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第五章 數 列,第一節(jié) 數列的概念及簡單表示法,最新考綱展示 1．了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)． 2.了解數列是自變量為正整數的一類函數．,一、數列的有關概念 1．數列的定義 按照 排列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫作這個數列的 ．排在第一位的數稱為這個數列的第1項(通常也叫作_______)． 2．數列與函數的關系 (1)從函數觀點看，數列可以看成是以_____________________________為定義域的函數an＝f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列 ． (2)數列同函數一樣有解析法、圖象法、列表法三種表示方法．,一定順序,項,首項,函數值,正整數集N＋(或它的有限子集),二、數列的通項公式與遞推公式 1．數列的通項公式 如果數列{an}的第n項與 之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫作這個數列的通項公式． 2．數列的遞推公式 若一個數列{an}的首項a1確定，其余各項用an與an－1的關系式表示(如an＝2an－1＋1，n1)，則這個關系式就稱為數列的遞推公式．,序號n,,,,,1．數列是一種特殊的函數，即數列是一個定義在非零自然數集或其子集上的函數，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數值，就是數列．因此，在研究函數問題時既要注意函數方法的普遍性，又要考慮數列方法的特征性．,2．已知數列的前幾項，寫出數列的通項公式，主要從以下幾個方面來考慮： (1)符號用(－1)n或(－1)n＋1來調節(jié)，這是因為n和n＋1奇偶交錯． (2)分式形式的數列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子、分母的關系． (3)對于比較復雜的通項公式，要借助于等差數列、等比數列和其他方法來解決． (4)此類問題雖無固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察規(guī)律、類比已知數列、轉化成特殊數列(等差、等比)等方法．,答案：C,答案：C,3．已知數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝( ) A．1 B．9 C．10 D．55 解析：a10＝S10－S9＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1，故選A. 答案：A,4．已知數列{an}滿足{as t}＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，則a8＝________. 解析：令s＝t＝2，則a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，則a8＝a2×a4＝8. 答案：8,5．已知數列{an}的前n項和Sn＝3＋2n，則an＝________.,例1 (1)(2015年威海期末)若數列的前4項為1,0,1,0，則這個數列的通項公式不可能是( ),由數列的前幾項求數列的通項公式(自主探究),(2)(2014年廣東四校聯(lián)考)已知數列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，則a2 014的值為________．,答案 (1)D (2)1,規(guī)律方法 根據數列的前幾項求通項公式的方法： 主要是觀察項與序號的變化規(guī)律，采用不完全歸納推理完成．在歸納時注意： (1)分式中分子、分母的特征． (2)相鄰項的變化特征． (3)拆項后的特征：把數列的項分成變化的部分和不變的部分． (4)各項的符號特征． 若關系不明顯時，應將部分項作適當的變形，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸顯出來． 判斷一個式子是不是數列的通項公式，可通過代入檢驗數列前幾項，看是否滿足給出的式子．,例2 根據下列條件，確定數列{an}的通項公式： (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；,由遞推關系求通項公式(師生共研),(3)已知數列{an}滿足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2.,1．如果數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝an＋2n，則數列{an}的通項公式an＝________. 解析：∵an＋1＝an＋2n，∴an＋1－an＝2n. ∴a2－a1＝2×1； a3－a2＝2×2； …… an－an－1＝2×(n－1)(n≥2)． 以上各式相加，得： an－a1＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n2－n. ∴an＝n2－n＋a1＝n2－n＋2(n≥2)，a1＝2也適合． ∴an＝n2－n＋2. 答案：n2－n＋2,2．若數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2nan，則數列{an}的通項公式an＝________.,(1)求a2，a3； (2)求數列{an}的通項公式．,規(guī)律方法 已知Sn求an的一般步驟： (1)當n＝1時，由a1＝S1求a1的值． (2)當n≥2時，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表達式． (3)檢驗a1的值是否滿足(2)中的表達式，若不滿足，則分段表示an. (4)寫出an的完整表達式．,3．(2015年衡水調研)設數列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)設bn＝Sn－3n，求數列{bn}的通項公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍． 解析：(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n， 由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)， 即bn＋1＝2bn，b1＝S1－3＝a－3. 因此，所求通項公式為 bn＝b1·2n－1＝(a－3)2n－1，n∈N*.①,