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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 點(diǎn)到直線的距離教案 新人教A版必修2 　　一、教材分析 1．教學(xué)內(nèi)容 《點(diǎn)到直線的距離》是全日制普通高級中學(xué)教科書（必修人民教育出版社）第二冊（上），“7．3兩條直線的位置關(guān)系”的第四節(jié)課，主要內(nèi)容是點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程和公式應(yīng)用． 2．地位與作用 本節(jié)對“點(diǎn)到直線的距離”的認(rèn)識，是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了高中解析幾何的定量計算，其學(xué)習(xí)平臺是學(xué)生已掌握了直線傾斜角、斜率、直線方程和兩條直線的位置關(guān)系等相關(guān)知識．對本節(jié)的研究，為以后直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，奠定了基礎(chǔ)，具有承上啟下的重要作用． 　　二、目標(biāo)分析 １．學(xué)情分析 　 我校高二年級學(xué)生已掌握了三角函數(shù)、平面向量等有關(guān)知識，具備了一定的利用代數(shù)方法研究幾何問題的能力．我班學(xué)生基礎(chǔ)知識比較扎實(shí)、思維較活躍，但處理抽象問題的能力還有待進(jìn)一步提高． ２．教學(xué)目標(biāo) 根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念以及前面對教材、學(xué)情的分析，我制定了如下教學(xué)目標(biāo)． 【知識技能】 ⑴ 理解點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程； ⑵ 掌握點(diǎn)到直線的距離公式； ⑶ 掌握點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用． 【數(shù)學(xué)思考】 ⑴ 通過探索點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程，滲透算法的思想； ⑵ 通過自學(xué)教材上利用直角三角形的面積公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力； ⑶ 通過靈活運(yùn)用公式的過程，提高學(xué)生類比化歸、數(shù)形結(jié)合的能力． 【解決問題】 由探索點(diǎn)到直線的距離，推廣到探索點(diǎn)到直線的距離的過程中，使學(xué)生體會由特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)研究方法，并使學(xué)生在經(jīng)歷反饋練習(xí)的過程中，進(jìn)一步提高靈活運(yùn)用公式，解決問題的能力． 【情感態(tài)度】 結(jié)合現(xiàn)實(shí)模型，將教材知識和實(shí)際生活聯(lián)系起來，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣． ３．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 　為更好地完成教學(xué)目標(biāo)，本課教學(xué)重點(diǎn)設(shè)置為： 【重點(diǎn)】 ⑴ 點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路分析； ⑵ 點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用． 【難點(diǎn)】 點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路和算法分析． 【難點(diǎn)突破】 本課在設(shè)計上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略．利用類比歸納的思想，由淺入深，讓學(xué)生自主探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同算法思路．同時，借助于多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，并通過逐步深入的課堂練習(xí)，師生互動、講練結(jié)合，從而突出重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)． 　　三、教學(xué)方法 根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、認(rèn)知特點(diǎn)，本課采用類比發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式．從學(xué)生熟知的實(shí)際生活背景出發(fā)，通過由特殊到一般、從具體到抽象的課堂教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生探索點(diǎn)到直線的距離的求法．讓學(xué)生在合作交流、共同探討的氛圍中，認(rèn)識公式的推導(dǎo)過程及知識的運(yùn)用，進(jìn)一步提高學(xué)生幾何問題代數(shù)化的數(shù)學(xué)能力． 　　四、過程設(shè)計 結(jié)合教材知識內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，本課分為以下四個教學(xué)環(huán)節(jié)． 　 　