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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)‘教案 北師大版選修2-1 ◆ 知識與技能目標(biāo) 了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點的概念；掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、會用橢圓的定義解決實際問題；通過例題了解橢圓的第二定義，準(zhǔn)線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)初步了解橢圓的第二定義． ◆ 過程與方法目標(biāo) （1）復(fù)習(xí)與引入過程 引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)由函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)或其圖像的特點，在本節(jié)中不僅要注意通過對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，而且還注意對這種研究方法的培養(yǎng)．①由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負實數(shù)的概念能得到橢圓的范圍；②由方程的性質(zhì)得到橢圓的對稱性；③先定義圓錐曲線頂點的概念，容易得出橢圓的頂點的坐標(biāo)及長軸、短軸的概念；④通過P48的思考問題，探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率．〖板書〗2．1．2橢圓的簡單幾何性質(zhì)． （2）新課講授過程 （i）通過復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，知道對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來研究橢圓的幾何性質(zhì)． 提問：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？ 通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì)． （ii）橢圓的簡單幾何性質(zhì) ①范圍：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，進一步得：，同理可得：，即橢圓位于直線和所圍成的矩形框圖里； ②對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心； ③頂點：先給出圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點．因此橢圓有四個頂點，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸； ④離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率（），； ． （iii）例題講解與引申、擴展 例4 求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo)． 分析：由橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出．引導(dǎo)學(xué)生用橢圓的長軸、短軸、離心率、焦點和頂點的定義即可求相關(guān)量． 擴展：已知橢圓的離心率為，求的值． 解法剖析：依題意，，但橢圓的焦點位置沒有確定，應(yīng)分類討論：①當(dāng)焦點在軸上，即時，有，∴，得；②當(dāng)焦點在軸上，即時，有，∴． 例5 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分．過對對稱的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于另一個焦點上，由橢圓一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點．已知，，．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求截口所在橢圓的方程． 解法剖析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，算出的值；此題應(yīng)注意兩點：①注意建立直角坐標(biāo)系的兩個原則；②關(guān)于的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定． 引申：如圖所示， “神舟”截人飛船發(fā)射升空，進入預(yù)定軌道開始巡天飛行，其軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距地面，遠地點距地面，已知地球的半徑．建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出橢圓的軌跡方程． 例6如圖，設(shè)與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點的軌跡方程． 分析：若設(shè)點，則，到直線：的距離，則容易得點的軌跡方程． 引申：（用《幾何畫板》探究）若點與定點的距離和它到定直線：的距離比是常數(shù)，則點的軌跡方程是橢圓．其中定點是焦點，定直線：相應(yīng)于的準(zhǔn)線；由橢圓的對稱性，另一焦點，相應(yīng)于的準(zhǔn)線：． ◆ 情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo) 在合作、互動的教學(xué)氛圍中，通過師生之間、學(xué)生之間的交流、合作、互動實現(xiàn)共同探究，教學(xué)相長的教學(xué)活動情境，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神、審美觀和科學(xué)世界觀，激勵學(xué)生創(chuàng)新．必須讓學(xué)生認同和掌握：橢圓的簡單幾何性質(zhì)，能由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程能直接得到橢圓的范圍、對稱性、頂點和離心率；必須讓學(xué)生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個原則，①充分利用圖形對稱性，②注意圖形的特殊性和一般性；必須讓學(xué)生認同與熟悉：取近似值的兩個原則：①實際問題可以近似計算，也可以不近似計算，②要求近似計算的一定要按要求進行計算，并按精確度要求進行，沒有作說明的按給定的有關(guān)量的有效數(shù)字處理；讓學(xué)生參與并掌握利用信息技術(shù)探究點的軌跡問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和掌握利用先進教學(xué)輔助手段的技能． ◆能力目標(biāo) （1） 分析與解決問題的能力：通過學(xué)生的積極參與和積極探究,培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力． （2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考；培養(yǎng)學(xué)生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力． （3） 實踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力． （4） 創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑．