高考數學一輪復習 幾何證明選講 第2課時 圓課件 理(選修4-1).ppt
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,,選考部分 選修系列4,1.會證圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質定理. 2.會證相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理. 3.了解平行投影的含義,通過圓柱與平面的位置關系,體會平行投影;證明平面與圓柱面的截面是橢圓(特殊情形是圓).,請注意 此部分為選考重點,廣東、全國卷Ⅰ等省多年均有考查.,1.圓周角定理 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的_____. 2.圓心角定理 圓心角的度數等于__________的度數. 推論1:同弧或等弧所對的______相等;同圓或等圓中相等的圓周角對的___也相等. 推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角對的弦是直徑.,一半,它所對的弧,圓周角,弧,3.圓內接四邊形性質定理 ①_____互補.②外角等于它的_______. 判定定理:如果一個四邊形的______互補,那么這個四邊形四個頂點共圓. 推論:如果四邊形的一個外角等于它的______,那么這個四邊形四個頂點共圓.,對角,內對角,對角,內對角,4.圓的切線 (1)切線判定定理:經過半徑外端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線. (2)切線性質定理:圓的切線____于經過切點的半徑. 推論1:經過圓心且垂直于切線的直線必過切點. 推論2:經過切點垂直于切線的直線必經過____. (3)弦切角定理:弦切角等于它所夾弧對的圓周角.,垂直,圓心,5.與圓有關的比例線段 (1)相交弦定理:圓的兩條相交弦被交點分成的兩條線段長的___相等. (2)割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的___相等. (3)切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓的交點的兩條線段長的________. (4)切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點連線平分___________.,積,積,比例中項,兩切線夾角,答案 A,,3.(2014·湖北理) 如圖,P為⊙O外一點,過P點作⊙O的兩條切線,切點分別為A,B.過PA的中點Q作割線交⊙O于C,D兩點.若QC=1,CD =3,則PB=________. 答案 4 解析 由題意知PA=PB.PA切⊙O于點A. 由切割線定理可得QA2=QC·QD=1×(1+3)=4. ∴QA=2,∴PA=2×2=4=PB.,,4.如右圖所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點,BC=3,過C作圓的切線l,過A作l的垂線AD,垂足為D,則∠DAC=________. 答案 30° 解析 由弦切角定理,可知∠DCA=∠B=60°.又AD⊥l,故∠DAC=30°.,,5.(2013·廣東理) 如圖,AB是圓O的直徑,點C在圓O上.延長BC到D使BC=CD,過C作圓O的切線交AD于E.若AB=6,ED=2,則BC=________.,,,6.如圖,AE是圓的切線,A是切點,AD⊥OE于點D,割線EC交圓于B,C兩點. (1)證明:O,D,B,C四點共圓; (2)設∠DBC=50°,∠ODC=30°,求∠OEC的大?。?答案 (1)略 (2)20°,,,(2)連接OB.因為∠OEC+∠OCB+∠COE=180°,結合(1)得∠OEC=180°-∠OCB-∠COE=180°-∠OBC-∠DBE=180°-∠OBC-(180°-∠DBC)=∠DBC-∠ODC=20°.,例1 已知⊙O是△ABC的外接圓,⊙I是△ABC的內切圓,∠A=80°,那么∠BOC=______,∠BIC=______.,題型一 圓周角與圓心角,,【答案】 160°,130° 探究1 (1)圓周角定理是一個十分重要的定理,涉及圓周角相等的結論很難用其他結論代替.由圓周角定理易知,同一條弧所對的圓心角是它所對的圓周角的2倍. (2)三角形的內心是內切圓的圓心,是三角形三條內角平分線的交點.,(1)如圖,點A,B,C是圓O上的點,且AB=4,∠ACB=30°,則圓O的面積等于________. 【解析】 連接AO,OB,因為∠ACB=30°,所以∠AOB=60°,△AOB為等邊三角形.故圓O的半徑r=OA=AB=4,圓O的面積S=πr2=16π. 【答案】 16π,思考題1,,(2)如圖,已知直線AB交⊙O于A,B兩點,點M在圓上,點P在圓外,且點M,P在AB的同側,∠AMB=35°,設∠APB=x,當點P移動時,x的變化范圍是________.,,【解析】 因為P在⊙O外,設AP與⊙O交于點E,連接BE,如圖,則∠AEB=∠AMB=35°.又∠AEB∠APB,所以∠APB0°,所以0°x35°. 【答案】 0°x35°,例2 如圖,BD是⊙O的直徑,E是⊙O上的一點,直線CE交BD的延長線于A點,BC⊥AE于C點,且∠CBE=∠DBE. 求證:AC是⊙O的切線.,題型二 圓的切線,,【證明】 連接OE,由OE=OB,得∠OEB=∠OBE. ∵∠CBE=∠DBE,∴∠CBE=∠OEB. ∴OE∥BC.