環(huán)節(jié)１　創(chuàng)設(shè)情境 在教學(xué)環(huán)節(jié)1中，以學(xué)生熟知的地質(zhì)勘探、鐵軌寬度、人離高壓電線的安全距離等生活圖片的欣賞，以及一個具體實(shí)例：當(dāng)火車在高速行駛時，如果旅客離鐵軌中心的距離小于的安全距離時，就可能被吸入車輪下而發(fā)生危險．創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生直觀感受幾何要素——“點(diǎn)到直線的距離”，從而有效調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣． （設(shè)計意圖：以學(xué)生熟悉的實(shí)際生活為教學(xué)背景，引入新課，有效調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．） 那么“應(yīng)該如何求點(diǎn)到直線的距離呢？”帶著這個問題，教學(xué)進(jìn)入環(huán)節(jié)2． 　　環(huán)節(jié)２　點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程 首先，由學(xué)生回答，初中有關(guān)“點(diǎn)到直線的距離”的定義：過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離． （設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，為新課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)．） 接著，師生共同探討如何求點(diǎn)到直線的距離．由于點(diǎn)和直線處在一般位置，所以公式的推導(dǎo)過程含有字母運(yùn)算，比較抽象．為幫助學(xué)生更好地理解，可以補(bǔ)充兩個由淺入深的具體問題，為后面推廣到一般情況作好鋪墊． 　　問題1 如何求點(diǎn)到直線的距離？ 補(bǔ)充的問題1，由于點(diǎn)和直線的位置非常特殊，所以學(xué)生容易回答，應(yīng)該鼓勵學(xué)生利用多種解法解決本問． 方法① 利用定義 由于本課之前，學(xué)生已掌握了兩條直線交點(diǎn)的求法等知識，所以容易通過定義，將點(diǎn)到直線的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)、垂足兩點(diǎn)之間距離來解決． 解：過點(diǎn)作的垂線，設(shè)垂足為 方法② 利用直角三角形的面積公式 結(jié)合圖形，學(xué)生也能利用面積構(gòu)造法來解決，這一方法的難點(diǎn)是如何添作輔助線．教學(xué)時給予提示：由垂直條件，可以聯(lián)想到三角形的高或直角三角形等相關(guān)知識． 解：過點(diǎn)作的垂線，交點(diǎn)為點(diǎn)在Rt 方法③ 利用三角函數(shù) 根據(jù)定義作出圖象后，由于涉及到Rt和直線傾斜角，學(xué)生容易聯(lián)想利用三角函數(shù)知識解決問題． 解：過點(diǎn)作的垂線，垂足為 方法④ 利用函數(shù)的思想 在初中，學(xué)生已初步認(rèn)識了點(diǎn)到直線的距離的幾何特征：連接直線外一點(diǎn)與直線上任意點(diǎn)，所得線段中垂線段最短．以此為背景，學(xué)生可能通過函數(shù)的思想來解決． 解：設(shè)直線上的點(diǎn)，則 當(dāng)時，取得等號，即此時點(diǎn) 對于問題1，學(xué)生可能提供的解法不完全，我要引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)充完整．改變點(diǎn)和直線的位置，引出補(bǔ)充問題2． 　　問題2 如何求點(diǎn)到直線的距離？ 組織學(xué)生類比問題1，獨(dú)立思考本問的解決方法．在課堂上只要求學(xué)生說明解法思路，而不要求解題過程． （設(shè)計意圖：為了推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，學(xué)生會面臨比較抽象的字母運(yùn)算．通過補(bǔ)充兩個由淺入深的具體問題，使學(xué)生能夠類比思考，解決當(dāng)點(diǎn)和直線處在一般位置時，點(diǎn)到直線的距離的求法．） 在解決問題1、2的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)和直線的位置推廣到一般情況，進(jìn)一步提出問題3． 　　問題3 如何求點(diǎn)到直線（）的距離？ 方法① 利用定義的推導(dǎo)方法 通過前面兩個補(bǔ)充問題，學(xué)生已經(jīng)積累了一些求點(diǎn)到直線距離的經(jīng)驗(yàn)和方法，學(xué)生可能會類比考慮利用定義，將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與垂足，兩點(diǎn)之間距離來處理．這種方法雖然思路自然，但運(yùn)算較繁瑣，所以只要求學(xué)生結(jié)合教材，說明算法步驟、明確算法框圖，而不要求推導(dǎo)過程．盡管在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已掌握了兩條直線垂直的充要條件，但學(xué)生仍然可能忽略，這一前提條件，而直接得到與垂直直線的斜率為．我要加以糾正，并強(qiáng)調(diào)對于的特殊情況，可以結(jié)合圖象直接得出結(jié)論，所以在算法中暫不考慮． 方法② 利用直角三角形的面積公式的的推導(dǎo)方法 學(xué)生也可能類比補(bǔ)充問題1、2中，添作輔助線的方式，構(gòu)造直角三角形，通過面積構(gòu)造法解決問題．