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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《奇數(shù)偶數(shù)》 將全體整數(shù)分為兩類，凡是2的倍數(shù)的數(shù)稱為偶數(shù)，否則稱為奇數(shù).因此，任一偶數(shù)可表為2m（m∈Z），任一奇數(shù)可表為2m+1或2m－1的形式.奇、偶數(shù)具有如下性質(zhì)： （1）奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)； 奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)； 奇數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)； （2）奇數(shù)的平方都可表為8m+1形式，偶數(shù)的平方都可表為8m或8m+4的形式（m∈Z）. （3）任何一個(gè)正整數(shù)n，都可以寫成的形式，其中m為非負(fù)整數(shù)，l為奇數(shù). 這些性質(zhì)既簡單又明顯，然而它卻能解決數(shù)學(xué)競(jìng)賽中一些難題. 例題講解 1．下列每個(gè)算式中，最少有一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，那么這12個(gè)整數(shù)中，至少有幾個(gè)偶數(shù)？ □+□=□，□-□=□，□□＝□，□□＝□. 2．已知n是偶數(shù)，m是奇數(shù)，方程組的解是整數(shù)，那么( ) （A）p、q都是偶數(shù). （B）p、q都是奇數(shù). （C）p是偶數(shù)，q是奇數(shù) （D）p是奇數(shù)，q是偶數(shù) 3．在1，2，3…，1992前面任意添上一個(gè)正號(hào)和負(fù)號(hào)，它們的代數(shù)和是奇數(shù)還是偶數(shù). 4．70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和，這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，….問最右邊的一個(gè)數(shù)被6除余幾？ 5．設(shè)a、b是自然數(shù)，且有關(guān)系式 123456789=（11111+a）（11111-b）， ① 證明a-b是4的倍數(shù). - - + + - - - - + 6．在33的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符號(hào)，然后每次將表中任一行或一列的各格全部變化試問重復(fù)若干次這樣的“變號(hào)”程序后，能否從一張表變化為另一張表. + + - + + - - - + b a 7．設(shè)正整數(shù)d不等于2，5，13.證明在集合｛2，5，13，d｝中可以找到兩個(gè)元素a,b，使得ab－1不是完全平方數(shù). 8．設(shè)a、b、c、d為奇數(shù)，，證明：如果a+d=2k，b+c=2m，k,m為整數(shù)，那么a=1. 9．設(shè)是一組數(shù)，它們中的每一個(gè)都取1或－1，而且a1a2a3a4+a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0，證明：n必須是4的倍數(shù). 課后練習(xí) 1.填空題 （1）有四個(gè)互不相等的自然數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4，最大數(shù)與最小數(shù)的積是一個(gè)奇數(shù)，而這四個(gè)數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)，那么這四個(gè)數(shù)的乘積是______. （2）有五個(gè)連續(xù)偶數(shù)，已知第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)和的多18，這五個(gè)偶數(shù)之和是____. （3）能否把1993部電話中的每一部與其它5部電話相連結(jié)？答____. 2.選擇題 （1）設(shè)a、b都是整數(shù)，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ） ①若a+5b是偶數(shù)，則a-3b是偶數(shù)；②若a+5b是偶數(shù)，則a-3b是奇數(shù)； ③若a+5b是奇數(shù)，則a-3b是奇數(shù)；④若a+5b是奇數(shù)，則a-3b是偶數(shù). （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （2）若n是大于1的整數(shù)，則的值（ ）. （A）一定是偶數(shù) （B）必然是非零偶數(shù) （C）是偶數(shù)但不是2 （D）可以是偶數(shù)，也可以是奇數(shù) （3）已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a、b、c為整數(shù)），如果當(dāng)x=0與x=1時(shí)，二次三項(xiàng)式的值都是奇數(shù)，那么a（ ） （A）不能確定奇數(shù)還是偶數(shù) （B）必然是非零偶數(shù) （C）必然是奇數(shù) （D）必然是零 3.試證明11986+91986+81986+61986是一個(gè)偶數(shù). 4.請(qǐng)用0到9十個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)能被11整除的最小十位數(shù). 5.有n 個(gè)整數(shù)，共積為n，和為零，求證：數(shù)n能被4整除 6.在一個(gè)凸n邊形內(nèi)，任意給出有限個(gè)點(diǎn)，在這些點(diǎn)之間以及這些點(diǎn)與凸n邊形頂點(diǎn)之間，用線段連續(xù)起來，要使這些線段互不相交，而且把原凸n邊形分為只朋角形的小塊，試證這種小三我有形的個(gè)數(shù)與n有相同的奇偶性. 