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2019-2020年高三教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上. 1．（5分）（xx?鎮(zhèn)江一模）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，則?U（A∩B）=　{2，4，6}?。? 考點(diǎn)： 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算． 專題： 計(jì)算題． 分析： 先利用并集的定義，求出全集U=A∪B，再利用交集的定義求出A∩B，再利用補(bǔ)集的定義求得 集合?U（A∩B）． 解答： 解：∵集合A={1，3，5}，B={1，2，3，5}， ∴A∩B={1，3，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}， ∴集合?U（A∩B）={2，4，6}， 故答案為：{2，4，6}． 點(diǎn)評： 本題主要考查集合的表示方法、集合的補(bǔ)集，兩個集合的交集、并集的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題． 　 2．（5分）（xx?鎮(zhèn)江一模）若實(shí)數(shù)a滿足，其中i是虛數(shù)單位，則a=　2?。? 考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 專題： 計(jì)算題． 分析： 由條件可得2+ai=2i（1﹣i），再利用兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，求得a的值． 解答： 解：∵實(shí)數(shù)a滿足，∴2+ai=2i（1﹣i），∴2+ai=2+2i，解得 a=2， 故答案為 2． 點(diǎn)評： 本題主要考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，屬于基礎(chǔ)題． 　 3．（5分）（xx?鎮(zhèn)江一模）已知m為實(shí)數(shù)，直線l1：mx+y+3=0，l2：（3m﹣2）x+my+2=0，則“m=1”是“l(fā)1∥l2”的　充分不必要　條件（請?jiān)凇俺湟?、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中選擇一個填空）． 考點(diǎn)： 直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系． 專題： 計(jì)算題． 分析： 把m=1代入可判l(wèi)1∥l2”成立，而“l(fā)1∥l2”成立可推出m=1，或m=2，由充要條件的定義可得答案． 解答： 解：當(dāng)m=1時，方程可化為l1：x+y+3=0，l2：x+y+2=0， 顯然有“l(fā)1∥l2”成立； 而若滿足“l(fā)1∥l2”成立，則必有， 解得m=1，或m=2，不能推出m=1， 故“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充分不必要條件． 故答案為：充分不必要 點(diǎn)評： 本題考查直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系，屬基礎(chǔ)題． 　 4．（5分）（xx?鎮(zhèn)江一模）根據(jù)如圖的偽代碼，輸出的結(jié)果T為　100?。? 考點(diǎn)： 偽代碼． 專題： 圖表型． 分析： 分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出滿足條件T=1+3+5+7+…+19時，T的值． 解答： 解：分析程序中各變量、各語句的作用， 再根據(jù)流程圖所示的順序，可知： 該程序的作用是累加并輸出滿足條件T=1+3+5+7+…+19值． ∵T=1+3+5+7+…+19==100， 故輸出的T值為100． 故答案為：100． 點(diǎn)評： 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，該題是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題的關(guān)鍵是弄清推出循環(huán)的條件，屬于基礎(chǔ)題． 　 5．（5分）（xx?鎮(zhèn)江一模）已知l、m是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，有下列4個命題： ①若l?β，且α⊥β，則l⊥α； ②若l⊥β，且α∥β，則l⊥α； ③若l⊥β，且α⊥β，則l∥α； ④若α∩β=m，且l∥m，則l∥α． 其中真命題的序號是?、凇。ㄌ钌夏阏J(rèn)為正確的所有命題的序號） 考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系． 專題： 綜合題． 分析： 對于①，根據(jù)線面垂直的判定可知，只要當(dāng)l與兩面的交線垂直時才有l(wèi)⊥α；對于②，根據(jù)若一條直線垂直與兩平行平面中的一個，一定垂直與另一個；對于③，若l⊥β，α⊥β，則l∥α或l?α；對于④，若l∥m，且α∩β=m，則l∥α或l?α 解答： 解：對于①，若l?β，且α⊥β，則根據(jù)線面垂直的判定可知，只要當(dāng)l與兩面的交線垂直時才有l(wèi)⊥α，所以①錯； 對于②，根據(jù)若一條直線垂直與兩平行平面中的一個，一定垂直與另一個，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；②正確 對于③，若l⊥β，α⊥β，則l∥α或l?α，所以③錯 對于④，若l∥m，且α∩β=m，則l∥α或l?α，所以④錯 故答案為② 點(diǎn)評： 本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，以及空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題． 　 6．（5分）（xx?鎮(zhèn)江一模）正四面體的四個面上分別寫有數(shù)字0，1，2，3，把兩個這樣的四面體拋在桌面上，則露在外面的6個數(shù)字恰好是2，0，1，3，0，3的概率為　?。? 考點(diǎn)： 古典概型及其概率計(jì)算公式． 專題： 計(jì)算題． 分析： 由題意可知：兩個四面體有一個1朝下，另一個2朝下，且那個面朝下是獨(dú)立的，分別可得概率為，由概率的乘法的公式可得答案． 解答： 解：由題意可知：兩個四面體有一個1朝下，另一個2朝下， 可知每個四面體1朝下的概率為，2朝下的概率也為， 故所求事件的概率為：P=×= 故答案為： 點(diǎn)評： 本題考查古典概型及概率的計(jì)算公式，涉及獨(dú)立事件的概率，屬基礎(chǔ)題． 　 7．（5分）（xx?鎮(zhèn)江一模）已知，則cos（30°﹣2α）的值為　?。? 考點(diǎn)： 二倍角的余弦；兩角和與差的余弦函數(shù)． 專題： 三角函數(shù)的求值． 分析： 利用誘導(dǎo)公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），運(yùn)算求得結(jié)果． 解答： 解：∵已知， ∴sin（15°﹣α）=， 則cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=， 故答案為 ． 點(diǎn)評： 本題主要考查誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題． 　 8．（5分）（xx?黑龍江）已知向量夾角為45°，且，則=　3?。? 考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角． 專題： 計(jì)算題；壓軸題． 分析： 由已知可得，=，代入|2|====可求 解答： 解：∵，=1 ∴= ∴|2|==== 解得 故答案為：3 點(diǎn)評： 本題主要考查了向量的數(shù)量積 定義的應(yīng)用，向量的數(shù)量積性質(zhì)||=是求解向量的模常用的方法 　 9．（5分）（xx?鎮(zhèn)江一模）已知Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，且=，（n∈N+）則+=　?。? 考點(diǎn)： 數(shù)列的求和． 專題： 計(jì)算題． 分析： 由等差數(shù)列的性質(zhì)，知+==，由此能夠求出結(jié)果． 解答： 解：∵Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和， 且=，（n∈N+）， ∴+= ===． 故答案為：． 點(diǎn)評： 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化． 　 10．（5分）（xx?鎮(zhèn)江一模）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正△MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在此雙曲線上，則此雙曲線的離心率為　+1?。? 考點(diǎn)： 雙曲線的簡單性質(zhì)． 專題： 計(jì)算題． 分析： 根據(jù)A是正三角形MF1F2的邊MF1的中點(diǎn)，得到△AF1F2是直角三角形，設(shè)F1F2=2c，可得AF1=c，AF2=c，最后根據(jù)雙曲線的定義，得2a=|AF1﹣AF2|=（﹣1）c，利用雙曲線的離心率的公式，可得該雙曲線的離心率． 解答： 解：設(shè)雙曲線的方程為=1（a＞0，b＞0）， ∵線段F1F2為邊作正三角形△MF1F2∴MF1=F1F2=2c，（c是雙曲線的半焦距） 又∵M(jìn)F1的中點(diǎn)A在雙曲線上， ∴Rt△AF1F2中，AF1=c，AF2==c， 根據(jù)雙曲線的定義，得2a=|AF1﹣AF2|=（﹣1）c， ∴雙曲線的離心率e===+1． 故答案為：+1． 點(diǎn)評： 本題給出以雙曲線的焦距為邊長的等邊三角形，其一邊中點(diǎn)在雙曲線上，求該雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 　 11．（5分）（xx?鎮(zhèn)江一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（1，0），函數(shù)y=ex的圖象與y軸的交點(diǎn)為B，P為函數(shù)y=ex圖象上的任意一點(diǎn)，則的最小值　1?。? 