《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 第4課時 函數(shù)的奇偶性和周期性課件 理.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 第4課時 函數(shù)的奇偶性和周期性課件 理.ppt（65頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

,,第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù),1．了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，并能運用奇偶性的定義判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性． 2．掌握奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖像對稱關(guān)系，并能熟練地利用對稱性解決函數(shù)的綜合問題．,請注意 函數(shù)的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命題時主要是與函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)綜合在一起考查．而近幾年的高考中加大了對非三角函數(shù)的周期性和抽象函數(shù)的奇偶性、周期性的考查力度．,1．奇函數(shù)、偶函數(shù)、奇偶性 對于函數(shù)f(x)，其定義域關(guān)于原點對稱： (1)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有 ，那么函數(shù)f(x)就是奇函數(shù)； (2)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有 ，那么函數(shù)f(x)就是偶函數(shù)； (3)如果一個函數(shù)是奇函數(shù)(或偶函數(shù))，那么稱這個函數(shù)在其定義域內(nèi)具有奇偶性．,f(－x)＝－f(x),f(－x)＝f(x),2．證明函數(shù)奇偶性的方法步驟 (1)確定函數(shù)定義域關(guān)于 對稱； (2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，從而證得函數(shù)是奇(偶)函數(shù)．,原點,3．奇偶函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)圖像關(guān)于 對稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于 對稱； (2)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有意義，則f(0)＝ ； (3)若奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上分別單調(diào)，則其單調(diào)性 ； 若偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上分別單調(diào)，則其單調(diào)性 ． (4)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)＝f(|x|)，反之也成立．,y軸,0,一致,相反,原點,4．一些重要類型的奇偶函數(shù) (1)函數(shù)f(x)＝ax＋a－x為 函數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax－a－x為 函數(shù)；,偶,奇,奇,奇,奇,5．周期函數(shù) 若f(x)對于定義域中任意x均有 (T為不等于0的常數(shù))，則f(x)為周期函數(shù)． 6．函數(shù)的對稱性 若f(x)對于定義域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)f(x)關(guān)于 對稱．,f(x＋T)＝f(x),x＝a,1．判斷下列說法是否正確(打“√”或“×”)． (1)偶函數(shù)圖像不一定過原點，奇函數(shù)的圖像一定過原點． (2)函數(shù)f(x)＝0，x∈(0，＋∞)即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． (3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱． (4)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(b,0)中心對稱．,(6)若函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù)． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√,答案 D,3．(2014·新課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是( ) A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 答案 C 解析 利用函數(shù)奇偶性的定義求解．A項，令h(x)＝f(x)·g(x)，則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，A錯．,B項，令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝ |－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函數(shù)，B錯． C項，令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，C正確．D項，令h(x)＝|f(x)·g(x)|，則h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函數(shù)，D錯．,4．若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點一定在函數(shù)y＝f(x)圖像上的是( ) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a)) 答案 B 解析 ∵函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，∴f(－a)＝－f(a)． 即點(－a，－f(a))一定在函數(shù)y＝f(x)的圖像上．