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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 《平面向量的分解定理》教案 滬教版 一、教學(xué)目標(biāo) 1．理解和掌握平面向量的分解定理； 2．掌握平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不平行向量來表示；掌握基的概念，并能夠用基表示平面內(nèi)的向量； 3．根據(jù)學(xué)生已有的物理知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在熟悉的問題情景中，體會(huì)研究向量分解的必要性。 4．經(jīng)歷平面向量分解定理的探求過程，培養(yǎng)觀察能力、抽象概括能力、體會(huì)化歸思想。 二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) ：平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程；分解唯一性的說明。 三、教學(xué)過程設(shè)計(jì) （一）、 設(shè)置情景，引入課題 （1）觀察 前面我們學(xué)過向量的加法，知道兩個(gè)向量可以合成一個(gè)向量，反過來，一個(gè)向量是否可以分解成兩個(gè)向量呢？ 下面讓我們來看一個(gè)實(shí)例： 實(shí)例：一盞電燈，可以由電線CO吊在天花板上，也可以由電線OA和繩BO拉住.CO所受的力F與電燈重力平衡，拉力F可以分解為AO與BO所受的拉力F1和 F2 . 思考：從這個(gè)實(shí)例我們看到了什么？ 答：一個(gè)向量可以分成兩個(gè)不同方向的向量. （2）復(fù)習(xí)正交分解，并抽象為數(shù)學(xué)模型 （二）、探索探究，主動(dòng)建構(gòu) 概括討論，提出新問題： 如果向量是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，是該平面內(nèi)的一個(gè)非零向量，是否能用向量表示向量？ 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)： (1)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生探究：給定平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，對(duì)于給定的非零向量是否能分解成方向上的兩個(gè)向量，且分解是否是唯一的？ (2)實(shí)驗(yàn)步驟： a.以四位同學(xué)為一組，給每一位同學(xué)一個(gè)圖，上面有兩個(gè)不平行向量和； b.每個(gè)同學(xué)先獨(dú)立作圖； c.小組對(duì)照，比較所分解的兩向量的長(zhǎng)度和方向是否相同.并得出結(jié)論. (3)實(shí)驗(yàn)報(bào)告：(由學(xué)生發(fā)言)可以分解，且分解的長(zhǎng)度和方向唯一的. 師：既然可以分解并且是唯一的，能不能用數(shù)學(xué)式子把和的關(guān)系表示出來？ 生：是不平行向量，是平面內(nèi)給定的向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O （1）作； （2）過C作平行于直線OB的平行線與直線OA相交于點(diǎn)M； （3）過C作平行于直線OA的平行線與直線OB相交于點(diǎn)N； （4）四邊形為平行四邊形，由向量平行的充要條件可知存在實(shí)數(shù)，使得，，則. 對(duì)于給定的向量可以唯一分解成給定的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于任意的向量是否也可以得到同樣的結(jié)論呢？下面讓我們來做一個(gè)實(shí)驗(yàn). 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)： (1)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^幾何畫板向量分解動(dòng)畫，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)于任意向量都可以分解成給定的兩個(gè)不平行向量，且分解是唯一的. (2)實(shí)驗(yàn)步驟： a.利用幾何畫板畫出兩個(gè)不平行向量，畫出一個(gè)任意向量(該向量可以任意拖動(dòng)終點(diǎn)來改變)； b.學(xué)生從拖動(dòng)中體會(huì)其向量的任意性.（一些特殊位置，，） (3)實(shí)驗(yàn)報(bào)告： 3．探究結(jié)果 幾何角度：平面內(nèi)的任一向量都可以表示為給定的兩個(gè)不平行向量的線性組合，即，且分解是唯一的. 代數(shù)角度：說明唯一性： 說明：（1）當(dāng)時(shí)， （2）當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則有 = .由于不平行，故，即. 4．概括得出定理 平面向量分解定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使. 我們把不平行的向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基. 注意（1）基底不共線； （2）將任一向量在給出基底、的條件下進(jìn)行分解； （3）基底給定時(shí)，分解形式唯一，是被，，唯一確定的數(shù)量 （通過實(shí)驗(yàn)的制作，學(xué)生的動(dòng)手作圖能力得到提高，通過學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的討論，學(xué)生的抽象概括能力，語言表達(dá)能力得到訓(xùn)練.） （三）．例題分析 例1（教材P66．例2）如圖：平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，且 ，分別用表示和. 解： 在平行四邊形ABCD中， ， 注：（1）把作為一組基，用向量表示平面內(nèi)的任何一個(gè)向量 （2）平行四邊形法則簡(jiǎn)化為三角形法則。 練習(xí)：學(xué)生完成教材后面練習(xí)P67 （2思考：由例1和練習(xí)（2）平行四邊形ABCD中還有哪些線段可以作為一組基？哪些線段不可以作為一組基？為什么？ 思考題（教材P67．例 3）已知是不平行的兩個(gè)向量，是實(shí)數(shù)，且，用表示. 解： （四）、課堂小結(jié)：（1）平面向量的分解定理. 對(duì)分解定理的理解：基底為兩個(gè)不平行向量，向量的任意性，實(shí)數(shù)對(duì)的存在性和唯一性； （2）從基的角度認(rèn)識(shí)幾何圖形。 （五）、作業(yè)布置 《練習(xí)冊(cè)》P37 A組3，4 ，5 B組2，3