考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 由題意可得向量的坐標(biāo)，進(jìn)而可得=﹣x0+，構(gòu)造函數(shù)g（x）=﹣x+ex，通過求導(dǎo)數(shù)可得其極值，進(jìn)而可得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得答案． 解答： 解：由題意可知A（1，0），B（0，1）， 故=（0，1）﹣（1，0）=（﹣1，1）， 設(shè)P（x0，），所以=（x0，）， 故=﹣x0+， 構(gòu)造函數(shù)g（x）=﹣x+ex，則g′（x）=﹣1+ex， 令其等于0可得x=0，且當(dāng)x＜0時，g′（x）＜0， 當(dāng)x＞0時，g′（x）＞0， 故函數(shù)g（x）在x=0處取到極小值， 故gmin（x）=g（0）=1， 故的最小值為：1 故答案為：1 點(diǎn)評： 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，屬中檔題． 　 12．（5分）（xx?鎮(zhèn)江一模）若對于給定的正實(shí)數(shù)k，函數(shù)的圖象上總存在點(diǎn)C，使得以C為圓心，1為半徑的圓上有兩個不同的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為2，則k的取值范圍是?。?，）?。? 考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系． 專題： 直線與圓． 分析： 根據(jù)題意得：以C為圓心，1為半徑的圓與原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓有兩個交點(diǎn)，即C到原點(diǎn)距離小于3，即f（x）的圖象上離原點(diǎn)最近的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于3，設(shè)出C坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出C到原點(diǎn)的距離，利用基本不等式求出距離的最小值，讓最小值小于3列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍． 解答： 解：根據(jù)題意得：|OC|＜1+2=3， 設(shè)C（x，）， ∵|OC|=≥， ∴＜3，即k＜， 則k的范圍為（0，）． 故答案為：（0，） 點(diǎn)評： 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓與圓位置關(guān)系的判定，基本不等式的運(yùn)用，以及兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出以C為圓心，1為半徑的圓與原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓有兩個交點(diǎn)，即C到原點(diǎn)距離小于3． 　 13．（5分）（xx?鎮(zhèn)江一模）已知函數(shù)，則=　8?。? 考點(diǎn)： 函數(shù)的值． 專題： 計(jì)算題． 分析： 探究得到結(jié)論f（x）+f（﹣5﹣x）=8，利用之即可求得答案． 解答： 解：∵f（x）=+++， ∴f（﹣5﹣x）=+++ =+++， ∴f（x）+f（﹣5﹣x）=[（+）+（+）+（+）+（+）]=8． ∵﹣++（﹣﹣）=﹣5， ∴f（﹣+）+f（﹣﹣）=8． 故答案為：8． 點(diǎn)評： 本題考查函數(shù)的值，突出考查觀察能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題． 　 14．（5分）（xx?鎮(zhèn)江一模）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx的定義域?yàn)椋∕，+∞），且M＞0，對于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三條邊長，且f（a），f（b），f（c）也能成為三角形的三條邊長，那么M的最小值為　?。? 考點(diǎn)： 三角形的形狀判斷；函數(shù)的值． 專題： 計(jì)算題． 分析： 不妨設(shè)c為直角邊，則M＜a＜c，M＜b＜c，則可得ab＞M2，結(jié)合題意可得，結(jié)合a2+b2≥2ab可求c的范圍，進(jìn)而可求M的范圍，即可求解 解答： 解：不妨設(shè)c為直角邊，則M＜a＜c，M＜b＜c ∴ab＞M2 由題意可得， ∴ ∵a2+b2≥2ab＞2c ∴c2＞2c即c＞2 ∴ab＞2 ∴M2≥2 ∴ 故答案為： 點(diǎn)評： 本題主要考查了基本不等式，三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，試題具有一定的技巧性． 　 二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi). 15．（14分）（xx?鎮(zhèn)江一模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列． （1）若=﹣，b=，求a+c的值； （2）求2sinA﹣sinC的取值范圍． 