速度可達20m/s,汽車質量為2×103kg 。如果汽車從靜止開始做勻加速直線運動，加速度可達2m/s2 。設運動過程中阻力大小不變，試求： （1）汽車運動時所受阻力f； （2）汽車勻加速運動過程可持續(xù)的時間t′； （3）汽車啟動后，發(fā)電機在第三秒末的即時功率P3； （4）汽車在做勻加速直線運動過程中，發(fā)動機所做的功W′．,（2）根據牛頓定律有 ΣF=ma，F-f=ma F=f+ma,動的時間為t′，則有,（3）汽車第3秒末仍在做勻加速直線運動，則,（4）根據勻變速運動規(guī)律，則有,練習7.質量4t的機車，發(fā)動機的最大輸出功率為100kW，運動阻力恒為2×103N，試求； （1）當機車由靜止開始以0.5m/s2的加速度沿水平軌道做勻加速直線運動的過程中，能達到的最大速度和達到該最大速度所需的時間。,（2）若機車保持額定功率不變行駛，能達到的最大速度以及速度為10m/s時機車的加速度。,,,解答：（1）機車做勻加速直線運動時，有,F-f=ma,P=FVm,Vm=at,由此可解得,Vm=25m/s t=50s,,（2）機車行駛時運動形式不加限制而機車輸出功率保持額定功不變時則可在大小等于阻力牽引力作用下做勻速直線運動，此時又有,由此又可解得,例九.質量為m = 4000kg的卡車，額定輸出功率為P=60 kW。當它從靜止出發(fā)沿坡路前進時，每行駛100 m，升高5m，所受阻力大小為車重的0.1倍，取g=10 m/s2 . 試求：(1)卡車能否保持牽引力為8000 N不變在坡路上行駛？,(2)卡車在坡路上行駛時能達到的最大速度為多大？這時牽引力為多大？,(3)如果卡車用4000 N牽引力以12m/s的初速度上坡，到達坡頂時，速度為4 m/s,那么卡車在這一段路程中的最大功率為多少？平均功率是多少？,,,,分析:汽車能否保持牽引力為8000 N上坡要考慮兩點：第一，牽引力是否大于阻力？第二，汽車若一直加速，其功率是否將超過額定功率，依P=Fv解。本題考查了汽車牽引力恒定時功率的計算。不少同學在得到F f + mgsinθ后，立即做出結論：汽車可以保持牽引力8000 N不變上坡；而沒有考慮到汽車由于加速，速度不斷增大，其功率不斷增大，如果坡路足夠長，這種運動方式是不允許的。,解：分析汽車上坡過程中受力情況如圖所示：牽引力F,重力mg＝4×104N，f＝kmg＝4×103 N，支持力N，依題意sinθ＝5/100。,（1）汽車上坡時，若F＝8000N,而f＋mgsinθ＝4×103＋4×104×1/20＝6×103 N,即F f +mgsinθ,汽車將加速上坡，速度不斷增大，其輸 出功率P=Fv也不斷增大，長時間后，將 超出其額定輸出功率，所以，汽車不能 保持牽引力為8000N不變上坡。,,(2)汽車上坡時，速度越來越大，必須不斷減小牽引力以保證輸出功率不超過額定輸出功率，當牽引力F= f + mgsinθ=6×103 N時，汽車加速度為零，速度增大到最大，設為vm，則P＝Fv＝（f＋mgsinθ）·vm；,F= f + mgsinθ=6×103 N,（3）若牽引力F=4000N，汽車上坡時，速度不斷減小，所以最初的功率即為最大，P=Fv=4000×12=48×103w。整個過程中平均功率為,=32×103W,,