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第七節(jié) 正弦定理和余弦定理,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)正弦定理: =______=______=2R(R是△ABC外接圓的半徑),(2)余弦定理: ①在△ABC中,有a2=_____________; b2=_____________; c2=_____________. ②在△ABC中,有:cosA=__________; cosB=__________; cosC=__________.,b2+c2-2bccosA,c2+a2-2cacosB,a2+b2-2abcosC,(3)在△ABC中,已知a,b和A時,三角形解的情況:,一解,兩解,一解,一解,無解,2.必備結論 教材提煉 記一記 (1)三角形的內角和定理:在△ABC中,A+B+C=___,其變式有: A+B=_____, =_______等. (2)三角形中的三角函數(shù)關系:sin(A+B)=_____; cos(A+B)=______; sin =_______; cos =_______.,π,π-C,sinC,-cosC,(3)正弦定理的公式變形: ①a=_______, b=_______,c=_______; ②sinA∶sinB∶sinC=_________; ③sinA= ,sinB=____,sinC=____; ④,2RsinA,2RsinB,2RsinC,a∶b∶c,3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法：代入法、邊角轉化法. (2)數(shù)學思想:數(shù)形結合、分類討論.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)正弦定理和余弦定理對任意三角形都成立.( ) (2)三角形中各邊和它所對角的弧度數(shù)之比相等.( ) (3)已知兩邊及其夾角求第三邊,用余弦定理.( ) (4)在△ABC的六個元素中,已知任意三個元素可求其他元素.( ) (5)在△ABC中,若sinAsinB,則AB.( ),【解析】(1)正確.由正弦定理和余弦定理的證明過程可知,它們對任意三角形都成立. (2)錯誤.由正弦定理可知該結論錯誤. (3)正確.由余弦定理可知該結論正確. (4)錯誤.當已知三個角時不能求三邊. (5)正確.由正弦定理知sinA= ,sinB= ,由sinAsinB得ab,即AB. 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修5P8T2(1)改編)在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,則A+C=( ) A.90° B.120° C.135° D.150° 【解析】選B.先求B. cosB= 因為0°B180°,所以B=60°,故A+C=120°.,(2)(必修5P4T1(2)改編)在△ABC中,已知A=60°,B=75°,c=20,則a= . 【解析】C=180°-(A+B)=180°-(60°+75°)=45°. 由正弦定理,得 答案:10,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·湖北高考)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c. 已知A= ,a=1,b= ,則B= . 【解析】依題意,由正弦定理知 得出sinB= 由于0Bπ,所以B= 答案:,(2)(2014·福建高考)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC= ,則AB等于 . 【解析】由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,得3=AB2+4-2×2AB·cos60°,即AB2-2AB+1=0,解得AB=1. 答案:1,考點1 正弦定理的應用 【典例1】(1)在△ABC中,已知a=2,b= ,A=45°,則滿足條件的三角形有( ) A.一個 B.兩個 C.0個 D.無法確定 (2)(2014·廣東高考)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知 bcosC+ccosB=2b,則 = .,(3)(2015·吉林模擬)如圖,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2 ,點D在BC邊上,∠ADC=75°,則AD的長為 .,【解題提示】(1)利用正弦定理計算. (2)利用正弦定理化邊為角,利用三角恒等變換進行化簡. (3)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質求出角B,再利用正弦定理求解.,【規(guī)范解答】(1)選B.由正弦定理,得sinB= 因為ba,所以B=60°或120°. 故滿足條件的三角形有兩個. (2)由正弦定理得, sinBcosC+sinCcosB=2sinB, 所以sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB, 即sinA=2sinB, 再由正弦定理得a=2b,所以 =2. 答案:2,(3)過點A作AE⊥BC，垂足為E，則在Rt△ABE中， 在△ABD中，∠ADB=180°-∠ADC=180°-75°=105°. 由正弦定理得AD= 答案：,【一題多解】解答本例(1),(2)你還有其他方法嗎? (1)選B.數(shù)形結合法:如圖,CD= ×sin45°= , 又a=2,b= , 所以CDab, 故滿足條件的三角形有兩個. (2)如圖,作AD⊥BC于點D,則a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即 =2. 