考點(diǎn)： 余弦定理的應(yīng)用；數(shù)列的應(yīng)用；向量在幾何中的應(yīng)用． 專題： 計(jì)算題． 分析： （1）通過A，B，C成等差數(shù)列，求得B的值，通過已知的向量積求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c． （2）通過兩角和公式對2sinA﹣sinC，再根據(jù)C的范圍和余弦函數(shù)的單調(diào)性求出2sinA﹣sinC的取值范圍． 解答： 解：（1）∵A，B，C成等差數(shù)列， ∴B=． ∵?=﹣， ∴accos（π﹣B）=﹣， ∴ac=，即ac=3． ∵b=，b2=a2+c2﹣2accosB， ∴a2+c2﹣ac=3，即（a+c）2﹣3ac=3． ∴（a+c）2=12，所以a+c=2． （2）2sinA﹣sinC=2sin（﹣C）﹣sinC=2（cosC+sinC）﹣sinC=cosC． ∵0＜C＜， ∴cosC∈（﹣，）． ∴2sinA﹣sinC的取值范圍是（﹣，）． 點(diǎn)評： 本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵就是充分利用了余弦定理的性質(zhì)． 　 16．（14分）（xx?鎮(zhèn)江一模）如圖，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，已知E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AC，A1C1的中點(diǎn)，∠ACB=90°，A1F⊥平面ABC，CH⊥BG，H為垂足．求證： （1）A1E∥平面GBC； （2）BG⊥平面ACH． 考點(diǎn)： 直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定． 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： （1）利用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理即可得到EF∥BC，A1F∥GC．再利用面面平行的判定定理即可證明平面A1FE∥平面GBC，利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明； （2）利用線面垂直的性質(zhì)定理可得GC⊥AC，從而可證AC⊥平面GBC，于是得到AC⊥BG，利用線面垂直的判定定理即可證明． 解答： 證明：（1）連接A1E． ∵E，F(xiàn)分別為棱AB，AC的中點(diǎn)， ∴EF∥BC， ∵在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，F(xiàn)，G分別為棱AC，A1C1的中點(diǎn)， ∴， ∴四邊形A1FCG是平行四邊形， ∴A1F∥GC．好 又∵A1F∩FE=F，GC∩CB=C， ∴平面A1FE∥平面GBC， ∴A1E∥平面GBC； （2））∵A1F⊥平面ABC，A1F∥GC， ∴GC⊥平面ABC， ∴GC⊥AC， ∵∠ACB=90°，∴AC⊥CB． 又CG∩AC=C，∴AC⊥平面BCG， ∴AC⊥BG， 又∵CH⊥BG，AC∩CH=C． ∴BG⊥平面ACH． 點(diǎn)評： 熟練掌握用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、面面平行的判定和性質(zhì)定理、線面垂直的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵． 　 17．（14分）（xx?鎮(zhèn)江一模）已知實(shí)數(shù)a，b，c∈R，函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx滿足f（1）=0，設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（0）f′（1）＞0． （1）求的取值范圍； （2）設(shè)a為常數(shù)，且a＞0，已知函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)為x1，x2，A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），求證：直線AB的斜率． 考點(diǎn)： 函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；直線的斜率． 