中考數(shù)學 第五單元 函數(shù)及其圖象 第17課時 二次函數(shù)的圖象和性質復習課件.ppt
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第17課時 二次函數(shù)的圖象和性質,1.[2015·蘭州]下列函數(shù)解析式中,一定為二次函數(shù)的是( ) 2.在下列二次函數(shù)中,其圖象對稱軸為x=-2的是 ( ) A.y=(x+2)2 B.y=2x2-2 C.y=-2x2-2 D.y=2(x-2)2,[小題熱身],C,A,3.對于二次函數(shù)y=2(x+1)(x-3),下列說法正確的是( ) A.圖象的開口向下 B.當x>1時,y隨x的增大而減小 C.當x<1時,y隨x的增大而減小 D.圖象的對稱軸是直線x=-1 4.在平面直角坐標系中,將拋物線y=x2-4先向右平移2個單位,再向上平移2個單位,得到的拋物線的解析式為( ) A.y=(x+2)2+2 B.y=(x-2)2-2 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x+2)2-2,C,B,A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2,B,一、必知5 知識點 1.二次函數(shù)的概念 定義:一般地,形如________________(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫二次函數(shù).,[考點管理],【智慧錦囊】 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的結構特征是:①等號左邊是函 數(shù),右邊是關于自變量x的二次整式,x的最高次數(shù)是2; ②二次項系數(shù)a≠0.,y=ax2+bx+c,用描點法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的步驟: (1)用配方法化成______________________的形式; (2)確定圖象的開口方向,對稱軸及頂點坐標; (3)在對稱軸兩側利用對稱性描點畫圖.,y=a(x-m)2+k(a≠0),【智慧錦囊】 (1)|a|的大小決定拋物線的開口大?。畖a|越大,拋物線的開口越 小,|a|越小,拋物線的開口越大; (2)畫拋物線y=ax2+bx+c的草圖,要確定五點:①開口方 向;②對稱軸;③頂點;④與y軸交點;⑤與x軸交點.,3.二次函數(shù)的性質,4.二次函數(shù)與一元二次方程 二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0有著密切的關系,二次函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標對應一元二次方程的實數(shù)根,拋物線與x軸的交點情況可由對應的一元二次方程的根的判別式b2-4ac的符號判定. (1)有兩個交點__________?_________________________. (2)有一個交點__________?________________________. (3)沒有交點____________?____________________.,b2-4ac0,方程有兩個不相等實數(shù)根,b2-4ac=0,方程有兩個相等實數(shù)根,b2-4ac0,方程沒有實數(shù)根,5.二次函數(shù)圖象的平移 將拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法化成______________________的形式,而任意拋物線______________________均可由y=ax2平移得到,具體平移方法如下:,y=a(x-m)2+k(a≠0),y=a(x-m)2+k(a≠0),二、必會2 方法 1.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式,確定二次函數(shù)一般需要三個獨立條件,根據(jù)不同條件選擇不同的設法. (1)設一般式____________________: 若已知條件是圖象上的三個點,則設所求二次函數(shù)為y=ax2+bx+c,將已知條件代入,求出a,b,c的值. (2)設頂點式__________________: 若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標或對稱軸或最大值(最小值),設所求二次函數(shù)為__________________,將已知條件代入,求出待定系數(shù),最后將解析式化為一般形式.,y=ax2+bx+c(a≠0),y=a(x-m)2+k,y=a(x-m)2+k,(3)設兩根式________________________: 若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標為(x1,0),(x2,0),設所求二次函數(shù)為y=a(x-x1)(x-x2),將第三點(m,n)的坐標(其中m,n為已知數(shù))或其他已知條件代入,求出待定系數(shù)a,最后將解析式化為一般形式. 2.數(shù)形結合思想 二次函數(shù)的圖象與性質是數(shù)形結合最好的體現(xiàn),二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象特征與a,b,c及判別式b2-4ac的符號之間的關系如下:,y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),特殊值:當x=1,y=a+b+c;當x=-1時,y=a-b+c.若a+b+c0,即x=1時,y0.若a-b+c0,即x=-1時,y0.,三、必明3 易錯點 1.注意二次函數(shù)y=a(x-m)2+k的圖形平移,一般按照“橫坐標加減左右移”、“縱坐標加減上下移”即“左加右減,上加下減”,容易出現(xiàn)移動方向弄反. 2.求二次函數(shù)與x軸交點坐標的方法是令y=0解關于x的方程;求函數(shù)與y軸交點的方法是令x=0得y值,容易出現(xiàn)求與x軸交點坐標時,令x=0,求與y軸交點坐標時,令y=0的錯誤.,3.