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現代數字信號處理課程回顧,第一章 時域離散隨機信號的分析 第二章 維納濾波和卡爾曼濾波 第三章 自適應數字濾波器 第四章 功率譜估計 第五章 時頻分析,第一章 時域離散隨機信號的分析,主要內容： 平穩(wěn)隨機信號的統(tǒng)計描述 隨機序列數字特征的估計 平穩(wěn)隨機序列通過線性系統(tǒng) 時間序列信號模型,對一個隨機序列的統(tǒng)計描述，可以由這個序列的自相關函數來高度概括。 對一平穩(wěn)隨機信號，只要知道它的自相關函數，就等于知道了該隨機信號的主要數字特征。,自相關函數及其性質：,各態(tài)遍歷性：,只要一個實現時間充分長的過程能夠表現出各個實現的特征，就可以用一個實現來表示總體的特性。,〈x(n)〉=mx=E［X(n)］,〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］,功率密度譜：,維納–––辛欽定理（Wiener-Khinchin Theorem）,Pxx(ω)≥0,隨機序列數字特征的估計：,估計準則：無偏性、有效性、一致性 均值的估計： 方差的估計： 自相關函數的估計：,平穩(wěn)隨機序列通過線性系統(tǒng)：,相關卷積定理：,卷積的相關函數等于相關函數的卷積,ref(m)=rac(m) * rbd(m),ryy(m)= rxx(m)*v(m)=rxy(m)*h(-m),時間序列信號模型：,MA模型,ARMA模型,AR模型,濾波器階數： 對于IIR濾波器或者AR模型、ARMA模型，階數是指p的大小，如果用差分方程表示，則p就是差分方程的階數。 對于FIR濾波器或者MA模型的階數，則是指q的大小，或者說是它的長度減1。 三種信號模型可以相互轉化，而且都具有普遍適用性， 但是對于同一時間序列用不同信號模型表示時，卻有不同的效率。 這里說的效率, 指的是模型的系數愈少，效率愈高。,譜分解定理： 如果功率譜Pxx(ejω)是平穩(wěn)隨機序列x(n)的有理譜，那么一定存在一個零極點均在單位圓內的有理函數H(z),,滿足,式中，ak, bk都是實數，a0=b0=1, 且|αk|＜1, |βk|＜1。,自相關函數、功率譜、時間序列信號模型三者之間關系,第二章 維納濾波和卡爾曼濾波,主要內容： FIR維納濾波求解 非因果IIR維納濾波求解 因果IIR維納濾波求解 維納純預測 維納一步線性預測 卡爾曼濾波,x(n)=s(n)+v(n),最佳濾波器：,正交性原理：,,要使均方誤差為最小，須滿足,E［x (n-j)e* (n)］=0 j=0, 1, 2, …,分析：上式說明，均方誤差達到最小值的充要條件是誤差信號與任一進入估計的輸入信號正交，這就是通常所說的正交性原理。,維納—霍夫方程：,維納-霍夫（Wiener－Hopf）方程：,FIR維納濾波求解：,k=0, 1, 2, …,設定d(n)=s(n)，對上式兩邊做Z變換，得到,Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z),非因果IIR維納濾波求解：,信號和噪聲不相關時,因果IIR維納濾波求解：,對于因果IIR維納濾波器，其維納－霍夫方程為,k=0, 1, 2, …,,圖2.3.5 利用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程,利用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程:,因果維納濾波器的復頻域最佳解為,因果維納濾波的最小均方誤差為,通過前面的分析, 因果維納濾波器設計的一般方法可以按下面的步驟進行：  (1) 根據觀測信號x(n)的功率譜求出它所對應的信號模型的傳輸函數，即采用譜分解的方法得到B(z)。 (2) 求 的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點，得 (3) 積分曲線取單位圓，應用（2.3.38）式和（2.3.39）式，計算Hopt(z), E［|e(n)|2］min。,維納預測：,,圖2.4.1(b) 維納預測器,圖2.4.1(a) 維納濾波器,純預測： 假設x(n)=s(n)+v(n)，純預測問題是在v(n)=0情況下對s(n+N), N＞0的預測，此時x(n)=s(n)。  因果情況下，假設s(n)與v(n)不相關，純預測情況下,一步線性預測：,采用p個最近的采樣值來預測時間序列下一時刻的值，包括前向預測和后向預測兩種。,前向預測：,得到下面的方程組：,將方程組寫成矩陣形式 （Yule-Walker方程）,后向預測：,維納－霍夫方程,Yule-Walker方程,Levinson-Durbin算法：, Levinson-Durbin的一般遞推公式如下：,卡爾曼濾波：,利用狀態(tài)方程和遞推方法尋找最小均方誤差下狀態(tài)變量 的估計值 ，即,假設某系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)變量為xk，狀態(tài)方程和量測方程（也稱為輸出方程）表示為,Ak為狀態(tài)轉移矩陣，描述系統(tǒng)狀態(tài)由時間k-1的狀態(tài)到時間k的狀態(tài)之間的轉移； Ck為量測矩陣，描述狀態(tài)經其作用，變成可量測或可觀測的； xk為狀態(tài)向量，是不可觀測的；yk為觀測向量； wk為過程噪聲；vk為量測噪聲。,第三章 自適應數字濾波器,主要內容： LMS自適應橫向濾波器 LMS自適應格型濾波器 最小二乘（LS）濾波 自適應濾波器的應用,LMS自適應橫向濾波器：,e(n)=d(n)-y(n),最佳權矢量W*和最小均方誤差：,其中,μ是一個控制穩(wěn)定性和收斂速度的參量，稱之為收斂因子。 方向是性能函數下降最快的方向，因此稱為最陡梯度下降法。,Widrow-Hoff LMS算法：,最陡下降法：,Widrow-Hoff LMS算法：,采用梯度的估計值代替梯度的精確值。,LMS算法加權矢量是在最陡下降法加權矢量附近隨機變化的， 其統(tǒng)計平均值等于最陡下降法的加權矢量。,圖 3.2.10 LMS算法穩(wěn)態(tài)誤差,μ值的影響 對穩(wěn)定性的影響：,對收斂速度的影響：,預測誤差格型濾波器：,LMS自適應格型濾波器：,在滿足預測誤差的均方值最小的準則下，最佳自適應格型濾波器求解關鍵在于計算出反射系數。其方法有：,最小二乘（LS）濾波：,最小二乘準則—以誤差的平方和最小作為最佳準則的誤差準則。,自適應濾波器的應用：,自適應抵消器： （只有與參考輸入相關的信號才能被抵消）,參考輸入端存在一定的有用信號： 當有信號分量泄漏到參考輸入中時，噪聲的抵消能力可以通過比較輸入端的信噪比、參考輸入端的信噪比及輸出端的信噪比數值大小來評價。,泄露到參考輸入端的有用信號越少，抵消效果越好。,2) 胎兒心電監(jiān)護,其中原始輸入a(t)=f(t)+m(t)+n(t) f(t):胎兒心臟產生信號 m(t):母親心臟產生信號 n(t):噪聲干擾信號（主要由肌肉起的，有時稱“肌肉噪聲”）。,采用自適應噪聲抵消器消除胎兒心電圖中母體心臟信號（干擾）。一般采用：四個普通胸導（每路信號相同）記錄母親心跳，作為參考輸入信號。經過自適應噪聲抵消器處理后，母親心臟干擾信號被顯著消弱，胎兒心聲可辨。,自適應逆濾波：,自適應均衡器與自適應解卷積問題都可歸結為用自適應的方法求逆濾波系統(tǒng)的問題。 自適應均衡器用以補償信道干擾的影響，使接收信號與發(fā)送信號完全一致。,第四章 功率譜估計,主要內容： 經典譜估計：BT法、周期圖法、修正周期圖法； 現代譜估計：AR模型法、最大熵譜估計、特征分解法,BT法：,BT法的加權協(xié)方差譜估計,周期圖法：,周期圖屬于漸近無偏估計，方差很大，不是一致估計。