答案:2,【規(guī)律方法】 1.正弦定理的應用技巧 (1)求邊：利用公式 或其他相應變形 公式求解. (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A= 或其他相應變形公式求解. (3)相同的元素歸到等號的一邊：即 可應用這些公式解決邊或角的比例關系問題.,2.判斷三角形解的個數(shù)的兩種方法 (1)代數(shù)法：根據(jù)大邊對大角的性質、三角形內角和公式、正弦函數(shù)的值域等判斷. (2)幾何圖形法：根據(jù)條件畫出圖形，通過圖形直觀判斷解的個數(shù).,【變式訓練】(2015·三門峽模擬)已知在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是( ) A.x2 B.x2且xsin 45°2， 所以2x2 .,【加固訓練】1.在△ABC中，a=10，B=60°,C=45°,則c等于( ) A.10+ B.10( －1) C. +1 D.10,【解析】選B.A=180°－(B＋C)=180°－(60°+45°)=75°. 由正弦定理，得,2.(2015·綿陽模擬)在銳角△ABC中,角A,B所對的邊分別為a,b, 若2asinB= b,則角A= . 【解析】由正弦定理得2sinA·sinB= sinB,又sinB≠0, 故sinA= ,又0°A90°,所以A=60°. 答案:60°,3.(2015·黃山模擬)若△ABC的三內角A,B,C滿足A+C=2B,且最大邊為最小邊的2倍,則三角形三內角之比為 .,【解析】因為A+C=2B，不妨設A=B-α,C=B+α. 因為A+B+C=π,所以B-α+B+B+α=π,所以B= 再設最小邊為a,則最大邊為2a. 由正弦定理得 即sin cos α+cos sin α=2(sin cos α-cos sin α), 所以tan α= ,α= 所以三內角分別為 它們的比為1∶2∶3. 答案：1∶2∶3,考點2 余弦定理的應用 【典例2】(1)(2015·青島模擬)已知銳角三角形的邊長分別為1,3,x,則x的取值范圍是( ) A.8x10 B.2 x C.2 x10 D. x8,(2)(2015·咸陽模擬)在△ABC中,三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若(a+b+c)(a-b-c)+bc=0,則A= . (3)(2014·遼寧高考)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c, 且ac,已知 =2,cosB= ,b=3,求:①a和c的值;②cos(B-C)的值.,【解題提示】(1)使大邊的對角是銳角,其余弦值大于0,列不等式組求解. (2)已知三邊的關系求角用余弦定理. (3)①利用向量運算及余弦定理找等量關系求解; ②利用已知條件求sinB,cosC,sinC,代入公式求值.,【規(guī)范解答】(1)選B.因為31, 所以只需使邊長為3及x的對角都為銳角即可,故 又因為x0,所以,(2)因為(a+b+c)(a-b-c)+bc=a2-(b+c)2+bc =a2-b2-c2-bc=0, 所以a2=b2+c2+bc, cosA= 又A∈(0,π),所以A= π. 答案: π,(3)①由 =cacos B=2，所以ac=6. 又由b=3及余弦定理得b2=a2+c2-2accos B， 所以a2+c2=13，因為ac，解得a=3,c=2. ②由a=3,b=3,c=2得cos C= sin C= 由cos B= 得sin B= 所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=,【互動探究】對于本例(2),若△ABC的三邊a,b,c滿足a2=b2+c2- 則A=______. 【解析】由余弦定理，得cos A= 因為A∈(0,π),所以A= . 答案：,【規(guī)律方法】 1.利用余弦定理解三角形的步驟,2.利用余弦定理判斷三角形的形狀 在△ABC中,c是最大的邊, 若c2a2+b2,則△ABC是鈍角三角形. 提醒:已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形,可用正弦定理,也可用余弦定理,用正弦定理時,需判斷其解的個數(shù),用余弦定理時,可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個數(shù).,【變式訓練】(2015·合肥模擬)設△ABC的內角A,B,C所對邊的長分 別為a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,則角C=( ) 【解析】選B.因為3sinA=5sinB,所以由正弦定理可得3a=5b,所以a= 因為b+c=2a,所以c= 所以cosC= 因為C∈(0,π),所以C=,【加固訓練】1.在△ABC中,若a∶b∶c=3∶5∶7,則這個三角形中最大內角為( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 【解析】選C.令a=3x,b=5x,c=7x(x0),則c為最大邊,角C為三角形中最大內角, 由余弦定理,得cosC= 所以C=120°.,2.在△ABC中,C=60°,a,b,c分別為角A,B,C的對邊, 則 = . 【解析】因為C=60°,所以a2+b2-c2=ab, 所以a2+b2=ab+c2, 等式兩邊都加上ac+bc,整理得 (a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c), 所以 答案:1,考點3 正、余弦定理的綜合應用 知·考情 利用正、余弦定理求三角形中的邊和角、判斷三角形的形狀是高考的重要考向,常與三角恒等變換相結合,以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn),以后兩種題型為主.,明·角度 命題角度1:綜合利用正、余弦定理求角(或其正、余弦值) 【典例3】(2014·天津高考)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是 a,b,c.