《數(shù)學(xué)歸納法》課件.ppt
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數(shù)學(xué)歸納法,:由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法,結(jié)論一定可靠,結(jié)論不一定可靠,考察全體對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法,考察部分對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法,歸納法分為完全歸納法 和 不完全歸納法,,,,,歸納法,思考:歸納法有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)?,優(yōu)點(diǎn):可以幫助我們從一些具體事 例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,缺點(diǎn):僅根據(jù)有限的特殊事例歸納 得到的結(jié)論有時(shí)是不正確的,解:,猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為,驗(yàn)證:同理得,啊,有完沒完啊?,正整數(shù)無數(shù)個(gè)!,(1)求出數(shù)列前4項(xiàng),你能得到什么猜想?,(2)你的猜想一定是正確的嗎?,,情境二,二、引導(dǎo)探究,尋求解決方法,1、第一塊骨牌倒下,2、任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下,條件(2)事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系,換言之就是假設(shè)第K塊倒下,則相鄰的第K+1塊也倒下,請(qǐng)同學(xué)們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個(gè)條件,,(二)師生互助,多米諾骨牌游戲原理,(1)當(dāng)n=1時(shí),猜想成立,根據(jù)(1)和(2),可知對(duì)任意的正整數(shù)n,猜想都成立。,通項(xiàng)公式為 的證明方法,三、類比問題,師生合作探究,,(一)類比歸納,當(dāng)一個(gè)命題滿足上述(1)、(2) 兩個(gè)條件時(shí),我們能把證明無限問題 用有限證明解決嗎?,,(二)理解升華,一般的,證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:,(1) 【歸納奠基】證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0 ∈N* ) 時(shí)命題成立; (2) 【歸納遞推】假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N* ,k≥ n0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 從而就可以斷定命題對(duì)于n0開始的所有正整數(shù)n都成立。 這種證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法。,,(四)提煉概念,四、例題研討,學(xué)生實(shí)踐應(yīng)用,,(一)典例析剖,,,,,,,(二)變式精煉,,,,用數(shù)學(xué)歸納法證明,,1+3+5+‥+(2n-1) =,用數(shù)學(xué)歸納法證明,n2,即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。,根據(jù)(1)和(2)可知,等式對(duì)任何 都成立。,證明:,1+3+5+‥+(2k-1)+[2(k+1)-1],那么當(dāng)n=k+1時(shí),(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即,(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,等式成立。,,,(假設(shè)),(利用假設(shè)),注意:遞推基礎(chǔ)不可少, 歸納假設(shè)要用到, 結(jié)論寫明莫忘掉。,(湊結(jié)論),,,(三)能力提升,,,,用數(shù)學(xué)歸納法證明,證明:,(1)當(dāng)n=1時(shí),,左邊=12=1,等式成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),即當(dāng)n=k+1等式也成立,根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何 都成立.,湊出目標(biāo),,用到歸納假設(shè),,,,數(shù)學(xué)歸納法步驟,用框圖表示為:,歸納奠基,歸納遞推,注:兩個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)論,缺一不可,,,思考1:試問等式2+4+6+…+2n=n2+n+1成立嗎?某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明,請(qǐng)問該同學(xué)得到的結(jié)論正確嗎?,解:設(shè)n=k時(shí)成立,即,這就是說,n=k+1時(shí)也成立,2+4+6+…+2k=k2+k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí) 2+4+6+…+2k+2(k+1) =k2+k+1+2k+2=(k+1)2+(k+1)+1,所以等式對(duì)任何n∈N*都成立,事實(shí)上,當(dāng)n=1時(shí),左邊=2,右邊=3 左邊≠右邊,等式不成立,該同學(xué)在沒有證明當(dāng)n=1時(shí),等式是否成立的前提下,就斷言等式對(duì)任何n∈N*都成立,為時(shí)尚早,證明:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=,②假設(shè)n=k時(shí),等式成立,,那么n=k+1時(shí),等式成立,這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立,根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何n∈N*都成立,即,第二步的證明沒有在假設(shè)條件下進(jìn)行,因此不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求,因此,用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟,缺一不可。第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎(chǔ);缺了第二步,遞推失去依據(jù),因此無法遞推下去。,1.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為 n(n-3) 條時(shí),第一步檢驗(yàn)n等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0,解析:因?yàn)閚≥3,所以,第一步應(yīng)檢驗(yàn)n=3.,答案:C,2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1= (a≠1), 在驗(yàn)證n=1時(shí),等式左端計(jì)算所得的項(xiàng)是 ( ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3,解析:因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí),an+1=a2,所以驗(yàn)證n=1時(shí), 等式左端計(jì)算所得的項(xiàng)是1+a+a2.,答案:C,3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n+1)(n+2)…(n+n)= 2n×1×3×…×(2n-1),n∈N*”時(shí),從“n=k”變到“n=k+ 1”時(shí),左邊應(yīng)增乘的因式是 ( ) A.2k+1 B.2(2k+1) C. D.,解析:當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),左式為(k+1)(k+2)…(k+k); 當(dāng)n=k+1時(shí),左式為(k+1+1)·(k+1+2)·…·(k+1+k-1)·(k+1+k)·(k+1+k+1), 則左邊應(yīng)增乘的式子是 =2(2k+1).,答案:B,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明: , 第一步應(yīng)驗(yàn)證左式是 , 右式是 .,解析:令n=1則左式為1- ,右式為 .,答案:,5.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸k+1邊形的內(nèi)角和 f(k+1)=f(k)+ .,解析:由凸k邊形變?yōu)橥筴+1邊形時(shí),增加了一個(gè)三角形,故f(k+1)=f(k)+π.,答案:π,六、鞏固作業(yè),分層布置,課本P96習(xí)題2.3 A組 1、2(必做) (選做題) 用數(shù)學(xué)歸納法證明,時(shí),由n=k(k1)時(shí)不等式成立,推證n=k+1,左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是( )項(xiàng) A. 2k-1 B.2k+1 C.2k-1 D.2k,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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