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3.5.2 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,1,求z=2x+y的最大值，使式中的x,y 滿足約束條件,2,一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束 條件下的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為 線性規(guī)劃問題,滿足線性規(guī)劃條件的解(x,y)叫做可行解 由所有可行解組成的集合叫做可行域,滿足條件的可行解叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解,定義,由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式 （或方程）組，它是對(duì)x,y的約束條件，稱為 線性約束條件,z=Ax+By是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的 變量x,y的解析式，叫做目標(biāo)函數(shù).由于z=Ax+By 是x,y的一次解析式,所以又叫做線性目標(biāo)函數(shù).,3,問題 某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品都需要兩種原料。生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1工時(shí)需要A種原料3kg，B種原料1kg;生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1工時(shí)需要A種原料2kg，B種原料2kg?，F(xiàn)有A種原料1200kg， B種原料800kg。如果生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每工時(shí)的平均利潤(rùn)是30元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每工時(shí)的平均利潤(rùn)是40元，問甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少工時(shí)能使利潤(rùn)總額最大？最大利潤(rùn)是多少？,4,解：依題意可列表如下,5,設(shè)計(jì)劃生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x工時(shí)，乙甲種產(chǎn)品y工時(shí),則獲得利潤(rùn)總額為：,F=30x+40y ⑴,其中x、y滿足下列條件,令30x+40y=0，記作,6,如圖在可行域內(nèi)B點(diǎn)為最優(yōu)解,B(200,300),,,,,４００,６００,４００,８００,A,B,C,,7,,代入式子⑴Ⅰ得,答：用200工時(shí)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品，用300工時(shí)生產(chǎn)乙種產(chǎn)品，能獲得利潤(rùn)18000元，此時(shí)利潤(rùn)總額最大。,8,例3、A，B兩個(gè)居民小區(qū)的居委會(huì)組織本小區(qū)的中學(xué)生，利用雙休日去市郊的敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)，兩個(gè)小區(qū)都有同學(xué)參加。已知A區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是3元，每人可為5位老人服務(wù)；B區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是5元，每人可為3位老人服務(wù)。如果要求B區(qū)參與活動(dòng)的同學(xué)比A區(qū)的同學(xué)多，且去敬老院的往返車費(fèi)不超過37元，怎樣安排A，B兩區(qū)參與活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)，才能使受到服務(wù)的老人多？受到服務(wù)的老人最多是多少？,9,解：設(shè)A,B兩區(qū)參與活動(dòng)的人數(shù)分別為x,y,受到服務(wù)的老人的人數(shù)為z，則,應(yīng)滿足的約束條件是,即,10,o,,,,,11,根據(jù)不等式組，作出可行域內(nèi)的整點(diǎn)（如圖）M點(diǎn)為最優(yōu)解。,解方程組,當(dāng)x=4,y=5時(shí),答：A，B兩區(qū)參與活動(dòng)的同學(xué)人數(shù)分別為4，5時(shí)，才能使受到服務(wù)的老人最多。受到服務(wù)的老人最多是多為35人。,12,,練習(xí)1：求z=2x+y的最大值，使式中的x,y 滿足約束條件,,13,設(shè) z=2x+y，式中變量 x,y 滿足下列條件,，求 z 的最大值和最小值,14,15,,,,,,,,,l0,l1,l,l2,,,A(5,2),B(1,1),作直線l0:2x+y=0,作一組與l0平行的直線 l:2x+y=t,以經(jīng)過點(diǎn)A的直線l2 所對(duì)應(yīng)的t最大,以經(jīng)過點(diǎn)B的直線l1 所對(duì)應(yīng)的t最小,x,y,o,16,?zmax=2×5+2=12,zmin=2×1+1=3,17,例１．下表給出甲，乙，丙三種食物中的維生素A,B的含量及單價(jià)：,營(yíng)養(yǎng)師想購(gòu)買這三種食物共１０千克，使它們所含的維生素A不少于４４００單位，維生素B不少于４８００單位，而且要使付出的金額最低，這三種食物應(yīng)各購(gòu)買多少千克？,18,解：設(shè)購(gòu)買甲種食物x千克，乙種食物y千克，則購(gòu)買丙種食物(10-x-y)千克．又設(shè)總支出為z元，依題意得z=7x+6y+5(10-x-y), 化簡(jiǎn)得z=2x+y+50.,x,y應(yīng)滿足的約束條件,,19,,,,,,,Y=2,M,化簡(jiǎn)得,根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示．,,20,解方程組,得點(diǎn)M(3,2),因此，當(dāng)x=3.y=2時(shí)，z取得最小值為,答：購(gòu)買甲種食物３千克，乙種食物２千克，丙種食物５千克時(shí)，付出的金額為５８千克．,21,例2某貨運(yùn)公司擬用集裝箱托運(yùn)甲，乙兩種貨物，一個(gè)大集裝箱能夠裝所托運(yùn)貨物的總體積不能超過24立方米，總重量不能低于650千克。甲，乙兩種貨物每袋的體積，重量和可獲得的利潤(rùn)，列表如下：,,,問；在一個(gè)大集裝箱內(nèi)，這兩種貨物各裝多少袋（不一定都是整袋）時(shí)，可獲得最大例潤(rùn)？,22,解：設(shè)托運(yùn)甲種貨物x袋，乙種貨物y袋．獲得利潤(rùn)z百元，則z=20x+10y,,依題意，可得關(guān)于x,y的約束條件,根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示。,23,,記,:20x+10y=0,即2x+y=0,,,,,,M,24,解方程組,得點(diǎn)M(4,1),因此當(dāng)x=4,y=1時(shí)，z取得最大值。此時(shí),答：裝甲種貨物4袋，乙種貨物1袋， 可獲得最大利潤(rùn)9000元,25,,,練習(xí)2：求z=5y-3x的最大值和最小值，使式 中的x,y滿足約束條件,,,zmin=3×(-2)+5 ×(-1)= -11,zmax=3× +5 × =,,,26,,練習(xí)3：求z=x+3y的最大值，使式中的x,y滿 足約束條件,?zmax=3+3×6=21,A(3,6),,,27,練習(xí)4：,28,點(diǎn)(p,q)在陰影表示 的平面區(qū)域內(nèi),29,,(2000，上海),圖中陰影部分的點(diǎn)滿足不等式組,在這些點(diǎn)中，使目標(biāo)函數(shù)k=6x+8y取得最大值 的點(diǎn)的坐標(biāo)是,,,,5,3,(1,4),30,31,