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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 4.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（第二課時） 大綱人教版必修 ●教學(xué)目標(biāo) (一)知識目標(biāo) 1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系關(guān)系化簡三角函數(shù)式； 2.利用同角三角函數(shù)關(guān)系證明三角恒等式. (二)能力目標(biāo) 1.熟練運(yùn)用同角三角函數(shù)化簡三角函數(shù)式； 2.活用同角三角函數(shù)關(guān)系證明三角恒等式； 3.明確化簡結(jié)果的要求，掌握證明恒等的方法. (三)德育目標(biāo) 通過化簡與證明，使學(xué)生提高三角恒等變形的能力，樹立化歸的思想方法. ●教學(xué)重點(diǎn) 三角函數(shù)式的化簡，三角恒等式的證明. ●教學(xué)難點(diǎn) 同角三角函數(shù)關(guān)系的變用、活用. ●教學(xué)方法 討論法 通過例題討論及課堂練習(xí)，使學(xué)生初步掌握三角函數(shù)式化簡的要求，三角恒等式證明的方法，特別是通過恒等變形中關(guān)系式的活用，使學(xué)生應(yīng)用知識及恒等變形的能力得到提高，樹立“奔目標(biāo)”的思想觀念. ●教具準(zhǔn)備 投影片三張 第一張：問題一（記作§4.4.2 A） 第二張：問題二（記作§4.4.2 B） 第三張：問題三（記作§4.4.2 C） ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)提問 (打出投影片§4.4.2 A) 問題一：1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有哪些？這里的“同角”如何理解？它們的變形公式有哪些？2.關(guān)于利于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值的問題有哪幾種？ （學(xué)生思考并作答，教師加以補(bǔ)充并指出以下幾點(diǎn)：①sin2α+cos2α=1對α∈R成立； =tanα在α≠kπ+（k∈Z）時成立;tanα·cotα=1,在α≠kπ且α≠kπ+ (k∈Z)時成立；②“同角”應(yīng)是廣義的理解，如與是同角，3α與3α是同角，5β+與 5β+也是同角.③根據(jù)問題的需要，常常用到的同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形有：sin2α=1－cos2α,cos2α=1－sin2α,1=sin2α+cos2α,sinα=tanα·cosα，cosα=,tanα=,cotα=.④已知某角的某一三角函數(shù)值，且知角的象限，其結(jié)果只有一組；已知某角的某一三角函數(shù)值，不知角的象限，可按角所在象限分別進(jìn)行討論，進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果有兩組；已知某角的某一三角函數(shù)值為字母，不知角的象限，可將四個象限的角（可能含軸線角）的三角函數(shù)值分成兩組去求，形式上其結(jié)果仍有兩組. Ⅱ.新課討論 打出投影片§4.4.2 B） 問題二：1.化簡 2.化簡 (留給學(xué)生充分時間進(jìn)行化簡，師巡視) ［師］請一位同學(xué)敘述1題的化簡過程. ［生］利用同角三角函數(shù)關(guān)系公式脫掉根號是解決此題的關(guān)鍵，即 原式= = = =cos80° (大部分學(xué)生都能解正確，教師指出：①脫掉根號的過程就是同角三角函數(shù)關(guān)系公式的應(yīng)用過程；②對于去掉根號后的含絕對值的式子，須根據(jù)絕對值內(nèi)的式子符號的正負(fù)情況，作好分類討論，去掉絕對值符號) ［師］對于2題的解法很多，請同學(xué)們各抒己見. ［生甲］原式= = ［生乙］原式= = = = = ［生丙］原式= = = = （教師指出：①以上三位同學(xué)的解法雖思路不同，但都應(yīng)用了公式sin2α+cos2α=1,其中生乙、生丙是順用公式，生甲是逆用公式，顯然生甲的解法簡單明了.②在生甲的解法中逆用公式sin2α+cos2α=1,實(shí)質(zhì)是“1”的一種三角代換“1=sin2α+cos2α”.③“1”的三角代換還有很多形式，如“1=sec2α－tan2α”“1=csc2α－cot2α”“1=tanα·cotα”“1=tan”） ［師］對于利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡時，其結(jié)果有何要求？ （生在觀察c 上問題fg 中的兩個題目后可以歸納到化簡結(jié)果一般要求：①函數(shù)種類少；②式子項(xiàng)數(shù)少；③項(xiàng)的次數(shù)低；④盡量使分母或根號內(nèi)不含三角函數(shù)式；⑤盡可能求出數(shù)值（不能查表））. （打出投影片§4.4.2 C） 問題三：求證 分析：此例是恒等式的證明，與代數(shù)中所不同的是此為三角恒等式，但證明方法是一致的，與代數(shù)中證明恒等式的方法是相同的，證明恒等的常用方法是： 由繁到簡，“奔目標(biāo)”，向目標(biāo)靠攏. ③證左－右=0 ④證左、右兩邊都等于第三式 ⑤分析法 證法一：由cosx≠0知1＋sinx≠0，于是 左＝ ＝ ＝＝右，證畢. 證法二：由1－sinx≠0，cosx≠0于是 右＝ ＝ ＝＝左，證畢. 證法三：左－右＝ ＝ ＝ ＝＝0 ∴ 證法四：(分析法) 欲證 只須證cos2x＝（1＋sinx）（1－sinx） 只須證cos2x＝1－sin2x 只須證sin2x＋cos2x＝1 ∵上式成立是顯然的. ∴成立. 分析法證題的思路是“執(zhí)果索因”：從結(jié)論出發(fā)，逐步逆推，推出一個真命題或者推出的與已知一致，從而肯定原式成立.要注意論證格式. 此題的左右兩邊都比較簡單，沒有必要用左、右兩式等于第三式來證. 課本上的證法二與分析法的實(shí)質(zhì)是相同的，不過是改用綜合法寫出了證明過程. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P27練習(xí) 5、6. (對于5題的（2）小題，學(xué)生可能不知該如何下手，教師可作必要的提示：用平方關(guān)系進(jìn)行“1”的代換). Ⅳ.課時小結(jié) 本節(jié)課我們討論了同角三角函數(shù)關(guān)系式的兩個方面的應(yīng)用：化簡與證明，與同學(xué)們討論了化簡的一般要求，證明恒等的常用方法，對于化簡與證明另外還應(yīng)注意兩種技巧：一種是切化弦”，一種是“1”的代換，“1”的代換不要僅限于平方關(guān)系的代換，還要注意倒數(shù)關(guān)系的代換，究竟用哪一種，要由具體問題來決定. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P28習(xí)題4.4 5、6、7、8、9. （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容 課本P28正弦、余弦的誘導(dǎo)公式至P30例3結(jié)束. 2.預(yù)習(xí)提綱 (1)設(shè)點(diǎn)P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn).則它關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)O對稱的點(diǎn) 的坐標(biāo)分別是什么? (2)若角α是任意角，那么180°＋α還是不是任意角?－α是不是任意角? (3)你能根據(jù)公式二、三，推導(dǎo)出180°＋α，－α的正切、余切的誘導(dǎo)公式嗎? ●板書設(shè)計 §4.4.2 同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用 平方關(guān)系 商數(shù)關(guān)系 倒數(shù)關(guān)系 例1 化簡結(jié)果要求： ①…… ②…… ③…… ④…… ⑤…… 例2證明恒等式的常用方法： ①…… ②…… ③…… ④…… ⑤…… 練習(xí) 小結(jié)化簡與證明常用的兩種技巧： ①… ②…