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第9講 函數(shù)模型及其應用,最新考綱 1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用．,知 識 梳 理 幾類函數(shù)模型及其增長差異 (1)幾類函數(shù)模型,(2)指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質比較,,遞增,遞增,y軸,x軸,,,診 斷 自 測 1．思考辨析(在括號內打“√”或“×”) (1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大． ( ) (2)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝abx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增長速度越來越快的形象比喻． ( ) (3)冪函數(shù)增長比直線增長更快． ( ) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．(√),×,×,×,2．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖象是 ( ),解析 小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，且距離學校越來越近，排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，排除B.故選C. 答案 C,,,,,5．(人教A必修1P104例5改編)某桶裝水經營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元，銷售單價與日均銷售量的關系如表所示： 請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個經營部為獲得最大利潤，定價應為________元．,解析 設在進價基礎上增加x元后，日均銷售利潤為y元， 日均銷售量為480－40(x－1)＝520－40x(桶)， 則y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200,0＜x＜13. 當x＝6.5時，y有最大值．所以只需將銷售單價定為11.5元，就可獲得最大的利潤． 答案 11.5,考點一 二次函數(shù)模型 【例1】 A，B兩城相距100 km，在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10 km.已知供電費用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度． (1)求x的取值范圍； (2)把月供電總費用y表示成x的函數(shù)； (3)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用y最少？,規(guī)律方法 在建立二次函數(shù)模型解決實際問題中的最優(yōu)問題時，一定要注意自變量的取值范圍，需根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域在坐標系中對應區(qū)間之間的位置關系討論求解．,【訓練1】 (2014·舟山高三檢測)某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是 ( ) A．10.5萬元 B．11萬元 C．43萬元 D．43.025萬元,,考點二 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型 【例2】 (2014·青島模擬)世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率是(參考數(shù)據(jù)lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017) ( ) A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8%,,規(guī)律方法 在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示．通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基礎數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式．解題時，往往用到對數(shù)運算，要注意與已知表格中給定的值對應求解．,【訓練2】 某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內，他的這支股票先經歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為 ( ) A．略有盈利 B．略有虧損 C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法判斷盈虧情況,解析 設該股民購這支股票的價格為a元，則經歷n次漲停后的價格為a(1＋10%)n＝a×1.1n元，經歷n次跌停后的價格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故該股民這支股票略有虧損． 答案 B,(1)當x∈[200,300]時，判斷該項目能否獲利．如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？ (2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？,規(guī)律方法 (1)很多實際問題中，變量間的關系不能用一個關系式給出，這時就需要構建分段函數(shù)模型，如出租車的票價與路程的函數(shù)就是分段函數(shù)．(2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導數(shù)法、函數(shù)的單調性等方法．在求分段函數(shù)的最值時，應先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值．,【訓練3】 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式； (2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時),[思想方法] 解函數(shù)應用問題的步驟(四步八字) (1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型； (2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型； (3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；,(4)還原：將數(shù)學結論還原為實際問題的意義． 以上過程用框圖表示如下：,[易錯防范] 1．解應用題思路的關鍵是審題，不僅要明白、理解問題講的是什么，還要特別注意一些關鍵的字眼(如“幾年后”與“第幾年后”)，學生常常由于讀題不謹慎而漏讀和錯讀，導致題目不會做或函數(shù)解析式寫錯，故建議復習時務必養(yǎng)成良好的審題習慣． 2．在解應用題建模后一定要注意定義域，建模的關鍵是注意尋找量與量之間的相互依賴關系． 3．解決完數(shù)學模型后，注意轉化為實際問題寫出總結答案.,