2019-2020年高中數(shù)學(xué)奧賽系列輔導(dǎo)資料競賽中的三角函數(shù)立體選講教案.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)奧賽系列輔導(dǎo)資料競賽中的三角函數(shù)立體選講教案 【內(nèi)容綜述】 一.三角函數(shù)的性質(zhì) 1.正,余弦函數(shù)的有界性 對任意角,, 2.奇偶性與圖象的對稱性 正弦函數(shù),正切函數(shù)和余切函數(shù)都是奇函數(shù),它們的圖象關(guān)于原點對稱,并且y=sinx的圖象還關(guān)于直線對稱:余弦函數(shù)是偶函數(shù),從而y=cosx的圖象關(guān)于y軸對稱,并且其圖象還關(guān)于直線對稱 3.單調(diào)性 y=sinx在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減:y=cosx在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;y=tanx在上都是單調(diào)遞增的;y=cotx在上都是單調(diào)遞減的。 4.周期性 y=sinx與y=cosx的最小正周期是2π,y=tanx與y=cosxr 的最小正周期是π。 【例題分析】 例1 已知圓至少覆蓋函數(shù)的一個最大值點與一個最小值點,求實數(shù)k的取值范圍。 解 因為是一個奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,而圓也關(guān)于原點對稱,所以,圖只需覆蓋的一個最值點即可。 令,可解得的圖象上距原點最近的一個最大值點,依題意,此點到原點的距離不超過|k|,即 綜上可知,所求的K 為滿足的一切實數(shù)。 例2 已知,且 求 cos(x+2y)的值。 解 原方程組可化為 因為所以令 ,則在上是單調(diào)遞增的,于是由 得 f(x)=f(-2y) 得 x=-2y 即 x+2y=0 例3 求出(并予以證明)函數(shù) 解 首先,對任意,均有 這表明,是函數(shù)f(x)的一個周期 其次,設(shè),T是f(x)的一個周期,則對任意,均有 在上式中,令x=0,則有 。 兩邊平方,可知 即 sin2T=0,這表明,矛盾。 綜上可知,函數(shù)的最小正周期為。 例3 求證:在區(qū)間內(nèi)存在唯一的兩個數(shù),使得 sin(cosc)=c, cos(sind)=d 證,構(gòu)造函數(shù) f(x)=cos(sinx)-x f(x)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的,由于 f(0)=cos(sin0)-0=1>0. 故存在唯一的,使f(d)=0,即 cos(sind)=d 對上述兩邊取正弦,并令c=sind,有 sin(cos(sind))=sind sin(cosc)=c 顯然,由于y=sinx在是單調(diào)遞增的,且d是唯一的,所以c也是唯一的,且 例4 已知對任意實數(shù)x,均有 求證: 證 首先,f(x)可以寫成 ?、? 其中是常數(shù),且, 在①式中,分別令和得 ?、? ③ ?、?③,得 又在①式中分別令,得 ?、? ?、? 由④+⑤,得 【能力訓(xùn)練】 (A組) 1.求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 2.已知是偶函數(shù),,求 3.設(shè),,試比較的大小。 4.證明:對所以實數(shù)x,y,均有 5.已知為偶函數(shù),且t滿足不等式,求t的值。 (B組) 6.已知,且滿足: (1);(2); (3)。 求f(x)的解析式 7.證明:對任意正實數(shù)x,y以及實數(shù)均有不等式 8.已知當時,不等式 恒成立,求的取值范圍。 9.設(shè),,求乘積的最大值和最小值。 參考答案 【能力訓(xùn)練】 A組 1. 2.由偶函數(shù)的定義,有 上式對任意成立,故 所以 3.首先,又 , 即 4.只需證明不能同時成立,若不然,則存在整數(shù)m,n,k,使得 即 矛盾 5.由題設(shè),得 即 由于上式對任意x成立,故sint=1,結(jié)合,即-1- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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