已知b-c= a,2sinB=3sinC,則cosA的值為 . 【解題提示】利用正弦定理化角為邊,解方程組得邊的關系,然后利用余弦定理求cosA的值.,【規(guī)范解答】因為2sin B=3sin C，所以2b=3c， 又b-c= a,解得b= a=2c. 所以cos A= 答案：－,命題角度2:判斷三角形的形狀 【典例4】(2013·陜西高考改編)設△ABC的內角A,B,C所對的邊 分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,且sin2B=sin2C,則△ABC的形 狀為( ) A.等腰三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解題提示】由正弦定理對題中的兩個等式分別變形判斷.,【規(guī)范解答】選D.因為bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A, sinA=1,即A= ,又因為sin2B=sin2C, 所以由正弦定理得b2=c2,即b=c, 故△ABC為等腰直角三角形.,命題角度3:綜合利用正、余弦定理求邊長 【典例5】(2014·湖南高考)如圖,在平面四邊形 ABCD中,AD=1,CD=2,AC= . (1)求cos∠CAD的值. (2)若cos∠BAD= ,sin∠CBA= 求BC的長. 【解題提示】利用余弦定理和正弦定理求解.,【規(guī)范解答】(1)在△ADC中，由余弦定理， 得cos∠CAD= (2)設∠BAC=α,則α=∠BAD－∠CAD. 因為cos∠CAD= ,cos∠BAD= 所以sin∠CAD=,悟·技法 1.綜合利用正、余弦定理求邊和角的步驟 (1)根據(jù)已知的邊和角畫出相應的圖形,并在圖中標出. (2)結合圖形選擇用正弦定理或余弦定理求解. 提醒:在運算和求解過程中注意三角恒等變換和三角形內角和定理的運用.,2.判斷三角形形狀的方法 若已知條件中有邊又有角,則 (1)化邊:通過因式分解、配方等得出邊的相應關系,從而判斷三角形的形狀. (2)化角:通過三角恒等變形,得出內角的關系,從而判斷三角形的形狀.此時要注意應用A+B+C=π這個結論.,通·一類 1.(2013·山東高考)△ABC的內角A,B,C的對邊分別是a,b,c, 若B=2A,a=1,b= ,則c=( ) A.2 B.2 C. D.1 【解析】選B.由B=2A,則sinB=sin2A,由正弦定理知 即 所以cosA= 所以A= B=2A= 所以C=π-B-A= ,所以c2=a2+b2=1+3=4,故c=2.,2.(2015·錦州模擬)在△ABC中,cos2 (a,b,c分別為角A,B, C的對邊),則△ABC的形狀為( ) A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】選B.因為cos2 , 所以2cos2 所以cosB= , 所以 所以c2=a2+b2. 所以△ABC為直角三角形.,3.(2015·開封模擬)如圖△ABC中，已知點 D在BC邊上，滿足 =0，sin∠BAC= AB=3 ,BD= (1)求AD的長. (2)求cos C.,【解析】(1)因為 所以AD⊥AC, 所以sin∠BAC=sin( +∠BAD)=cos∠BAD, 因為sin∠BAC= 所以cos∠BAD= 在△ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD, 即AD2-8AD+15=0, 解之得AD=5或AD=3. 由于AB＞AD,所以AD=3.,(2)在△ABD中，由正弦定理可知 又由cos∠BAD= 可知sin∠BAD= 所以sin∠ADB= 因為∠ADB=∠DAC+∠C,∠DAC= ,所以cos C=,規(guī)范解答4 正、余弦定理在三角形計算中的應用 【典例】(12分)(2014·天津高考)在△ABC中，內角A，B，C所對 的邊分別為a,b,c，已知a－c= b，sin B= sin C. (1)求cos A的值. (2)求cos(2A－ )的值.,解題導思 研讀信息 快速破題,規(guī)范解答 閱卷標準 體會規(guī)范 (1)在△ABC中，由 及sin B= sin C,可得b= c, ………………………………………………………………………2分 又由a-c= b,有a=2c. …………………………………………4分 所以cos A= ………………………………………………………………………7分,,(2)在△ABC中，由cos A= 可得sin A= ………………………………………………8分 于是，cos 2A=2cos2A-1= …………………………………9分 sin 2A=2sin A·cos A= …………………………………10分 所以，,,高考狀元 滿分心得 把握規(guī)則 爭取滿分 1.認真審題,把握變形的方向 認真審題,弄清已知條件和要求的值的關系,確定條件的變形方向是解答三角函數(shù)、解三角形問題的關鍵,如本題第(1)問求cosA的值,自然想到用余弦定理,由此確定化角為邊,找出邊的關系.,2.大膽書寫,爭取多得分 解答題不同于選擇、填空題,它是按步給分,故要善于把已知條件變形,在變形中探究解題思路,即使不能把問題全部解答完整,也要爭取多得幾分. 3.計算準確,爭取得滿分 (1)公式運用要準確,這是算對的前提. (2)算數(shù)要準確無誤,尤其注意正、負號的選擇,計算時要盡量利用學過的公式簡化計算過程,簡單了就不易算錯,要是算錯了結果,扣分是很重的.,