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二、可分離變量的微分方程,則稱方程（1）為可分離變量的微分方程.,解法,一階微分方程的一般形式：,若方程（1）可以寫成如下形式：,變量分離,兩端積分,可以驗(yàn)證: (1.4)式為微分方程 (1) 的(隱式)通解.,注: 若題目只需求通解，則不必討論,例1,求微分方程,解,分離變量,兩端積分,,C,例2,求微分方程,解,分離變量,兩端積分,,C,注意到:當(dāng)C=0時(shí)即y=0也是方程的解,應(yīng)用: 衰變問(wèn)題: 放射性元素鈾不斷地放射出微粒子而變成其它元素,鈾的含量不斷減少,由物理學(xué)知識(shí),鈾的衰變速度與未衰變的原子的含量M成正比,已知t=0時(shí),鈾的含量為M0,求衰變過(guò)程中鈾含量M(t)隨t的變化規(guī)律,解,,變量分離,,兩端積分,,即,,,又,故,,,故,衰變規(guī)律為,練習(xí) 12.1第3題,增加一個(gè)條件:曲線過(guò)(2,3)點(diǎn),求曲線方程,,變量分離,兩端積分,,,,即,又,,練習(xí):12.2第3題,,,兩邊求導(dǎo)得:,,,變量分離,,注意:這里隱藏一個(gè)初始條件,利用變量代換求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解為,例6,變量代換是解方程的一種常用的手段,二、齊次方程,,,,,解法：,將其代入原式，得：,，即,,,,,這是一個(gè)關(guān)于變量u與x的可分離變量的方程；,然后，利用分離變量法求得,故,代入得：,,,,,進(jìn)行分離變量整理，并兩邊積分，,故所求通解為：,這是關(guān)于變量u與x的可分離變量方程，,得：,,,,,書上還有一個(gè)例子，自己可以練習(xí)練習(xí),求微分方程,，滿足初始條件 的特解,解： 方程可化為：,它是齊次方程。令,代入整理后，有,分離變量，則有,兩邊積分，得,即,代入上式，于是所求方程的通解為,把初始條件,代入上式，求出,，故所求方程的特解為,解：這是一個(gè)齊次方程。先將方程變形為,,,,,代入得：,這是關(guān)于變量u與x的可分離變量方程，,分離變量 ，并兩邊積分，得：,故,所以，原方程通解為 ：,,,,,五、小結(jié),本節(jié)主要內(nèi)容是：,1．齊次方程,,,,,或,判下列微分方程是否為一階線性微分方程：,一、一階線性微分方程及其解法,例1,在微分方程中，若未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是一次的，則稱其為一階線性微分方程。,1. 一階線性微分方程的定義,,,,（是）,（是）,2. 一階線性微分方程的一般式,3. 一階線性微分方程的分類,,當(dāng) 時(shí)，方程（1）稱為一階線性齊次微 分方程。,,當(dāng) 時(shí)，方程（1）稱為一階線性非齊次 微分方程。,,,,或,齊次線性方程的通解為：,1o 齊次線性方程：,求解法:,分離變量：,1. 常數(shù)變易法,2o 非齊次線性方程：,作變換,,可分離變量方程,積分得,一階非齊次線性微分方程(2.1)的通解為:,2. 常數(shù)變易公式,（2）一階線性非齊次微分方程,常數(shù)變易法,1）一般式,2）解法,3）通解公式,,,齊次的通解,非齊次的特解,,,,關(guān)于通解公式要注意：,,只表示某一個(gè)函數(shù),若 時(shí)，絕對(duì)值符號(hào)可不寫 即 特別注意： 而是,,,例1、求微分方程,的通解.,解法1（常數(shù)變易法） 原方程變形為 :,對(duì)應(yīng)的齊次方程為 ：,,得通解為,,設(shè)原方程的解為,從而,,代入原方程得,,化簡(jiǎn)得,兩邊積分，得,,所以，原方程的通解,解法2（用公式法）,把它們代入公式得,,,解,例2,則通解為,,,,解,練習(xí),則通解為,原方程變形為,其中,,,,解,(不)例4,通解：,因此方程滿足初始條件的特解為,,,,,(講)求以下方程在 下的特解,,,原方程可化為：,原方程通解為：,,,或,,求方程通解：,若化為：,,則不是一階線性的,而化為：,則是一階線性的,再見書上習(xí)題,解,例9,(方法1),一階非齊次線性方程,選擇題考點(diǎn) （間斷點(diǎn)，求旋轉(zhuǎn)體體積，求平面圖形面積，全微分，偏導(dǎo)數(shù)的幾意義，二重積分幾何意義，交換積分次序） 大題考點(diǎn) 1、求極限 2、隱函數(shù)求導(dǎo)（一個(gè)方程和方程組情形） 3、抽象函數(shù)求導(dǎo) 4、求極值 5、直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分 6、極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（或是化為極坐標(biāo)） 7、解齊次方程（令U=。。