又BC⊥AE,∴OE⊥AC. ∴AC是⊙O的切線. 【答案】 略,探究2 (1)過切點的半徑是一條重要的輔助線,凡涉及切線的問題都要注意應用,簡稱“見切點,連半徑”. (2)當兩圓相切時,過切點的公切線是重要輔助線,注意應用.,如圖,已知圓上的弧A=B,過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點,證明: (1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE×CD.,思考題2,,【答案】 略,例3 (1)如圖,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.以AB為直徑的圓O交AC于點E,點D是BC邊的中點,連接OD交圓O于點M. ①求證:O,B,D,E四點共圓; ②求證:2DE2=DM·AC+DM·AB.,題型三 圓內接四邊形與四點共圓,,【證明】 ①連接BE,則BE⊥EC. 又D是BC的中點, ∴DE=BD. 又∵OE=OB,OD=OD, ∴△ODE≌△ODB. ∴∠OBD=∠OED=90°. ∴O,B,D,E四點共圓.,,【答案】 略,(2)梯形ABCD內接于⊙O,AD∥BC,過B引⊙O的切線分別交DA,CA的延長線于E,F. ①求證:AB2=AE·BC; ②已知BC=8,CD=5,AF=6,求EF的長.,探究3 (1)證明四點共圓是高考??碱}型,常見的證明方法有:①定義法—到定點距離相等;②如果某兩點在一條線段的同側時,可證明兩點對該線段的張角相等;③證明凸四邊形的內對角互補(或外角等于它的內對角)等. (2)圓內接四邊形的性質定理是探求圓中角相等或互補關系的常用定理,使用時要注意觀察圖形,要弄清四邊形的外角和它的內對角的位置.其性質定理是溝通角的相等關系的重要依據,解題時要注意與圓周角定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系以及垂徑定理的聯(lián)系與綜合.,(1)如圖,在梯形ABCD中,AB∥DC,K,M分別在AD,BC上,∠DAM=∠CBK. 求證:∠DMA=∠CKB.,思考題3,,【答案】 略,(2)如右圖,已知AP是⊙O的切線,P為切點,AC是⊙O的割線,與⊙O交于B,C兩點,圓心O在∠PAC的內部,點M是BC的中點. ①證明:A,P,O,M四點共圓; ②求∠OAM+∠APM的大?。?,【解析】 ①連接OP,OM, 因為AP與⊙O相切于點P,所以OP⊥AP. 因為M是⊙O中弦BC的中點,所以OM⊥BC. 于是∠OPA+∠OMA=180°,由圓心O在∠PAC的內部,可知四邊形APOM的對角互補,所以A,P,O,M四點共圓.,②由①,得A,P,O,M四點共圓,所以∠OAM=∠OPM. 由①,得OP⊥AP. 由圓心O在∠PAC的內部,可知∠OPM+∠APM=90°,所以∠OAM+∠APM=90°. 【答案】 ①略 ②90°,例4 如圖,P是⊙O外一點,PA是切線,A為切點,割線PBC與⊙O相交于點B,C,PC=2PA,D為PC的中點,AD的延長線交⊙O于點E.證明: (1)BE=EC; (2)AD·DE=2PB2.,題型四 與圓有關的比例線段,,,,(2)由切割線定理,得PA2=PB·PC. 因為PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理,得AD·DE=BD·DC. 所以AD·DE=2PB2. 【答案】 略,探究4 相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理的聯(lián)系:從相交弦定理開始,相交弦定理可以利用相似三角形對應邊成比例證明,然后使兩弦的交點P從圓內移動到圓外得出割線定理,再將一條割線變?yōu)閳A的切線得出切割線定理,最后兩條割線都變?yōu)榍芯€得出切線長定理,充分體現了運動變化的思想.,如圖所示,⊙O1與⊙O2相交于A,B兩點,AB是⊙O2的直徑,過A點作⊙O1的切線交⊙O2于點E,并與BO1的延長線交于點P.PB分別與⊙O1,⊙O2交于C,D兩點.求證: (1)PA·PD=PE·PC; (2)AD=AE.,思考題4,,【思路】 應用切割線定理、弦切角定理等知識求解. 【證明】 (1)∵PAE,PDB分別是⊙O2的割線, ∴PA·PE=PD·PB.① 又∵PA,PCB分別是⊙O1的切線和割線, ∴PA2=PC·PB.② 由①②得PA·PD=PE·PC.,【答案】 (1)略 (2)略,1.圓內接四邊形的重要結論:內接于圓的平行四邊形是矩形;內接于圓的菱形是正方形;內接于圓的梯形是等腰梯形.應用這些性質可以大大簡化證明有關幾何題的推理過程. 2.圓的切線的性質定理及推論有如下結論:如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個:①垂直于切線;②過切點;③過圓心.于是在利用切線性質時,過切點的半徑是常作的輔助線.,3.判定切線通常有三種方法:①和圓有唯一一個公共點的直線是圓的切線;②到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線;③過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線. 4.與圓有關的比例線段證明要訣:圓冪定理是法寶,相似三角形中找訣竅,聯(lián)想射影定理分角線,輔助線來搭橋,第三比值作介紹,代數方法不可少,分析綜合要記牢,十有八九能見效.,- 配套講稿:
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