對于這種方法，由于教材已經(jīng)給出了推導(dǎo)過程，所以學(xué)生代表可以只說明算法步驟．與傳統(tǒng)教材相比，新教材更關(guān)注學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，淡化形式、注重實(shí)質(zhì)．由于新教材刪減了一些同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，所以舊教材利用三角函數(shù)的方法推導(dǎo)公式就顯得繁雜，教科書選擇的借助直角三角形的面積公式推導(dǎo)公式的方法，簡潔、明了．所以，可以讓學(xué)生根據(jù)算法框圖，自學(xué)教材的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力．在此過程中，應(yīng)該提醒學(xué)生注意Rt三邊邊長的求法． 方法③ 利用平面向量的推導(dǎo)方法 由于在前面直線方程的學(xué)習(xí)中，教材引入了直線方向向量的概念，并運(yùn)用了向量的有關(guān)知識討論直線的一些問題．所以我班部分思維能力較強(qiáng)的學(xué)生，可能會提出利用向量知識推導(dǎo)公式，我要給予肯定．盡管這種方法具有一定難度，但根據(jù)我班學(xué)生思維能力較強(qiáng)的特點(diǎn)，可以先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)向量有關(guān)知識，使學(xué)生明確向量數(shù)量積的兩種表示方式及其幾何意義，再結(jié)合圖象，師生互動，共同討論得出，利用向量數(shù)量積推導(dǎo)公式的算法步驟、算法框圖．在這一過程中，學(xué)生可能會遇到，無法表示與直線垂直的向量的坐標(biāo)的困難，我給予提示：可以借助于，向量與直線的方向向量互相垂直的充要條件來解決．對于這種方法的具體推導(dǎo)過程，要求學(xué)生課后，在自學(xué)教材閱讀材料“向量與直線”的基礎(chǔ)上，作為思考作業(yè)完成．這種利用向量的算法，為今后在立體幾何中，利用這種方法得到點(diǎn)到平面的距離公式奠定了基礎(chǔ)． （設(shè)計意圖：在點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程中，通過問題獲得知識，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題——提出問題——解決問題”的過程，使學(xué)生感受到用坐標(biāo)的方法研究幾何問題是一種重要的數(shù)學(xué)方法．由于點(diǎn)和直線處在一般位置，所以公式的推導(dǎo)中會涉及字母運(yùn)算，比較抽象．為幫助學(xué)生理清思路，在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)了算法的思想，讓學(xué)生在明確算法步驟和算法框圖的前提下，再進(jìn)行有效的公式證明和自學(xué)閱讀．） 點(diǎn)到直線的距離公式 點(diǎn)到直線（其中）的距離 在學(xué)生通過多種方法推導(dǎo)得出公式后，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)公式的形式特點(diǎn)，記憶公式．同時強(qiáng)調(diào)：當(dāng)時，公式仍然適用，也可以結(jié)合圖象直接求出結(jié)論． 在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生利用公式計算補(bǔ)充問題1、2，并與前面的計算結(jié)果進(jìn)行比較，前后呼應(yīng)，使學(xué)生體會運(yùn)用公式計算的簡便性．點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用是本課的一個重點(diǎn)，為了強(qiáng)化學(xué)生對公式的記憶和運(yùn)用，教學(xué)進(jìn)入環(huán)節(jié)3． 　　環(huán)節(jié)３　點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用 在本環(huán)節(jié)，我安排了三個典型例題．其中例1是引用教材，由于例題中所給直線的方程已經(jīng)是一般式，所以學(xué)生容易忽略運(yùn)用公式的前提：首先應(yīng)將直線方程化為一般式，在確定了系數(shù)的值之后，再代入公式進(jìn)行計算．這一點(diǎn)對于直線方程中含參數(shù)的問題尤為重要．為了強(qiáng)調(diào)運(yùn)用公式的這一前提條件，我在例1中補(bǔ)充設(shè)置了⑶、⑷兩個小問． 例1 求點(diǎn)到下列直線的距離： ⑴　 ⑵　 ⑶　 　　⑷　 （設(shè)計意圖：通過例題練習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生對公式的記憶和應(yīng)用．同時，“代入公式計算前，首先應(yīng)將直線方程化為一般式，以便確定系數(shù)的值”是學(xué)生在應(yīng)用公式中，容易忽略的環(huán)節(jié)．將這一薄弱環(huán)節(jié)設(shè)置在補(bǔ)充例題中，使學(xué)生在“錯誤體驗(yàn)”加深記憶，以期達(dá)到強(qiáng)化訓(xùn)練的目的．） 在解決了例1的基礎(chǔ)上，由淺入深，補(bǔ)充了直線方程含有參數(shù)的例2，進(jìn)一步提高學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力． 例2 ⑴　已知點(diǎn)到直線的距離為，求的值； ⑵　已知點(diǎn)到直線的距離為，求的值． 