2011西城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案(文理科).rar
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北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷
數(shù)學(xué)(理科) 2011.5
第Ⅰ卷(選擇題 共40分)
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).
1.已知集合,,且,則等于
(A)
(B)
(C)
(D)
2.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
3.在中,“”是“為鈍角三角形”的
(A)充分不必要條件
(B)必要不充分條件
(C)充要條件
(D)既不充分又不必要條件
4.已知六棱錐的底面是正六邊形,
平面.則下列結(jié)論不正確的是
(A)平面
(B)平面
(C)平面
(D)平面
5.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓相切,則雙曲線(xiàn)離心率為
(A)
(B)
(C)
(D)
x
A
B
P
y
O
6.函數(shù)的部分圖象如右圖所示,設(shè)是圖象的最高點(diǎn),是圖象與軸的交點(diǎn),則
(A)
(B)
(C)
(D)
7.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,那么滿(mǎn)足的整數(shù)
(A)有3個(gè)
(B)有2個(gè)
(C)有1個(gè)
(D)不存在
8.設(shè)點(diǎn),,如果直線(xiàn)與線(xiàn)段有一個(gè)公共點(diǎn),那么
(A)最小值為
(B)最小值為
(C)最大值為
(D)最大值為
第Ⅱ卷(非選擇題 共110分)
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
O
A
B
P
D
C
?
9.在中,若,,則_____.
10.在的展開(kāi)式中,的系數(shù)是_____.
11.如圖,是圓的直徑,在的延長(zhǎng)線(xiàn)上,
切圓于點(diǎn).已知圓半徑為,,則
______;的大小為_(kāi)_____.
開(kāi)始
輸入
否
結(jié)束
輸出
是
12.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為_(kāi)____.
13.定義某種運(yùn)算,的運(yùn)算原理如右圖所示.
設(shè).
則______;
在區(qū)間上的最小值為_(kāi)_____.
14.數(shù)列滿(mǎn)足,,其中,
.
①當(dāng)時(shí),_____;
②若存在正整數(shù),當(dāng)時(shí)總有,則的取值范圍是_____.
三、解答題:本大題共6小題,共80分. 解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.(本小題滿(mǎn)分13分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)若,求的值.
16.(本小題滿(mǎn)分13分)
如圖,已知菱形的邊長(zhǎng)為,,.將菱形沿對(duì)角線(xiàn)折起,使,得到三棱錐.
(Ⅰ)若點(diǎn)是棱的中點(diǎn),求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)是線(xiàn)段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)的位置,使得,并證明你的結(jié)論.
M
17.(本小題滿(mǎn)分13分)
甲班有2名男乒乓球選手和3名女乒乓球選手,乙班有3名男乒乓球選手和1名女乒乓球選手,學(xué)校計(jì)劃從甲乙兩班各選2名選手參加體育交流活動(dòng).
(Ⅰ)求選出的4名選手均為男選手的概率.
(Ⅱ)記為選出的4名選手中女選手的人數(shù),求的分布列和期望.
18.(本小題滿(mǎn)分14分)
已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的面積;
(Ⅱ)若函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),且極大值與極小值的積為,求的值.
19.(本小題滿(mǎn)分14分)
已知橢圓的離心率為,且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn),且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),
求面積的最大值.
20.(本小題滿(mǎn)分13分)
若為集合且的子集,且滿(mǎn)足兩個(gè)條件:
①;
②對(duì)任意的,至少存在一個(gè),使或.
…
…
…
…
…
…
…
則稱(chēng)集合組具有性質(zhì).
如圖,作行列數(shù)表,定義數(shù)表中的第行第列的數(shù)為.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì),如果是請(qǐng)畫(huà)出所對(duì)應(yīng)的表格,如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由;
集合組1:;
集合組2:.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若集合組具有性質(zhì),請(qǐng)先畫(huà)出所對(duì)應(yīng)的行3列的一個(gè)數(shù)表,再依此表格分別寫(xiě)出集合;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),集合組是具有性質(zhì)且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組,求的值及的最小值.(其中表示集合所含元素的個(gè)數(shù))
北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷
參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
數(shù)學(xué)(理科) 2011.5
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
A
D
C
B
B
A
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 10. 11.;
12.(或其它等價(jià)寫(xiě)法) 13.; 14.;.
注:11、13、14題第一問(wèn)2分,第二問(wèn)3分.
三、解答題:本大題共6小題,共80分.若考生的解法與本解答不同,正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.
15.(本小題滿(mǎn)分13分)
解:(Ⅰ)由題意,, ………………2分
所以, ………………3分
所以, ………………4分
函數(shù)的定義域?yàn)? ………………5分
(Ⅱ) ………………7分
………………8分
. ………………10分
因?yàn)?,所? ………………11分
所以, ………………12分
. ………………13分
16.(本小題滿(mǎn)分13分)
(Ⅰ)證明:因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),
所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn),
所以是的中位線(xiàn),. ………………1分
因?yàn)槠矫?平面,
所以平面. ………………3分
A
B
C
O
D
x
y
z
M
(Ⅱ)解:由題意,,
因?yàn)椋?