,答案 3,例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性，并證明． (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝x3＋x＋1； (3)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]； (4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；,題型一 判斷函數(shù)的奇偶性,【解析】 (3)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定義域不是關(guān)于原點對稱的區(qū)間，因此，f(x)是非奇非偶函數(shù)． (4)函數(shù)的定義域x∈(－∞，＋∞)，關(guān)于原點對稱． ∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， ∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函數(shù)．,【答案】 (1)奇函數(shù) (2)非奇非偶函數(shù) (3)非奇非偶 (4)奇函數(shù) (5)奇函數(shù) (6)偶函數(shù),探究1 判斷函數(shù)的奇偶性，一般有以下幾種方法： (1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱的區(qū)間，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的區(qū)間，再判斷f(－x)是否等于±f(x)． (2)圖像法：奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖像關(guān)于原點(或y軸)對稱． (3)性質(zhì)法：偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)．(注：利用上述結(jié)論時要注意各函數(shù)的定義域),判斷下列函數(shù)的奇偶性．,思考題1,(3)方法一：f(x)的定義域為R， 當(dāng)x＞0時，－x＜0， f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝f(x)． 當(dāng)x＝0時，f(0)＝0＝f(－0)． 當(dāng)x＜0時，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x＝f(x)． ∴對于x∈R總有f(－x)＝f(x)． ∴f(x)為偶函數(shù)．,方法二：當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－2x＝x2－2|x|. 當(dāng)x＜0時，f(x)＝x2＋2x＝x2－2|x|. ∴f(x)＝x2－2|x|. ∴f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)． ∴f(x)為偶函數(shù)． 【答案】 (1)奇函數(shù) (2)奇函數(shù) (3)偶函數(shù),例2 (1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域為R，x＞0時，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式為_______________________． (3)若函數(shù)f(x＋1)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸方程為__________．,題型二 奇偶性的應(yīng)用,【解析】 (1)∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)． 當(dāng)x＝0時，有f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0. 當(dāng)x＜0時，－x＞0. f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.,(3)∵f(x＋1)為偶函數(shù)， ∴函數(shù)g(x)＝f(x＋1)的圖像關(guān)于直線x＝0對稱． 又函數(shù)f(x)的圖像是由函數(shù)g(x)＝f(x＋1)的圖像向右平移一個單位而得到， ∴函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對稱．,探究2 奇偶函數(shù)的性質(zhì)主要體現(xiàn)在： (1)若f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)； 若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)． (2)奇偶函數(shù)的對稱性． (3)奇偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性．,(1)若函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是減函數(shù)，則滿足f(π)－π.即－πa0. 由上述兩種情況知a∈(－π，π)． 【答案】 (－π，π),思考題2,(2)若函數(shù)y＝f(x－2)為奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像的對稱中心為__________． 【解析】 ∵f(x－2)為奇函數(shù)， ∴f(x－2)的圖像的對稱中心為(0,0)． 又∵f(x)的圖像可由函數(shù)f(x－2)的圖像向左平移兩個單位而得， ∴f(x)的圖像的對稱中心為(－2,0)． 【答案】 (－2,0),例3 設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上滿足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在閉區(qū)間[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0. (1)證明：函數(shù)f(x)為周期函數(shù)； (2)試求方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－2 005,2 005]上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論． 【思路】 用周期函數(shù)的定義證明．,題型三 函數(shù)的周期性,(2)∵f(3)＝f(1)＝0, f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0，故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有兩個解． 從而可知函數(shù)y＝f(x)在[0,2 005]上有402個解， 在[－2 005,0]上有400個解， 所以函數(shù)y＝f(x)在[－2 005,2 005]上有802個解． 