根據(jù)a,b,c確定函數(shù)的大致圖象易錯點: (1)c的大小決定拋物線與y軸的交點位置,c=0時,拋物線過原點,c0時,拋物線與y軸交于正半軸,c0時,對稱軸在y軸左側,當ab0時,對稱軸在y軸的右側.,類型之一 二次函數(shù)的圖象和性質 [2014·濱州]已知二次函數(shù)y=x2-4x+3. (1)用配方法求函數(shù)的頂點C的坐標,并描述該函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減情況; (2)求函數(shù)圖象與x軸的交點A,B的坐標,及△ABC的面積. 解:(1)y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1, ∴函數(shù)的頂點C的坐標為(2,-1), ∴當x≤2時,y隨x的增大而減?。划攛2時,y隨x的增大而增大;,1.[2015·樂山]二次函數(shù)y=-x2+2x+4的最大值為( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 y=-(x-1)2+5, ∵a=-1<0, ∴當x=1時,y有最大值,最大值為5.,C,C,3.[2015·紹興]如果拋物線y=ax2+bx+c過定點M(1,1),則稱此拋物線為定點拋物線. (1)張老師在投影屏幕上出示了一個題目:請你寫出一條定點拋物線的一個解析式.小敏寫出了一個答案y=2x2+3x-4,請你寫出一個不同于小敏的答案; (2)張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題:已知定點拋物線y=-x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點縱坐標的值最小時的解析式,請你解答.,解:(1)依題意,選擇點(1,1)作為拋物線的頂點,二次項系數(shù)是1, 根據(jù)頂點式得y=x2-2x+2; (2)∵定點拋物線的頂點坐標為(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1, ∴c=1-2b, ∵頂點縱坐標c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1, ∴當b=1時,c+b2+1最小,拋物線頂點縱坐標的值最小,此時c=-1, ∴拋物線的解析式為y=-x2+2x.,【點悟】 (1)從函數(shù)圖象上可知二次函數(shù)圖象的以下特征:①開口方向;②對稱軸;③頂點坐標;④與y軸交點坐標;⑤與x軸交點坐標.(2)求二次函數(shù)的頂點坐標有兩種方法:①配方法;②頂點公式法.,類型之二 二次函數(shù)的平移 [2015·成都]將拋物線y=x2向左平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度,得到的拋物線的函數(shù)表達式為( ) A.y=(x+2)2-3 B.y=(x+2)2+3 C.y=(x-2)2+3 D.y=(x-2)2-3 【解析】 拋物線y=x2平移后的拋物線解析式為y=(x+2)2-3.,A,1.[2014·麗水]在同一平面直角坐標系內(nèi),將函數(shù)y=2x2+4x-3的圖象向右平移2個單位,再向下平移1個單位,得到圖象的頂點坐標是 ( ) A.(-3,-6) B.(1,-4) C.(1,-6) D.(-3,-4) 【解析】 函數(shù)y=2x2+4x-3的圖象向右平移2個單位,再向下平移1個單位得到圖象y=2(x-2)2+4(x-2)-3-1,即y=2(x-1)2-6,頂點坐標是(1,-6).,C,2.拋物線y=x2+bx+c圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位,所得圖象的解析式為y=x2-2x-3,則b,c的值為 ( ) A.b=2,c=2 B.b=2,c=0 C.b=-2,c=-1 D.b=-3,c=2 【解析】 先配方為y=(x-1)2-4,逆向思考把y=(x-1)2-4先左移2個單位,再向上移3個單位得到解析式為y=(x-1+2)2-4+3=(x+1)2-1,化為一般式是y=x2+2x,故選擇B.,B,【點悟】 (1)二次函數(shù)圖象的平移實際上就是頂點位置的變換,因此先將二次函數(shù)解析式轉化為頂點式確定其頂點坐標,然后求出平移后的頂點坐標,從而求出平移后二次函數(shù)的解析式.(2)圖象的平移規(guī)律:上加下減,左加右減.,類型之三 二次函數(shù)的解析式的求法 [2014·寧波]如圖17-1,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三點. (1)求二次函數(shù)的解析式; (2)設二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為D,求點D的坐標; (3)在同一坐標系中畫出直線y=x+1,并寫出當x在什么范圍內(nèi)時,一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值.,圖17-1,[2015·遵義]如圖17-2,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(-4,0),B(2,0),與y軸交于點C(0,2). (1)求拋物線的解析式; (2)若點D為該拋物線上的一個動點,且在直線AC上方,當以A,C,D為頂點的三角形面積最大時,求點D的坐標及此時三角形的面積. 圖17-2,變式跟進答圖,【點悟】 (1)當已知拋物線上三點求二次函數(shù)的解析式時,一 般采用一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0); (2)當已知拋物線頂點坐標(或對稱軸或最大、最小值)求解析式 時,一般采用頂點式y(tǒng)=a(x-m)2+k;(3)當已知拋物線與x軸 的交點坐標求二次函數(shù)的解析式時,一般采用兩根式 y=a(x-x1)(x-x2).,類型之四 二次函數(shù)與方程的關系 [2015·寧波]已知拋物線y=(x-m)2-(x-m),其中m是常數(shù). (1)求證:不論m為何值,該拋物線與x軸一定有兩個公共點;,1.