所以,. ………………4分
又因?yàn)榱庑?,所以?
建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
.
所以 ………………6分
設(shè)平面的法向量為,
則有即:
令,則,所以. ………………7分
因?yàn)?所以平面.
平面的法向量與平行,
所以平面的法向量為. ………………8分
,
因?yàn)槎娼鞘卿J角,
所以二面角的余弦值為. ……………9分
(Ⅲ)解:因?yàn)槭蔷€(xiàn)段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè),,
則,
所以, ……………10分
則,,
由得,即,…………11分
解得或, ……………12分
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或. ……………13分
(也可以答是線(xiàn)段的三等分點(diǎn),或)
17.(本小題滿(mǎn)分13分)
解:(Ⅰ)事件表示“選出的4名選手均為男選手”.由題意知
………………3分
. ………………5分
(Ⅱ)的可能取值為. ………………6分
, ………………7分
, ………………9分
, ………………10分
. ………………11分
的分布列:
………………12分
. ………………13分
18、(本小題滿(mǎn)分14分)
解:(Ⅰ), ………………3分
當(dāng)時(shí),,
,,
所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為, ………………5分
切線(xiàn)與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,, ………………6分
所以,所求面積為. ………………7分
(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),
所以,方程在內(nèi)存在兩個(gè)不等實(shí)根, ………………8分
則 ………………9分
所以. ………………10分
設(shè)為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),
則,, ………………11分
因?yàn)?,?
所以,, ………………12分
即,,,
解得,,此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn),
所以. ………………14分
19.(本小題滿(mǎn)分14分)
解:(Ⅰ)因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為,
所以, ……………1分
又橢圓的離心率為,即,所以, ………………2分
所以,. ………………4分
所以,橢圓的方程為. ………………5分
(Ⅱ)方法一:不妨設(shè)的方程,則的方程為.
由得, ………………6分
設(shè),,
因?yàn)椋裕? ………………7分
同理可得, ………………8分
所以,, ………………10分
, ………………12分
設(shè),
則, ………………13分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
所以面積的最大值為. ………………14分
方法二:不妨設(shè)直線(xiàn)的方程.
由 消去得, ………………6分
設(shè),,
則有,. ① ………………7分
因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn),所以 .
由 ,
得 . ………………8分
將代入上式,
得 .
將 ① 代入上式,解得 或(舍). ………………10分
所以(此時(shí)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn),與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)),
所以
. ……………12分
設(shè),
則.
所以當(dāng)時(shí),取得最大值. ……………14分
20.(本小題滿(mǎn)分13分)
(Ⅰ)解:集合組1具有性質(zhì). ………………1分
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為:
………………3分
集合組2不具有性質(zhì). ………………4分
因?yàn)榇嬖冢?
有,
與對(duì)任意的,都至少存在一個(gè),有或矛盾,所以集合組不具有性質(zhì). ………………5分
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(Ⅱ)
……………7分
. ………………8分
(注:表格中的7行可以交換得到不同的表格,它們所對(duì)應(yīng)的集合組也不同)
(Ⅲ)設(shè)所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表,
因?yàn)榧辖M為具有性質(zhì)的集合組,
所以集合組滿(mǎn)足條件①和②,
由條件①:,
可得對(duì)任意,都存在有,
所以,即第行不全為0,
所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0. ………………9分
由條件②知,對(duì)任意的,都至少存在一個(gè),使或,所以一定是一個(gè)1一個(gè)0,即第行與第行的第列的兩個(gè)數(shù)一定不同.
所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同. ………………10分
因?yàn)橛伤鶚?gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè),去掉全是的元有序數(shù)組,共有個(gè),又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同,所以,
所以.
又時(shí),由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè),去掉全是的數(shù)組,共個(gè),選擇其中的個(gè)數(shù)組構(gòu)造行列數(shù)表,則數(shù)表對(duì)應(yīng)的集合組滿(mǎn)足條件①②,即具有性質(zhì).
所以. ………………12分
因?yàn)榈扔诒砀裰袛?shù)字1的個(gè)數(shù),
所以,要使取得最小值,只需使表中1的個(gè)數(shù)盡可能少,
而時(shí),在數(shù)表中,
的個(gè)數(shù)為的行最多行;
的個(gè)數(shù)為的行最多行;
的個(gè)數(shù)為的行最多行;
的個(gè)數(shù)為的行最多行;
因?yàn)樯鲜龉灿行?,所以還有行各有個(gè),
所以此時(shí)表格中最少有個(gè).
所以的最小值為. ………………14分
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2011西城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案(文理科).rar,2011,西城區(qū),高三二模,數(shù)學(xué)試卷,答案,文理科
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