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2019-2020年高中數學 第三章達標測試卷 北師大版必修5 一、選擇題（每題6分共48分） 1.設a＜b＜0,下列不等式一定成立的是（ ） A.a2＜ab＜b2 B.b2＜ab＜a2 C.a2＜b2＜ab D.ab＜b2＜a2 2.關于x的不等式ax2+bx－2＞0的解集是∪,則ab等于（ ） A.24 B.6 C.14 D. －14 3.〈南充市第一次高考適應性考試〉不等式≤2的解集是（ ） A.{x|x＜－8或x＞－3} B.{x|x≤－8或x＞－3} C.{x|－3≤x≤2} D.{x|－3＜x≤2} 4.已知函數y=f(x)的圖象如圖1，則不等式＞0的解集為（ ） A.（－∞,1） B.( －2,1) C.( －∞, －2) D.( －∞, －2)∪(1,+∞) 圖1 5.設x,y∈R,a＞1,b＞1，若ax=by=3,a+b=2,則的最大值為（ ） A.2 B. C.1 D. 6.若不等式x2+ax+1≥0對一切x∈成立，則a的最小值為（ ） A.0 B. －2 C. － D. －3 7.如圖2，某汽車運輸公司剛買了一批豪華大客車投入營運， 據市場分析每輛客車的運營總利潤y（單位：萬元）與營運 年數x(x∈N)為二次函數關系.若使營運的年平均利潤最大， 則每輛客車應營運（ ） A.3年 B.4年 C.5年 D.6年 圖2 8.設x,y滿足約束條件若目標函數z=ax+by(a＞0, b＞0)的最大值為12，則+的最小值為（ ） A. B. C. D.4 二、填空題（每題5分共15分） 9.〈許昌五校上學期第三次聯考〉已知實數x,y滿足條件則目標函數z=2x－y的最大值是 . 10.已知二次函數f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域為［0,+∞),則的最小值為 . 11.〈安徽高考〉設△ABC的內角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c，則下列命題正確的是 （寫出所有正確命題的編號）. ①若ab＞c2,則C＜;②若a+b＞2c,則C＜;③若a3+b3=c3,則C＜;④若(a+b)c＜2ab,則C＞;⑤若(a2+b2)c2＜2a2b2,則C＞. 三、解答題（12~13每題12分，14題13分，共37分） 12.已知x＞0,y＞0且2x+8y－xy=0,求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值. 13.醫(yī)院用甲、乙兩種原料給手術后的病人配營養(yǎng)餐，甲種原料每10 g含5單位蛋白質和10單位鐵質，售價3元；乙種原料每10 g含7單位蛋白質和4單位鐵質，售價2元.若病人每餐至少需要35單位蛋白質和40單位鐵質，試問：應如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養(yǎng)，又使費用最??？ 14.設a＞0,b＞0,對任意的實數x＞1,有ax+＞b成立，試比較+1和的大小. 參考答案及點撥 一、1.B 點撥：∵a＜b＜0,∴a2－ab=a(a－b)＞0,ab－b2=b(a－b)＞0.∴a2＞ab,ab＞b2. ∴a2＞ab＞b2.故選B. 2.A 點撥：由題意知－，是方程ax2+bx－2=0的根，故有 ∴a=12,b=2.∴ab=24. 3.B 點撥：原不等式可化為－2≤0，即≤0，即(x+3)(x+8)≥0且x≠－3, 解得：x≤－8或x＞－3. 4.B 點撥：由函數y＝f(x)的圖象知：要使＞0, 則需＜1,即＜0,利用穿根法得－2＜x＜1.（如答圖1） 答圖1 ∴原不等式的解集為（－2，1）. 