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第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性,最新考綱 1.結合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性．,知 識 梳 理 1．函數(shù)的奇偶性,f(－x)＝f(x),f(－x)＝－f(x),y軸,原點,2.奇(偶)函數(shù)的性質 (1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性 ，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性 (填“相同”、“相反”)． (2)在公共定義域內 ①兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是 ，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是 ． ②兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是 ． ③一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積函數(shù)是 ． (3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則f(0)＝0.,相同,相反,奇函數(shù),偶函數(shù),偶函數(shù),奇函數(shù),3.周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝ ，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中 的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．,f(x),存在一個最小,診 斷 自 測 1．思考辨析(在括號內打“√”或“×”) (1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)． ( ) (2)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點． ( ) (3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關于直線 x＝a對稱． ( ) (4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數(shù)． ( ),√,√,×,×,,,3．(2014·新課標全國Ⅰ卷)設函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是 ( ) A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù),解析 依題意得對任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函數(shù)，A錯；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，B錯；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝ －[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，C正確； |f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|， |f(x)g(x)|是偶函數(shù)，D錯． 答案 C,4．已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(2 015)等于 ( ) A．－2 B．2 C．－98 D．98 解析 ∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， ∴f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2， 即f(2 015)＝－2. 答案 A,5．(人教A必修1P39A6改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則x＜0時，f(x)＝________. 解析 當x＜0時，則－x＞0， ∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)． 答案 x(1－x),規(guī)律方法 判斷函數(shù)的奇偶性，包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．,,,規(guī)律方法 函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定義域上的性質．對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值．,,考點三 函數(shù)性質的綜合應用 【例3】 (1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則 ( ) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) (2)(2014·新課標全國Ⅱ卷)偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________.,解析 (1)∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則 f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)． 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)， 得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． ∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)， f(x)在R上是奇函數(shù)， ∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)， ∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．,(2)因為f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以f(x)＝f(4－x)， f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，則 f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3. 答案 (1)D (2)3,規(guī)律方法 比較不同區(qū)間內的自變量對應的函數(shù)值的大?。畬τ谂己瘮?shù)，如果兩個自變量的取值在關于原點對稱的兩個不同的單調區(qū)間上，即正負不統(tǒng)一，應利用圖象的對稱性將兩個值化歸到同一個單調區(qū)間，然后再根據(jù)單調性判斷．,,答案 C,答案 ①②④,[易錯防范] 1．在用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷時，要注意自變量在定義域內的任意性．不能因為個別值滿足f(－x)＝±f(x)，就確定函數(shù)的奇偶性． 2．分段函數(shù)奇偶性判定時，要以整體的觀點進行判斷，不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個定義域的奇偶性． 3．函數(shù)f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆.,