專題： 轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （1）由f（1）=0得a+b+c=0，∴b=﹣（a+c），求導(dǎo)數(shù)f′（x），把f′（0）f′（1）＞0表示為關(guān)于a，c的不等式，進(jìn)而化為關(guān)于的二次不等式即可求得的取值范圍； （2）令f′（x）=3ax2+2bx+c=0，則，x1x2=，把韋達(dá)定理代入k=可得關(guān)于a，b，c的表達(dá)式，令t=，k可化為關(guān)于t的二次函數(shù)式，借助（1）問t的范圍即可求得k的范圍； 解答： 解：（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=﹣（a+c）， ∵f′（x）=3ax2+2bx+c， ∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c， ∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a﹣c）=ac﹣c2＞0， ∴a≠0，c≠0， ∴＞0， 所以0＜1． （2）令f′（x）=3ax2+2bx+c=0，則，x1x2=， ∴k== = =a（）+b（x2+x1）+c =a[]+b（x2+x1）+c =a（﹣）+b（﹣）+c =a[（﹣）+（﹣）+] =（﹣+）， 令t=，由b=﹣（a+c）得，=﹣1﹣t，t∈（0，1）， 則k=[﹣（1+t）2+3t]=（﹣t2+t﹣1）， ∵a＞0，﹣t2+t﹣1∈（﹣1，﹣]，∴k∈（﹣，﹣]． 點(diǎn)評： 本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及直線斜率，考查轉(zhuǎn)化思想，解決（2）問關(guān)鍵是通過換元轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，從而可利用二次函數(shù)性質(zhì)解決． 　 18．（16分）（xx?鎮(zhèn)江一模）某部門要設(shè)計(jì)一種如圖所示的燈架，用來安裝球心為O，半徑為R（米）的球形燈泡．該燈架由燈托、燈桿、燈腳三個部件組成，其中圓弧形燈托，，，所在圓的圓心都是O、半徑都是R（米）、圓弧的圓心角都是θ（弧度）；燈桿EF垂直于地面，桿頂E到地面的距離為h（米），且h＞R；燈腳FA1，F(xiàn)B1，F(xiàn)C1，F(xiàn)D1是正四棱錐F﹣A1B1C1D1的四條側(cè)棱，正方形A1B1C1D1的外接圓半徑為R（米），四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為θ（弧度）．已知燈桿、燈腳的造價都是每米a（元），燈托造價是每米（元），其中R，h，a都為常數(shù)．設(shè)該燈架的總造價為y（元）． （1）求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)θ取何值時，y取得最小值？ 考點(diǎn)： 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；函數(shù)最值的應(yīng)用． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： （1）由題意把4根燈腳及燈架寫成是關(guān)于θ的表達(dá)式，運(yùn)用弧長公式把4根燈托也用θ表示，然后乘以各自的造價作和即可得到y(tǒng)關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式； （2）對（1）求出的函數(shù)式進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算，分析得到當(dāng)θ=時函數(shù)取得極小值，也就是最小值． 解答： 解：如圖， （1）延長EF與地面交于O1，由題意知：∠A1FO1=θ，且， 從而EF=h﹣，， 則，． （2）， 設(shè)， 令= =． 得：1﹣2cosθ=0，所以． 當(dāng)θ∈時，f′（θ）＜0． 當(dāng)θ∈時，f′（θ）＞0． 設(shè)，其中，∴． ∴，∴時，y最?。? 答：當(dāng)時，燈架造價取得最小值． 點(diǎn)評： 本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解答此題時要注意實(shí)際問題要注明符合實(shí)際意義的定義域，此題是中檔題． 　 19．（16分）（xx?鎮(zhèn)江一模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，圓x2+y2=4上有一動點(diǎn)P，P在x軸的上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點(diǎn)D，連結(jié)DC，PB． （1）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S； （2）設(shè)直線PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范圍． 考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；三角形的面積公式． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （1）設(shè)D（x，y），利用勾股定理和兩點(diǎn)間的距離公式即可關(guān)于x，y的方程，與橢圓的方程聯(lián)立即可解得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用S△ADC=即可得出； （2）設(shè)P（x0，y0），得到直線PA的方程，與橢圓的方程聯(lián)立及利用點(diǎn)P在圓上即可表示出直線PB、DC的斜率，利用k1=λk2，及反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出． 