由于例2的兩個問題中，直線方程所含參數(shù)都具有明顯的幾何意義：一個表示直線的斜率，另一個表示直線在軸上的截距．所以解出參數(shù)的值后，在“幾何畫板”中，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的形式，通過度量進(jìn)行操作確認(rèn)．其中⑴隨直線的不斷變化，學(xué)生可觀察點(diǎn)到直線距離的度量值、直線斜率的度量值的變化趨勢．當(dāng)時，可發(fā)現(xiàn)此時兩條直線的斜率的度量值，與計算結(jié)果吻合．同時，度量出，說明點(diǎn)落在兩條直線所成角的角平分線上（如圖1）；在⑵中，學(xué)生可觀察點(diǎn)到直線距離的度量值、直線在軸上截距的變化趨勢．當(dāng)時，直線在軸上的截距的度量值，也與計算結(jié)果吻合（如圖2）．本例既考察了學(xué)生對公式的掌握情況，又為下節(jié)課對稱問題和直線系的研究設(shè)下伏筆，并由問題⑵中兩平行線間距離為，引出教材的例題． 圖 　　　　　　　　　　　圖2 （設(shè)計意圖：點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是本課的一個重點(diǎn)內(nèi)容．在例1的基礎(chǔ)上，增補(bǔ)直線方程含有參數(shù)的例2，進(jìn)一步提高學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力．在幾何畫板的軟件平臺中，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生感受在利用代數(shù)方法研究幾何問題后，再回歸幾何本身的重要性．） 例3 求平行線和的距離． 教材上采用了類比化歸的思想，將兩平行直線之間的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離來解決問題．由于兩平行線間的距離處處相等，所以教材選擇了一條直線上的特殊點(diǎn)，便于簡化計算．學(xué)生可能會提出如果在直線上任選一點(diǎn)能否得到這兩條平行線之間的距離的問題，由此引出了教材的習(xí)題15．根據(jù)課堂剩余時間，此題作為機(jī)動練習(xí)． 此時，本課教學(xué)任務(wù)已基本完成，為進(jìn)一步鞏固知識，教學(xué)進(jìn)入環(huán)節(jié)4． （設(shè)計意圖：緊扣教材，讓學(xué)生體會類比化歸的思想方法，同時，為課后作業(yè)中推導(dǎo)兩平行線之間的距離公式，設(shè)下伏筆．） 環(huán)節(jié)４　課堂總結(jié) 由學(xué)生自主歸納、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師加以補(bǔ)充說明． ⑴ 點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)中不同的算法思路； ⑵ 點(diǎn)到直線的距離公式； ⑶ 點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用前提條件． （設(shè)計意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生本節(jié)所學(xué)的知識系統(tǒng)化、條理化，進(jìn)一步鞏固知識，明確方法．） 課后作業(yè) ① 在自學(xué)教材閱讀材料“向量與直線”后，利用向量的方法證明點(diǎn)到直線的距離公式； ② 教材 13、14、16 　　板書設(shè)計 　　　　　　 　　五、教學(xué)反思 根據(jù)教學(xué)經(jīng)歷和學(xué)生的反饋信息，我對本課有如下五點(diǎn)反思： 　　1．對于這一節(jié)內(nèi)容，有兩種不同的處理方式：一種是讓學(xué)生理解、記憶公式，直接應(yīng)用而不講公式的探尋過程，這樣的處理不利于我校學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)；二是本課方式，通過強(qiáng)調(diào)對公式的探索過程，提高學(xué)生利用代數(shù)方法處理幾何問題的能力； 　　2．點(diǎn)到直線的距離的推導(dǎo)過程，含有比較抽象的字母運(yùn)算．如果沒有整體算法步驟的分析，學(xué)生的思路會缺乏連貫性，所以本課重點(diǎn)分析了三種算法思想：利用定義的算法、利用直角三角形面積的算法、利用平面向量的算法．讓學(xué)生在明了算法步驟的前提下，再進(jìn)行有效的公式推導(dǎo)和自學(xué)閱讀； 　 　3．向量是一種重要的運(yùn)算工具，根據(jù)我班學(xué)生的實(shí)際，本課涉及了利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的方法．實(shí)際上，在以后立體幾何的學(xué)習(xí)中，還將利用這種算法思路得到點(diǎn)到平面的距離公式．又由于這種方法在思維上有一定的難度，所以，我根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，提出了分層要求：基本要求是能夠理解教材所給的推導(dǎo)方法，并能夠應(yīng)用公式，較高要求是能夠利用向量的方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式； 　　4．現(xiàn)代數(shù)學(xué)認(rèn)為“幾何是可視邏輯”，所以我重視在補(bǔ)充的例題中，突出幾何直觀和數(shù)形結(jié)合的思想方法； 　　5．學(xué)生在練習(xí)中的“錯誤體驗(yàn)”將會有助于加深記憶，所以我重視在學(xué)生應(yīng)用公式中容易忽略的環(huán)節(jié),并在補(bǔ)充的例題中給予了設(shè)置，以期達(dá)到強(qiáng)化訓(xùn)練的目的．