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2019-2020年高三第二次模擬考試 數(shù)學(xué)（文） 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.設(shè)全集，集合，則（ ） A． B． C． D． 2.已知為虛數(shù)單位，則的實(shí)部與虛部之積等于（ ） A． B． C． D． 3.鷹潭氣象臺(tái)通緝，5月1日貴溪下雨的概率為，刮風(fēng)的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)為下雨，為刮風(fēng)，則（ ） A． B． C． D． 4.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的外接圓面積為（ ） A．4 B．8 C.9 D．36 5.雙曲線離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，的平分線為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則雙曲線方程為（ ） A． B． C. D． 6.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ） A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位 C. 向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位 7.北宋數(shù)學(xué)家沈括的主要數(shù)學(xué)成就之一為隙積術(shù)，所謂隙積，即“積之有隙”者，如果棋、層壇之類，這種長(zhǎng)方臺(tái)形狀的物體垛積.設(shè)隙積共層，上底由個(gè)物體組成，以下各層的長(zhǎng)、寬一次各增加一個(gè)物體，最下層（即下底）由個(gè)物體組成，沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式為 .已知由若干個(gè)相同小球粘黏組成的幾何體垛積的三視圖如圖所示，則該垛積中所有小球的個(gè)數(shù)為（ ） A．83 B．84 C. 85 D．86 8.已知，則的大小關(guān)系是（ ） A． B． C. D． 9.定義運(yùn)算：，則函數(shù)的圖象大致為（ ） A． B． C. D． 10.如圖是秦九韶算法的一個(gè)程序框圖，則輸出的為（ ） A．的值 B．的值 C. 的值 D．的值 11.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角余弦值為（ ） A． B． C. D． 12.若在上存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C. D． 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13.已知向量，若，則 ． 14.化簡(jiǎn)： ． 15.已知圓和圓，若點(diǎn)在兩圓的公共弦上，則的最小值為 ． 16.已知函數(shù)的定義域是，關(guān)于函數(shù)給出下列命題： ①對(duì)于任意，函數(shù)是上的減函數(shù)； ②對(duì)于任意，函數(shù)存在最小值； ③存在，使得對(duì)于任意的，都有成立； ④存在，使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). 其中正確命題的序號(hào)是 ．（寫出所有正確命題的序號(hào)） 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17.已知數(shù)列與，若且對(duì)任意正整數(shù)滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和. （1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 18.如圖，四棱錐中，與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是的中點(diǎn). （I）求證：平面； （II）證明：平面平面. 19.某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語(yǔ)類節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個(gè)城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如下莖葉圖所示： 其中一個(gè)數(shù)字被污損. （1）求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率. （2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對(duì)成語(yǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)積累的熱情，從中獲益匪淺.現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀眾的周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間（單位：小時(shí)）與年齡（單位：歲），并制作了對(duì)照表（如下表所示） 年齡（歲） 20 30 40 50 周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間（小時(shí)） 2.5 3 4 4.5 由表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程，并預(yù)測(cè)年齡為55歲觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間. 參考公式：，. 20.已知圓與圓，以圓的圓心分別為左右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)兩圓的焦點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）直線上有兩點(diǎn)（在第一象限）滿足，直線與交于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求線段的長(zhǎng). 21.函數(shù)，. （I）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （2）若對(duì)于任意，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是. （1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程； （2）已知點(diǎn).若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線相交于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的值. 23.選修4-5：不等式選講 已知函數(shù). （1）求時(shí)，求不等式的解集； （2）當(dāng)時(shí)，若的圖象與軸圍成的三角形面積等于6，求的值. 試卷答案 一、選擇題 1-5: CBBCB 6-10: ACAAC 11、12：CD 二、填空題 13. 14. 15. 8 16.②④ 三、解答題 17.（1）；（2） 試題解析： （1）由題意知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，又因?yàn)椋? 所以. 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ， 對(duì)不成立. 所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式：. （2）時(shí)，. 時(shí)，， 所以， 仍然適合上式， 綜上，. 18.（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析. 試題解析： 解：（Ⅰ）因?yàn)椋? 是中點(diǎn)，所以， 且， 四邊形是平行四邊形，所以， 平面，平面， 所以平面. （Ⅱ）連接，設(shè)交于，連， 則是正方形，所以， 因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以， 顯然，則， 即， 因?yàn)?，所以平面? 因?yàn)?，所以平面? 又平面，所以平面平面. 19.（1）；（2）詳見(jiàn)解析. 試題解析： （1）設(shè)被污損的數(shù)字為，則的所有可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10種等可能結(jié)果，令，解得，則滿足“東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8個(gè)，所以其概率為. （2）由表中數(shù)據(jù)得，， ∴，線性回歸方程. 可預(yù)測(cè)年齡為55觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間為4.9小時(shí). 20.（1）；（2）3. 試題解析： 解：（1）設(shè)圓與圓的其中一個(gè)交點(diǎn)為，則， ∴， ∴， ∴橢圓C的方程為； （2）設(shè)，則， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”號(hào)成立，此時(shí)， ∴， ∴. 21.（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）. （Ⅰ）解法一：由題意得，令 （1）當(dāng)，即時(shí)，對(duì)恒成立 即對(duì)恒成立，此時(shí)沒(méi)有極值點(diǎn)； （2）當(dāng)，即或 ①時(shí)，設(shè)方程兩個(gè)不同實(shí)根為，不妨設(shè)， 則，故， ∴或時(shí)；在時(shí) 故是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn). ②時(shí)，設(shè)方程兩個(gè)不同實(shí)根為，則， 故，∴時(shí)，；故函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn). 綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn). 解法二： ， ∵，∴， ①當(dāng)，即時(shí)，對(duì)恒成立，在單調(diào)增，沒(méi)有極值點(diǎn)； ②當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不等正數(shù)解， 不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，增；時(shí)，，減；時(shí)，，增，所以分別為極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，有兩個(gè)極值點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn). （Ⅱ）， 由，即對(duì)于恒成立， 設(shè)， ， ∵，∴時(shí)，，減，時(shí)，，增， ∴， ∴. 22.（1）；線的直角坐標(biāo)方程為；（2）. 試題解析：（1）∵直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）， ∴直線的普通方程為 由，得，即， ∴曲線的直角坐標(biāo)方程為. （2）∵點(diǎn)的極坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)為. ∴,直線的傾斜角. ∴直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. 代入，得. 設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為. ∵為線段的中點(diǎn)， ∴點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為. 又點(diǎn)，則. 23.（1）；（2）-2. 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，化為， 當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得； 當(dāng)時(shí)，不等式化為，無(wú)解； 當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得， 所以的解集為. （2）由題設(shè)可得， 當(dāng)時(shí)，，，，又， 所以函數(shù)的圖象與軸圍成的三角形位于軸左側(cè)，且三個(gè)頂點(diǎn)分別為 所以