解答： 解：（1）設(shè)D（x，y），∵∠ADC=90°，∴AD2+DC2=AC2， ∴（x+2）2+y2+（x﹣1）2+y2=9，化為x2+y2+x﹣2=0 ①． ∵點(diǎn)D在橢圓E上，∴ ②． 聯(lián)立①②得，消去y得3x2+4x﹣4=0， 又﹣2＜x＜2，解得． 代入橢圓方程解得． ∴S△ADC==． （2）設(shè)P（x0，y0），則直線PA的方程為， 代入橢圓的方程得到， ∵，∴， 化為． 此方程有一個實(shí)數(shù)根﹣2，設(shè)D（x1，y1），則， 代入直線PA的方程得， ∴，=． ∵k1=λk2，∴==， ∵﹣2＜x0＜2，， ∴λ的取值范圍為（﹣∞，0）∪（0，3）． 點(diǎn)評： 熟練掌握圓錐曲線的定義、方程及其性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式、斜率公式、直線與圓錐曲線的相交問題轉(zhuǎn)化為方程組、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、反比例函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵． 　 20．（16分）（xx?鎮(zhèn)江一模）設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為Sn，對于任意正整數(shù)m，n，恒成立． （1）若a1=1，求a2，a3，a4及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）若a4=a2（a1+a2+1），求證：數(shù)列{an}成等比數(shù)列． 考點(diǎn)： 等比關(guān)系的確定；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）由給出的遞推式分別取m=1，m=2得到兩個關(guān)系式，兩式作比后可以證明數(shù)列{1+Sn}是一個等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到Sn的表達(dá)式，模仿該式再寫一個關(guān)系式，兩式作差后進(jìn)一步得到一個關(guān)于a2和S2的關(guān)系式，然后把a(bǔ)1代入即可求得a2的值，在分別取m=1，n=2；m=2，n=1代入原遞推式，得到關(guān)于a3，a4的方程后可求解a3，a4則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求； （2）在（1）的基礎(chǔ)上，取m=n=2得關(guān)系式，結(jié)合m=1，n=2得到的關(guān)系式可求出q==2．最后結(jié)合題目給出的條件，a4=a2（a1+a2+1）證出數(shù)列{an}成等比數(shù)列． 解答： 解（1）由得． 令m=1，得① 令m=2，得② ②÷①得： （n∈N*）．記， 則數(shù)列{1+Sn} （n≥2，n∈N*）是公比為q的等比數(shù)列． ∴ （n≥2，n∈N*）③． n≥3時，④． ③﹣④得， （n≥3，n∈N*）． 在中，令m=n=1，得． ∴． 則1+S2=2a2，∴a2=1+a1． ∵a1=1，∴a2=2． 在中，令m=1，n=2，得． 則⑤ 在中，令m=2，n=1，得 則⑥． 由⑤，⑥，解得a3=4，a4=8． 則q=2，由 （n≥3，n∈N*）， 得： ∵a1=1，a2=2也適合上式，∴． （2）在中，令m=2，n=2，得 則1+S4=2a4，∴1+S3=a4． 在中，令m=1，n=2，得． 則，∴． 則a4=4a2，∴． 代入 （n≥3，n∈N*）， 得 （n≥3，n∈N*）． 由條件a4=a2（a1+a2+1），得a1+a2+1=4． ∵a2=a1+1，a1=1，∴a2=2． 則 ∵a1=1，a2=2上式也成立， ∴ （n∈N*）． 故數(shù)列{an}成等比數(shù)列． 點(diǎn)評： 本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合，訓(xùn)練了學(xué)生的靈活變形能力和對繁雜問題的計(jì)算能力，屬中高檔題． 　 三．[選做題]本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 21．（xx?鎮(zhèn)江一模）（選修4﹣1　幾何證明選講） 如圖，已知CB是⊙O的一條弦，A是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O的切線交直線CB于點(diǎn)P，D為⊙O上一點(diǎn)，且∠ABD=∠ABP． 求證：AB2=BP?BD． 考點(diǎn)： 與圓有關(guān)的比例線段． 專題： 選作題． 分析： 利用弦切角定理可得∠PAB=∠ADB，又∠ABD=∠ABP，可得△ABP∽△DBA，利用相似三角形得出性質(zhì)即可得出． 解答： 解：∵AP是⊙O的切線，∴由弦切角定理可得∠PAB=∠ADB， 又∵∠ABP=∠DBA，∴△ABP∽△DBA， ∴，∴AB2=BP?BD． 點(diǎn)評： 熟練掌握弦切角定理化為相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 　 22．（xx?