[2015·蘇州]若二次函數(shù)y=x2+bx的圖象的對稱軸是經(jīng)過點(2,0)且平行于y軸的直線,則關于x的方程x2+bx=5的解為 ( ) A.x1=0,x2=4 B.x1=1,x2=5 C.x1=1,x2=-5 D.x1=-1,x2=5,D,D,3.[2015·瀘州]若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象經(jīng)過點(2,0),且其對稱軸為x=-1,則使函數(shù)值y>0成立的x的取值范圍是 ( ) A.x<-4或x>2 B.-4≤x≤2 C.x≤-4或x≥2 D.-4<x<2 【解析】 ∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象經(jīng)過點(2,0),且其對稱軸為x=-1, ∴二次函數(shù)的圖象與x軸另一個交點為(-4,0), ∵a<0,∴拋物線開口向下, 則使函數(shù)值y>0成立的x的取值范圍是-4<x<2.,D,類型之五 二次函數(shù)的圖象特征與a,b,c之間的關系 [2015·遂寧]二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖17-3所示,下列結論: ①2a+b>0,②abc<0,③b2-4ac>0, ④a+b+c<0,⑤4a-2b+c<0, 其中正確的個數(shù)是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,圖17-3,B,對于②,易得a<0,對稱軸在y軸的右邊,故b>0,拋物線與y 軸的交點在原點的下方,則c<0,所以abc>0,故②錯誤; 對于③,拋物線與x軸有兩個交點,所以b2-4ac>0,故③正 確; 對于④,當x=1時,顯然y的值為正,所以y=a+b+c>0, 故④錯誤; 對于⑤,當x=-2時,顯然y的值為負, 所以y=4a-2b+c<0,故⑤正確.,1.[2015·涼山]二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖17-4所示,下列說法:①2a+b=0;②當-1≤x≤3時,y<0;③若(x1,y1),(x2,y2)在函數(shù)圖象上,當x1<x2時,y1<y2;④9a+3b+c=0.其中正確的是( ) A.①②④ B.①④ C.①②③ D.③④,圖17-4,B,2.[2015·珠海]已知拋物線y=ax2+bx+3的對稱軸是直線x=1. (1)求證:2a+b=0; (2)若關于x的方程ax2+bx-8=0的一個根為4,求方程的另一個根.,【點悟】 二次函數(shù)的圖象特征主要從開口方向,與x軸有無交點,與y軸交點及對稱軸的位置入手,確定a,b,c及b2-4ac的符號,有時也可把x的值代入求值或根據(jù)圖象確定y的符號.,類型之六 二次函數(shù)的綜合運用 [2015·武威]如圖17-5,在直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點M. (1)求拋物線的解析式和對稱軸; (2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P, 使△PAB的周長最?。咳舸嬖?,請求出 點P的坐標;若不存在,請說明理由; 【解析】 (1)利用兩根式法設拋物線的 解析式為y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4);,圖17-5,(2)點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6,4),連結BA′交對稱 軸于點P,連結AP,此時△PAB的周長最小,可求出直線BA′ 的解析式,即可得出點P的坐標.,(2)P點存在.理由如下: ∵點A(0,4),拋物線的對稱軸是x=3, ∴點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6,4), 例6答圖 如答圖,連結BA′交對稱軸于點P,連結AP,此時△PAB的周 長最?。?如圖17-6,二次函數(shù)y=-x2+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A(3,0),另一個交點為B,且與y軸交于點C. (1)求m的值; (2)求點B的坐標; (3)該二次函數(shù)圖象上有一點D(x,y) (其中x>0,y>0),使S△ABD=S△ABC, 求點D的坐標.,圖17-6,【解析】 (1)將A(3,0)的坐標代入二次函數(shù)解析式 y=-x2+2x+m;(2)令y=0,解一元二次方程; (3)由于S△ABD=S△ABC,則C,D關于二次函數(shù)對稱軸對稱. 解:(1)將A(3,0)的坐標代入二次函數(shù)解析式, 得-32+2×3+m=0,解得m=3; (2)二次函數(shù)解析式為y=-x2+2x+3, 令y=0, 得-x2+2x+3=0,解得x=3或x=-1, ∴點B的坐標為(-1,0);,(3)∵S△ABD=S△ABC,點D在第一象限, ∴點C的縱坐標與點D的縱坐標相等, ∴點C,D關于二次函數(shù)對稱軸對稱. ∵由二次函數(shù)解析式可得其對稱軸為x=1, ∵點C的坐標為(0,3), ∴點D的坐標為(2,3).,二次函數(shù)圖象平移方向弄反 (臨沂中考)要將拋物線y=x2+2x+3平移后得到拋物線y=x2, 下列平移方法正確的是 ( ) A.向左平移1個單位,再向上平移2個單位 B.向左平移1個單位,再向下平移2個單位 C.向右平移1個單位,再向上平移2個單位 D.向右平移1個單位,再向下平移2個單位 【錯解】錯成A或B或者C,【錯因】y=x2+2x+3=(x+1)2+2,又y=x2=(x+1-1)2+2-2,要得到拋物線y=x2則平移的方法可以是:將拋物線y=x2+2x+3向右平移1個單位,再向下平移3個單位.錯解中把左右,上下平移方向弄反了 【正解】D,- 配套講稿:
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