5.C 點撥：∵ax=by=3,∴x=loga3,y=logb3. ∴===. ∵2=a+b≥2,即ab≤3（當且僅當a=b時，取“＝”）， 由得 ∴當a=b=時，ab有最大值3.∴的最大值為1. 6.C 點撥：∵不等式x2+ax+1≥0對一切x∈成立， ∴對一切x∈,ax≥－x2－1,即a≥成立. 令g(x)= =. 易知g(x)= 在內為增函數. ∴當x=時，g(x)max=－. ∴a的取值范圍是a≥－.即a的最小值是－.故選C. 7.C 點撥：由圖象知拋物線頂點坐標為（6，11），且過點（4，7）.設y=a(x－6)2+11,將點（4，7）的坐標代入，得7=a(4－6)2+11,∴a=－1. ∴y=－(x－6)2+11=－x2+12x－25. ∴=－x－+12=12－. ∵≥10（當且僅當,即x=5時，取“=”）, ∴當x=5時，有最大值2.故選C. 8.A 點撥：不等式組表示的平面區(qū)域如答圖2中陰影部分， 當直線ax+by=z(a＞0,b＞0)過直線x－y+2=0與直線3x－y －6=0的交點（4，6）時，目標函數z=ax+by(a＞0,b＞0) 取得最大值12，即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而==+≥ +2=,故選A. 答圖2 二、9.6 點撥：平面區(qū)域如答圖3，平移直線2x－y=0,當直線過點A(3,0)時，目標函數的值最大，最大值為6. 答圖3 10.4 點撥：依題意f(x)的最小值為0，所以a＞0且=－+c=0.即a＞0且ac=1, 所以c＞0.故+==a2+c2+a+c≥2ac+2＝4，當且僅當a=c=1時，等號成立. 11.①②③ 點撥：對于①,∵ab＞c2,∴cosC=＞≥= (當且僅當a=b時取“=”). 又∵C∈(0,π),∴C∈.∴①正確. 對于②，∵a+b＞2c＞0,∴c2＜. ∴cosC=＞=≥= (當且僅當a=b時取“=”). 又∵C∈(0,π),∴C∈.∴②正確. 對于③，∵a3+b3=c3,∴(a2+b2) 3－(c2) 3=(a2+b2) 3－(a3+b3) 2=3a4b2+3a2b4－2a3b3=a2b2 (3a2+3b2－2ab)≥4a3b3＞0（當且僅當a=b時取“=”）. ∴(a2+b2) 3＞(c2) 3,即a2+b2＞c2. ∴cosC=＞0,C＜,∴③正確. 對于④，∵(a+b)c＜2ab, ∴c2＜≤ab(當且僅當a=b時取“=”). ∴cosC＝＞≥=＞0(當且僅當a=b時取“=”),C＜.故④不正確. 對于⑤，∵(a2+b2)·c2＜2a2b2, ∴c2＜≤=ab(當且僅當a=b時取“=”). ∴cosC=＞≥= (當且僅當a=b時取“=”). 又∵C∈(0,π),∴C∈.故⑤不正確. ∴正確命題為：①, ②,③. 三、12.解：（1）由2x+8y－xy=0,得+=1,又x＞0,y＞0，則1=+≥,得xy≥64. 當且僅當,即時等號成立. 此時=64. (2)由2x+8y－xy=0,得+=1, 則x+y= (x+y)=10++≥10+2=18. 當且僅當即時等號成立. 此時=18. 13.解：設甲、乙兩種原料各用10x g、10y g， 所需費用為z元，由題意，知z=3x+2y,線性約 束條件為 畫出可行域如答圖4中陰影部分. 答圖4 作直線l0:3x+2y=0,則易知當l0平移至l位置時，z有最小值，此時l過點A.由 得A. ∴應用甲、乙原料分別為×10=28(g),3×10=30(g)時，費用最省. 溫馨提示：本題設“甲、乙原料分別用10x g、10y g”比設“甲、乙原料分別用x g，y g”運算方便. 14.解：設f(x)=ax+,則f(x)=ax+1+=(a+1)+a(x－1)+ ,∵x＞1,∴x－1＞0.∴f(x)≥(a+1)+2=(+1)2.當且僅當a(x－1)= (x＞1),即x=時，上式取“＝”，又f(x)＞b恒成立，∴b＜(+1)2.又∵a＞0,b＞0,∴+1＞.