，轉(zhuǎn)化為U和X的方程） 8、解一階線性方程（用公式或常數(shù)變易法） 9、討論函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性，可導(dǎo)性，可微性,解,兩曲線的交點(diǎn),面積元素,選 為積分變量,,,例,畫草圖如右,,,,,,,注： ，即動(dòng)點(diǎn)P以任意方式即沿任意曲線趨向定 點(diǎn)P0時(shí)，都有f(P) A,,求二重極限方法類似一元函數(shù)的一些方法：等價(jià)無(wú)窮小替換；重要極限公式；無(wú)窮小的性質(zhì)；（恒等變形；利用連續(xù)性；夾逼準(zhǔn)則；換元；利用公式和運(yùn)算法則）,等價(jià)無(wú)窮小替換；,對(duì)于多元函數(shù)的極限要求不高，只要求會(huì)求些較簡(jiǎn)單的二重極限 注意：在多元函數(shù)中，洛必達(dá)法則不再適用，但如果通過(guò)換元后的一元函數(shù)照樣可用,或用重要公式 原式,無(wú)窮小的性質(zhì),設(shè),確定,,兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)：,,再對(duì)上式對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)：（按商的求導(dǎo)公式）,,對(duì)于一階偏導(dǎo)數(shù)，還可用公式法,例1,討論,(1) 連續(xù)；(2) 偏導(dǎo)數(shù)存在；(3) 可微.,解,(1),= 0 = f (0,0),(2),,(3),？,,,,,,則,例2,證,令,則,同理,故函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 處連續(xù) ;,下面證明：,可微 .,令,則,,注 此題表明, 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.,而非必要條件.,例1.,求函數(shù),解: 第一步 求駐點(diǎn).,得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .,第二步 判別.,在點(diǎn)(1,0) 處,為極小值;,解方程組,,,,的極值.,求二階偏導(dǎo)數(shù),,,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,在點(diǎn)(?3,0) 處,不是極值;,在點(diǎn)(?3,2) 處,為極大值.,在點(diǎn)(1,2) 處,不是極值;,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,重復(fù)是學(xué)習(xí)之母——弗萊格,世界上最快而又最慢，最長(zhǎng)而又最短，最平凡而又最珍貴，最容易被人忽視，而又最令人后悔的就是時(shí)間－－－－高爾基,謝謝大家對(duì)我的支持！ ！ 祝大家考試取得好成績(jī)！,因此方程滿足初始條件的特解為,二、一階線性微分方程的應(yīng)用,1. 分析問(wèn)題,設(shè)出所求未知函數(shù),確定初始條件。 2. 建立微分方程。 3. 確定方程類型,求其通解. 4. 代入初始條件求特解.,應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟:,,,,例5,解,設(shè)所求曲線方程為,從而,即,其中,則通解為,,,,因此所求曲線方程為,,,,設(shè)跳傘員開始跳傘后所受的空氣阻力于他下落的速度成正比(比例系數(shù) ，起跳時(shí)的速度為0，求下落的速度與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系。,例6,,,設(shè)速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為：,解,由牛頓第二定律知：,,即,其中,則通解為,,,,,因此所求速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為,,,,三、小結(jié),1. 一階線性齊次微分方程,2. 一階線性非齊次微分方程,（1）一般式,（2）通解公式,（1）一般式,（2）通解公式,,,,