【答案】 (1)略 (2)802個,探究3 (1)證明函數(shù)是周期函數(shù)應(yīng)緊扣周期函數(shù)的定義． (2)若函數(shù)f(x)對任意x滿足f(x＋a)＝f(x＋b)，則f(x)為周期函數(shù)．若函數(shù)f(x)對任意x滿足f(x＋a)＝f(b－x)，則函數(shù)圖像為軸對稱圖形．,思考題3,∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由題意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5. 【答案】 2.5,(2)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足對任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且x∈[0,4]時，f(x)＝4－x，則f(2 015)的值為________． 【解析】 ∵f(4)＝0，∴f(x＋8)＝f(x)，∴T＝8. ∴f(2 015)＝f(7)＝f(－1)＝f(1)＝3. 【答案】 3,例4 已知f(x)為偶函數(shù)，且f(－1－x)＝f(1－x)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]時，f(x)的解析式． 【解析】 方法一：∵f(－1－x)＝f(1－x)， ∴f(x)＝f(2＋x)，∴f(x)為周期函數(shù)，T＝2. ∵f(x)為偶函數(shù)， ∴x∈[－1,0]時，－x∈[0,1]． f(x)＝f(－x)＝x＋1. ∴x∈[5,6]時，x－6∈[－1,0]．,f(x)＝f(x－6)＝(x－6)＋1＝x－5. x∈[6,7]時，x－6∈[0,1]． f(x)＝f(x－6)＝－(x－6)＋1＝－x＋7.,方法二：∵f(1－x)＝f(－1－x)， ∴T＝2.又∵f(x)是偶函數(shù)， ∴f(x)在R上的圖像如圖：,探究4 高考中對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值，以及解決與周期有關(guān)的函數(shù)綜合問題．解決此類問題的關(guān)鍵是充分利用題目提供的信息，找到函數(shù)的周期，利用周期在有定義的范圍上進(jìn)行求解．,設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2. (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； (2)當(dāng)x∈[2,4]時，求f(x)的解析式； (3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)． 【解析】 (1)∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．,思考題4,(2)當(dāng)x∈[－2,0]時，－x∈[0,2]，由已知得 f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. ∴f(x)＝x2＋2x. 又當(dāng)x∈[2,4]時，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 從而求得x∈[2,4]時，f(x)＝x2－6x＋8.,(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝ f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0. 【答案】 (1)略 (2)f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4] (3)0,常用結(jié)論記心中，快速解題特輕松： 1．(1)若f(x)定義域不對稱，則f(x)不具有奇偶性． (2)若f(x)為奇函數(shù)，且在x＝0處有定義，則f(0)＝0. (3)若f(x)為偶函數(shù)，則f(|x|)＝f(x)．,(2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則f(x)＋f(－x)為偶函數(shù)，f(x)－f(－x)為奇函數(shù)，f(x)·f(－x)為偶函數(shù)． 3．函數(shù)f(x)關(guān)于x＝a對稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(2a＋x)＝f(－x)?f(2a－x)＝f(x)． 4．(1)若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)周期T＝2a.,5．(1)若f(x)關(guān)于x＝a，x＝b都對稱，且ab，則f(x)是周期函數(shù)且T＝2(b－a)． (2)若f(x)關(guān)于(a,0)，(b,0)都對稱，且ab，則f(x)是周期函數(shù)，且T＝2(b－a)． (3)若f(x)關(guān)于(a,0)及x＝b都對稱，且ab，則f(x)是周期函數(shù)，且T＝4(b－a)．,1．對于定義在R上的任意奇函數(shù)f(x)，均有( ) A．f(x)－f(－x)0 B．f(x)－f(－x)≤0 C．f(x)·f(－x)0 D．f(x)·f(－x)≤0 答案 D 解析 ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)f(x)＝－f2(x)≤0.,2．下列函數(shù)中，不具有奇偶性的函數(shù)是( ) 答案 D,3．(2015·衡水調(diào)研卷)函數(shù)f(x)在定義域R上不是常數(shù)函數(shù)，且f(x)滿足：對任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(1＋x)＝－f(x)，則f(x)是( ) A．奇函數(shù)但非偶函數(shù) B．偶函數(shù)但非奇函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù) 答案 B,解析 依題意，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，所以f(－x＋2)＝f(－x)．又f(2＋x)＝f(2－x)，因此有f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函數(shù)；若f(x)是奇函數(shù)，則有f(－x)＝－f(x)＝f(x)，得f(x)＝0，這與“f(x)不是常數(shù)函數(shù)”相矛盾，因此f(x)是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)，選B.,答案 C,答案 ⑤,6．(2014·新課標(biāo)全國Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)0，則x的取值范圍是________． 答案 (－1,3) 解析 由題可知，當(dāng)－20.f(x－1)的圖像是由f(x)的圖像向右平移1個單位長度得到的，若f(x－1)0，則－1x3.,