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直線與圓的位置關系 切線長定理,探究: 經(jīng)過平面上的已知點作已知圓的切線，會有怎樣的情形呢？,,,A,,,P,,O,如圖，線段PA，PB的長就是點P到⊙O的切線長．,1、切線長的概念．,經(jīng)過圓外一點作圓的切線,這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.,,,,O,,,A,,,P,,O,,B,,P,,切線和切線長是兩個不同的概念： 1、切線是一條與圓相切的直線，不能度量； 2、切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量。,切線和切線長,,O,P,,,,A,B,,,比一比,已知⊙o及⊙o外的一點P，PA與⊙o相切于A點，連接OA、OP，如果將⊙o沿直線OP翻折，存在一點與A點重合嗎？,,,思考:,？,,O,P,,,,A,B,,,,,你能發(fā)現(xiàn)OA與PA，OB與PB之間的關系嗎？,PA、PB所在的直線分別是⊙o兩條切線。,∟,∟,請證明你所發(fā)現(xiàn)的結論。,,,,PA = PB,∠OPA=∠OPB,證明：∵PA，PB與⊙O相切，點A，B是切點 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB,試用文字語言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結論,,證一證,2.切線長定理： 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角．,∵ PA、PB分別切⊙O于A、B.,PA = PB,∠OPA=∠OPB,∴,,,切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關系提供了理論依據(jù)。必須掌握并能靈活應用。,,。,,,,,,P,B,A,O,（3）連結圓心和圓外一點,（2）連結兩切點,（1）分別連結圓心和切點,,反思：在解決有關圓的切線長問題時，往往需要我們構建基本圖形。,想一想,如圖：PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點。,,。,,,,,,,A,O,C,P,B,,思考：由切線長定理可以得出哪些結論？,(1)寫出圖中所有的垂直關系； (2)寫出圖中所有的全等三角形； (3)寫出圖中所有的等腰三角形．,,,,A,,P,O,。,B,,若連結兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結論?并給出證明.,OP垂直平分AB,證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線 ∴OP垂直平分AB,,,,A,,P,O,。,B,,若延長PO交⊙O于點C，連結CA、CB，你又能得出什么新的結論?并給出證明.,CA=CB,證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC,,,,C,例1.PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交于⊙O于點D、E，交AB于C。,,,,B,A,P,O,,,,,C,E,D,（1）寫出圖中所有的垂直關系,OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP,（3）寫出圖中所有的全等三角形,△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP,（4）寫出圖中所有的等腰三角形,△ABP △AOB,（5）若PA=4、PD=2，求半徑OA,（2）寫出圖中與∠OAC相等的角,∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC,4,2,,。,,,,,,P,B,A,O,（3）連結圓心和圓外一點,（2）連結兩切點,（1）分別連結圓心和切點,,反思：在解決有關圓的切線長問題時，往往需要我們構建基本圖形。,例2.如圖所示PA、PB分別切圓O于A、B， 并與圓O的切線分別相交于C、D，已知 PA=7cm， (1)求△PCD的周長． (2) 如果∠P=50°,求∠COD的度數(shù),,,,E,2、已知：如圖，P為⊙O外一點，PA，PB為⊙O的切線，A和B是切點，BC是直徑．求證：AC∥OP．,,2、已知：如圖，P為⊙O外一點，PA，PB為⊙O的切線，A和B是切點，BC是直徑．求證：AC∥OP．,,問題：如圖為一張三角形鐵皮,如何在它上面截一個面積最大的圓形鐵皮?,,●,I,,,與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓. 三角形的內切圓的圓心叫做這個三角形的內心. 這個三角形叫做這個圓的外切三角形.,,內切圓,（即三角形三條角平分線的交點）,∵O在∠B的角平分線上， ∴OD＝OE， 又∵O在∠C的平分線上， ∴OD＝OF， ∴OD＝OE＝OF． ∴D、E、F在同一個圓上 O即為內切圓的圓心．,,,,求證：三角形三條角平分線的交點是內切圓的 圓心．,,,,O,D,E,F,(角平分線的性質定理),證明：,,,,B,C,a,b,c,r,,A,,直角三角形的兩直角邊分別是5cm,12cm 則其內切圓的半徑為______。,思考,例3.如圖，△ABC中,∠C =90o ,它的 內切圓O分別與邊AB、BC、CA相切 于點D、E、F，且BD=12，AD=8， 求⊙O的半徑r.,,,,12,8,1.已知：△ABC的內切圓分別和BC、AC、AB相切于點D、E、F，∠DIE=120°,∠EIF=130°.求△ABC的三個內角的度數(shù).,,,,F,,選做題：如圖，AB是⊙O的直徑， AD、DC、BC是切線，點A、E、B 為切點，若BC=9，AD=4，求OE的長.,,,,,例5． 試說明圓的外切四邊形的兩組 對邊的和相等．,,,,,3、已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的內切圓I分別和BC，AC，AB相切于點D，E，F(xiàn)，求AF，BD和CE的長,1.切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。,小 結：,∵PA、PB分別切⊙O于A、B,∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB,OP垂直平分AB,切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關系提供了理論依據(jù)。必須掌握并能靈活應用。,2.圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等,我們學過的切線，常有 五個 性質： 1、切線和圓只有一個公共點； 2、切線和圓心的距離等于圓的半徑； 3、切線垂直于過切點的半徑； 4、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點； 5、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。,6、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。,六個,經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長叫做切線長．,從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．,5． 切線長定理,4． 切線長,6． 三角形的內切圓,與三角形各邊都相切的圓．,7． 三角形的內心,三角形內切圓的圓心．,（即三角形三條角平分線的交點）,,,,1．經(jīng)過_____一點作圓的切線，這點與切點之間_____的長，叫做這點到圓的切線長． 2．圓的切線長定理：從圓外一點可以引圓的_____條切線，它們的切線長 ，這一點和圓心的連線 兩條切線的夾角． 3．與三角形各邊都_____的圓叫做三角形的內切圓，圓心叫做三角形的_____心，它是三角形 的交點．,圓外,線段,兩,相等,平分,相切,內,三條角平分線,B,A,80°,A,24,2,解：根據(jù)切線長定理得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.設AE＝AF＝ x cm，則CE＝CD＝(26－x) cm，BF＝BD＝(18－x) cm.∵BC＝28 cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28，解得x＝8，∴AF＝8 cm，BD＝10 cm，CE＝18 cm,B,C,A,50°,4,