鎮(zhèn)江一模）（選修4﹣2：矩陣與變換） 已知矩陣A=的一個特征值為λ1=﹣1，其對應(yīng)的一個特征向量為，已知，求A5β． 考點(diǎn)： 特征值與特征向量的計(jì)算；幾種特殊的矩陣變換． 專題： 計(jì)算題． 分析： 利用特征值、特征向量的定義，構(gòu)建方程組，由此可求矩陣A．再求矩陣A的特征多項(xiàng)式，從而求得特征值與特征向量，利用矩陣A的特征值與特征向量，進(jìn)而可求A5β． 解答： 解：依題意：Aα1=﹣α1，…（4分） 即=﹣， ∴，∴…（8分） A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ﹣1）λ﹣2=λ2﹣λ﹣2=0， 則λ=﹣1或λ=2． λ=2時，特征方程，屬于特征值λ=2的一個特征向量為， ∵=﹣2+3， ∴A5β=﹣2×（﹣1）5+3×25=． 點(diǎn)評： 本題考查待定系數(shù)法求矩陣，考查特征值與特征向量，理解特征值、特征向量的定義是關(guān)鍵． 　 23．（xx?鎮(zhèn)江一模）（選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 已知直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程：ρ+2sinθ=0． （1）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （2）在圓C上求一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線l的距離最?。? 考點(diǎn)： 參數(shù)方程化成普通方程；直線與圓的位置關(guān)系． 專題： 直線與圓． 分析： （1）將直線l的參數(shù)方程的參數(shù)t消去即可求出直線的普通方程，利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式求出圓的直角坐標(biāo)方程； （2）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C任意點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cosθ，﹣1+sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到距離d的最小值，并求出此時θ的度數(shù)，即可確定出所求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解答： 解：（1）消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為y=﹣x+1+2， ρ+2sinθ=0，兩邊同乘以ρ得ρ2+2ρsinθ=0， 得⊙C的直角坐標(biāo)方程為x2+（y+1）2=1； （2）設(shè)所求的點(diǎn)為P（cosθ，﹣1+sinθ）， 則P到直線l的距離d===， 當(dāng)θ=+2kπ，k∈Z，sin（θ+）=1，d取得最小值， 此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）． 點(diǎn)評： 本題主要考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程，以及直線的參數(shù)方程和直線與圓的位置關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題． 　 24．（xx?鎮(zhèn)江一模）（選修4﹣5：不等式選講） 已知a，b，c都是正數(shù)，且a+2b+3c=6，求的最大值． 考點(diǎn)： 一般形式的柯西不等式；平均值不等式． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 利用柯西不等式，結(jié)合a+2b+3c=6，即可求得的最大值． 解答： 解：由柯西不等式可得 （）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×9 ∴≤3，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號． ∴的最大值是3 故最大值為3． 點(diǎn)評： 本題考查最值問題，考查柯西不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 　 四、[必做題]每小題0分，計(jì)20分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)． 25．（xx?鎮(zhèn)江一模）如圖，圓錐的高PO=4，底面半徑OB=2，D為PO的中點(diǎn)，E為母線PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面圓周上一點(diǎn)，滿足EF⊥DE． （1）求異面直線EF與BD所成角的余弦值； （2）求二面角O﹣DF﹣E的正弦值． 考點(diǎn)： 二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角． 專題： 空間角． 分析： （1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用?=0，又=2，即可解得點(diǎn)F的坐標(biāo)．