,修正周期圖法：,Bartlett平均周期圖法 窗口處理法平均周期圖 Welch法（修正的周期圖求平均法）,結論：傳統(tǒng)的功率譜估計方法，采用觀測到的N個樣本值估計功率譜，認為在此觀察到的N個數據以外的x(n)=0。因此，無論采取哪一種改進方法，總是以減少分辨率為代價，換取估計方差的減少，提高分辨率的問題無法根本解決。,估計功率譜的方法： 首先根據信號觀測數據估計信號自相關函數； 求出模型參數； 最后按照下式求出信號的功率譜:,AR模型法：,AR模型隱含著自相關函數外推的特性，使它具有高分辨率的優(yōu)點。,信號預測誤差最小原則（或預測誤差功率最小） 自相關法（Levinson遞推法） Burg法 協(xié)方差法 修正協(xié)方差法,關于AR模型階次的選擇 如果是純P階AR信號，應選擇模型階次k ≥ P。 如果選擇模型階次k＜P時，將產生對譜的平滑作用，降低譜的分辨率。 對于白噪聲中的AR信號，其階次的選擇應折衷考慮。 如選擇AR模型，其階次應加大，較低的階次會使譜估計產生偏移， 降低分辨率。 信噪比愈低，平滑作用愈嚴重，愈需要高的階次， 因此信噪比低應選高的階次。 階次愈高，分辨率愈高；但階次太高，會使估計誤差加大，譜峰分裂。,最大熵譜估計方法：,AR模型功率譜估計和最大熵譜估計的等價性。,第五章 時頻分析,主要內容： 線性時頻分析：短時傅里葉變換、Gabor變換、小波分析； 雙線性時頻分析：維格納變換（WD）、Cohen類時頻分布。,傅立葉變換的不足：,缺乏時間和頻率的定位功能； 分析時變信號和非平穩(wěn)信號的局限性； 分辨率上的局限性，受不確定原理的約束。,短時傅里葉變換：,STFT特點： STFT要求窗口內信號平穩(wěn)，即窗口不能太長； 時間分辨率和頻率分辨率受不確定定理限制，不能同時任意小； 窗口固定不變，分辨率單一； 窗函數選擇難； STFT建立在信號穩(wěn)態(tài)基礎之上，不能及時反映信號頻譜隨時間變化的情況。,小波分析：,小波基函數,作為小波函數所應具有的大致特征：即 是一帶通函數，它的時域波形應是振蕩的。此外，從時－頻定位的角度，希望 是有限支撐的，因此它應是快速衰減的。這樣，時域有限長且是振蕩的這一類函數即是被稱作小波（wavelet）的原因。,當用較小的a對信號作高頻分析時，實際上是用高頻小波對信號作細致觀察;當用較大的a對信號作低頻分析時，實際上是用低頻小波對信號作概貌觀察。,a取不同值時小波變換對信號分析的時－頻區(qū)間,小波變換的特點 多分辨率分析方法； 小波變換的時頻關系受不確定原理的制約，在時頻平面上的分析窗是可調的，但分析窗的面積保持不變； 采用不同的尺度a作處理時，各個Ψ(aΩ)的中心頻率和帶寬都不一樣，但是它們的品質因數Q卻是相同的，即“中心頻率／帶寬”為常數。,,維格納變換：（最簡單的時頻分布形式）,WD服從二次疊加原理。,時頻域(t,f)——時間-頻率平面。,維格納變換的特點： 因為信號的二次型是信號的能量表示，所以這種分布表示了信號的能量分布； 在某一時刻或某一個頻率處的WD不能解釋為信號的瞬時能量； 兩個信號和的WD有交叉項存在，使得兩個信號和的分布已不再是兩個信號各自分布的和； 滿足二次疊加原理。,模糊函數：,模糊域（θ,τ）——時移-頻移平面,同一信號AF及WD互項與自項的位置示意圖,WD中交叉項的抑制： 對信號求模糊函數，由于模糊函數的自項始終在 平面的原點處，而交叉項遠離原點，故可以設計一個二維低通濾波器，來抑制模糊函數中的交叉項； 對濾波后的模糊函數作二維傅立葉變換，得到信號的維格納變換，此時的WD即是抑制了交叉項的新WD。,Cohen類時頻分布：,采用不同的核函數可以得到不同的時頻分布，時頻分布的各種性質要求,則反映在對核函數的約束條件上。 φ(θ,τ)=1 時， Cohen 類時頻分布將轉換成WD，即核函數是全通函數，它對AF的互項無抑制作用，因此，其WD也就存在著較大的交叉項。 消除干擾項的方法：應該選擇 平面上的二維低通函數來作為核函數。,