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第四節(jié) 隨機(jī)事件的概率,最新考綱展示 1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別． 2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式．,一、隨機(jī)事件及其概率和頻率 1．在相同條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有 ．我們把這個(gè)常數(shù)叫作隨機(jī)事件A的 ，記作 ． 2．頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機(jī)的，而 是一個(gè)確定的值，因此，人們用 來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大?。袝r(shí)也用 作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．,穩(wěn)定性,概率,P(A),概率,頻率,概率,二、事件的關(guān)系與運(yùn)算,三、概率的幾個(gè)基本性質(zhì) 1．概率的取值范圍： . 2．必然事件的概率：P(E)＝ . 3．不可能事件的概率：P(F)＝ . 4．互斥事件概率的加法公式 (1)如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝ ． (2)若事件B與事件A互為對(duì)立事件，則P(A)＝ ．,0≤P(A)≤1,1,0,P(A)＋P(B),1－P(B),1．易將概率與頻率混淆，頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)變化而變化，而概率是一個(gè)常數(shù)． 2．互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生，因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件．,一、隨機(jī)事件的概念 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)“物體在只受重力的作用下會(huì)自由下落”是必然事件．( ) (2)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個(gè)實(shí)根”是不可能事件．( ) 答案：(1)√ (2)√,2．從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則ba的概率是( ),答案：D,二、互斥事件與對(duì)立事件 3．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件．( ) (2)(2015年鄭州調(diào)研)從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中，任取一張，“抽取黑桃”與“抽取方塊”是對(duì)立事件．( ) 答案：(1)√ (2)×,4．(2014年長(zhǎng)沙調(diào)研)甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是對(duì)立事件，那么( ) A．甲是乙的充分但不必要條件 B．甲是乙的必要但不充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 解析：根據(jù)對(duì)立事件與互斥事件的關(guān)系知，甲是乙的必要但不充分條件． 答案：B,三、頻率與概率 5．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)(教材練習(xí)改編)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．( ),答案：(1)√ (2)√,答案：A,A．至多有一張移動(dòng)卡 B．恰有一張移動(dòng)卡 C．都不是移動(dòng)卡 D．至少有一張移動(dòng)卡,事件關(guān)系的判斷(自主探究),(2)一個(gè)均勻的正方體玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個(gè)玩具向上拋擲1次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3，事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4，則( ) A．A與B是互斥而非對(duì)立事件 B．A與B是對(duì)立事件 C．B與C是互斥而非對(duì)立事件 D．B與C是對(duì)立事件,(3)(2015年天津質(zhì)檢)某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，有下列四對(duì)事件： ①恰有1名男生和恰有兩名男生； ②至少有1名男生和至少有1名女生； ③至少有1名男生和全是男生； ④至少有1名男生和全是女生． 其中是互斥事件的為_(kāi)_______．,解析 (1)至多有一張移動(dòng)卡包含“一張移動(dòng)卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個(gè)事件，它是“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件，故選A. (2)根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的意義作答，A∩B＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3}，事件A，B不互斥也不對(duì)立；B∩C＝?，B∪C＝Ω，故事件B，C是對(duì)立事件． (3)①是互斥事件． 理由是：在所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)選出的是“1名男生和1名女生”，它與“恰有兩名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是一對(duì)互斥事件．,②不是互斥事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”兩種結(jié)果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”“兩名都是女生”兩種結(jié)果，當(dāng)事件“有1名男生和1名女生”發(fā)生時(shí)兩個(gè)事件都發(fā)生了． ③不是互斥事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”，這與“全是男生”可同時(shí)發(fā)生． ④是互斥事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”兩種結(jié)果，它與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生． 答案 (1)A (2)D (3)①④,規(guī)律方法 對(duì)互斥事件要把握住不能同時(shí)發(fā)生，而對(duì)于對(duì)立事件除不能同時(shí)發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，這些也可類比集合進(jìn)行理解，具體應(yīng)用時(shí)，可把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來(lái)，看所求事件包含哪幾個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系．,例2 (2013年高考湖南卷)某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收貨量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：,隨機(jī)事件的概率(師生共研),,這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米． (1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量：,(2)在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量至少為48 kg 的概率．,解析 (1)所種作物的總株數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株，列表如下：,1．假設(shè)甲、乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場(chǎng)上銷售量相等，為了解他們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：,,,(1)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率； (2)這兩種品牌產(chǎn)品中，某個(gè)產(chǎn)品已使用了200小時(shí)，試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率．,例3 (2015年青島模擬)2014年某省實(shí)施通過(guò)競(jìng)選選拔高校校長(zhǎng)，省委組織部擬選拔4位校長(zhǎng)，相關(guān)單位通過(guò)組織提名、領(lǐng)導(dǎo)干部個(gè)人提名、群眾聯(lián)合提名、自薦提名四種方式，確定初步人選為4位男競(jìng)選者和2位女競(jìng)選者，每位競(jìng)選者當(dāng)選校長(zhǎng)的機(jī)會(huì)是相同的． (1)求選拔的4位校長(zhǎng)中恰有1位女競(jìng)選者的概率； (2)求選拔的4位校長(zhǎng)中至少有3位男競(jìng)選者的概率．,互斥事件與對(duì)立事件的概率(師生共研),解析 (1)將4位男競(jìng)選者和2位女競(jìng)選者分別編號(hào)為1,2,3,4,5,6(其中1,2,3,4是男競(jìng)選者，5,6是女競(jìng)選者)，從6位競(jìng)選者中選拔4位的情況有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15種． 選拔的4位校長(zhǎng)中恰有1位女競(jìng)選者的情況有(1,2,3,5)，(1,2,4,5)，(1,3,4,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,6)，(1,3,4,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，共8種．,規(guī)律方法 求概率的關(guān)鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，求解時(shí)通常有兩種方法： (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率． (2)若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和事件時(shí)，需要分類太多，而其對(duì)立面的分類較少，可考慮利用對(duì)立事件的概率公式，即“正難則反”．,2．某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率； (3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．,