利用異面直線EF與BD的方向向量的夾角即可得出所成角（銳角）的余弦值； （2）利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角． 解答： 解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2），E（0，1，2），P（0，0，4），F(xiàn)（x，y，0）． ∴，，． ∵，∴=y﹣1=0，解得y=1． 又∵=2，，取x＞0，把y=1代入解得x=，∴，∴． ==． ∴異面直線EF與BD所成角（銳角）的余弦值為； （2）設(shè)平面DEF的法向量為， 則得，令x1=2，則，y1=0， ∴． 設(shè)平面ODF的法向量為=（x2，y2，z2），則，得， 令x2=1，則，z2=0．∴． ∴===． ∴sinθ==． ∴二面角O﹣DF﹣E的正弦值為． 點(diǎn)評： 熟練掌握通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系、利用異面直線的方向向量的夾角求得異面直線所成角、利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 　 26．（xx?鎮(zhèn)江一模）（1）山水城市鎮(zhèn)江有“三山”﹣﹣金山、焦山、北固山，一位游客游覽這三個景點(diǎn)的概率都是0.5，且該游客是否游覽這三個景點(diǎn)相互獨(dú)立，用ξ表示這位游客游覽的景點(diǎn)數(shù)和沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)差的絕對值，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望； （2）某城市有n（n為奇數(shù)，n≥3）個景點(diǎn)，一位游客游覽每個景點(diǎn)的概率都是0.5，且該游客是否游覽這n個景點(diǎn)相互獨(dú)立，用ξ表示這位游客游覽的景點(diǎn)數(shù)和沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)差的絕對值，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 考點(diǎn)： 離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差． 專題： 綜合題；概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： （1）游客游覽景點(diǎn)個數(shù)為0，1，2，3，ξ可能取值為：1，3，ξ=1表示游覽一個景點(diǎn)或游覽兩個景點(diǎn)，ξ=3表示游覽景點(diǎn)數(shù)為0或游覽了三個景點(diǎn)，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生k的概率公式即可求得P（ξ=1），P（ξ=3），進(jìn)而得到分布列和期望； （2）當(dāng)n=2k+1，k∈N*時，游客游覽景點(diǎn)個數(shù)可能為：0，1，2，…，2k+1，則ξ可能取值為：1，3，5，…，2k+1．根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率計(jì)算公式求出ξ取各值是的概率，表示出Eξ=（2k+1﹣0）×2×+[（2k+1﹣1）﹣1]×2×+[（2k+1﹣2）﹣2]×2×+…+[2k+1﹣k）﹣k]×2×，分組后利用性質(zhì)=n（i=1，2，3，…，n）對上式即可進(jìn)行化簡，最后再換為n即可； 解答： 解：（1）游客游覽景點(diǎn)個數(shù)為0，1，2，3，ξ可能取值為：1，3， P（ξ=1）=+=2=， P（ξ=3）=+=2=， ξ的分布列為： 所以Eξ=1×+3×=． （2）當(dāng)n=2k+1，k∈N*時，游客游覽景點(diǎn)個數(shù)可能為：0，1，2，…，2k+1， ξ可能取值為：1，3，5，…，2k+1． P（ξ=1）=+=2×； P（ξ=3）=+=； … P（ξ=2k+1）=+=2×， ∴ξ的分布列為： ∴Eξ=（2k+1﹣0）×2×+[（2k+1﹣1）﹣1]×2×+[（2k+1﹣2）﹣2]×2×+…+[2k+1﹣k）﹣k]×2× =2×{[（2k+1）+2k+（2k﹣1）+…+（2k+1﹣k）]﹣[（0×+1+2×+…+]} =2×{[（2k+1）×+2k×+（2k﹣1）×+…+（k+1）]﹣[0×+1×+…+]}， ∵=n（i=1，2，3，…，n）， Eξ=2×{（2k+1）×[]﹣（2k+1）×[]} =2××（2k+1）×[（）﹣（+）] =2××（2k+1）× =． 答：ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ為． 點(diǎn)評： 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望，考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生k的概率計(jì)算公式，考查組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析解決問題的能力，本題綜合性強(qiáng)，能力要求高，屬難題．