7.一個(gè)四位數(shù)是奇數(shù)，它的首位數(shù)字淚地其余各位數(shù)字，而第二位數(shù)字大于其它各位數(shù)字，第三位數(shù)字等于首末兩位數(shù)字的和的兩倍，求這四位數(shù). 8.試證：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次冪整除. 課后練習(xí)答案 １．（１）３０．（最小兩位奇數(shù)是１１，最大數(shù)與最小數(shù)同為奇數(shù)） （２）１８０．設(shè)第一個(gè)偶數(shù)為ｘ，則后面四個(gè)衣次為ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８． （３）不能． ２．Ｂ．Ｂ．Ａ ３．１１９８６是奇數(shù)１，９１９８６的個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)１，而８１９８６，６１９８６都是偶數(shù)，故最后為偶數(shù)． ４．仿例５ １２０３４６５８７９． ５．設(shè)ａ１，ａ２，…，ａｎ滿足題設(shè)即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０　?、? ａ１ａ２……ａｎ＝ｎ　②。假如ｎ為奇數(shù)，由②，所有ａｉ皆為奇數(shù)，但奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故這時(shí)①不成立，可見ｎ只能為偶數(shù)．由于ｎ為偶數(shù)，由②知ａｉ中必有一個(gè)偶數(shù)，由①知ａｉ中必有另一個(gè)偶數(shù)．于是ａｉ中必有兩個(gè)偶數(shù)，因而由②知ｎ必能被４整除． ６．設(shè)小三角形的個(gè)數(shù)為ｋ，則ｋ個(gè)小三角形共有３ｋ條邊，減去ｎ邊形的ｎ條邊及重復(fù)計(jì)算的邊數(shù)扣共有（３ｋ＋ｎ）條線段，顯然只有當(dāng)ｋ與ｎ有相同的奇偶性時(shí)，（３ｋ－ｎ）才是整數(shù)． ７．設(shè)這個(gè)四位數(shù)是由于１≤ａ＜ｄ，ｄ是奇數(shù)所以ｄ≥３于是ｃ＝２（ａ＋ｄ）≥８，即ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶數(shù)，所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此該數(shù)為１９８３． ８．當(dāng)ｎ為奇數(shù)時(shí)，考慮（４－１）ｎ＋１的展開式；當(dāng)ｎ為偶數(shù)時(shí)，考慮（２＋１）ｎ＋１的展開式． 例題答案： 1. 解 因?yàn)榧臃ê蜏p法算式中至少各有一個(gè)偶數(shù)，乘法和除法算式中至少各有二個(gè)偶數(shù)，故這12個(gè)整數(shù)中至少有六個(gè)偶數(shù). 2.分析 由于1988y是偶數(shù)，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶數(shù)，將其代入第二方程中，于是11x也為偶數(shù)，從而27y=m-11x為奇數(shù)，所以是y=q奇數(shù)，應(yīng)選（C） 都能被7整除； 注： 3.分析 因?yàn)閮蓚€(gè)整數(shù)之和與這兩個(gè)整數(shù)之差的奇偶性相同，所以在題設(shè)數(shù)字前面都添上正號(hào)和負(fù)號(hào)不改變其奇偶性，而1+2+3+…+1992==9961993為偶數(shù) 于是題設(shè)的代數(shù)和應(yīng)為偶數(shù). 4.解 設(shè)70個(gè)數(shù)依次為a1,a2,a3據(jù)題意有 a1=0, 偶 a2=1 奇 a3=3a2-a1, 奇 a4=3a3-a2, 偶 a5=3a4-a3, 奇 a6=3a5-a4, 奇 ……………… 由此可知： 當(dāng)n被3除余1時(shí)，an是偶數(shù)； 當(dāng)n被3除余0時(shí)，或余2時(shí)，an是奇數(shù)，顯然a70是3k+1型偶數(shù)，所以k必須是奇數(shù)，令k=2n+1，則a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4. 5.證明 由①式可知 11111（a-b）=ab+4617 ② ∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0 首先，易知a-b是偶數(shù)，否則11111(a-b)是奇數(shù)，從而知ab是奇數(shù)，進(jìn)而知a、b都是奇數(shù)，可知(11111+a)及(11111-b)都為偶數(shù)，這與式①矛盾 其次，從a-b是偶數(shù)，根據(jù)②可知ab是偶數(shù)，進(jìn)而易知a、b皆為偶數(shù)，從而ab+4617是4的倍數(shù)，由②知a-b是4的倍數(shù). 6. 解 按題設(shè)程序，這是不可能做到的，考察下面填法： 在黑板所示的22的正方形表格中，按題設(shè)程序“變號(hào)”，“+”號(hào)或者不變，或者變成兩個(gè). 表(a)中小正方形有四個(gè)“+”號(hào)，實(shí)施變號(hào)步驟后，“+”的個(gè)數(shù)仍是偶數(shù)；但表(b)中小正方形“+”號(hào)的個(gè)數(shù)仍是奇數(shù)，故它不能從一個(gè)變化到另一個(gè). 顯然，小正方形互變無法實(shí)現(xiàn)，33的大正方形的互變，更無法實(shí)現(xiàn). 7. 解由于25－1=32，213－1=52，513－1=82，因此，只需證明2d－1，5d－1，13d－1中至少有一個(gè)不是完全平方數(shù). 用反證法，假設(shè)它們都是完全平方數(shù)，令 2d－1=x2 ① 5d－1=y2 ② 13d－1=z2 ③ x,y,z∈N* 由①知，x是奇數(shù)，設(shè)x=2k－1，于是2d－1=（2k－1）2，即d=2k2－2k+1，這說 明d也是奇數(shù).因此，再由②，③知，y,z均是偶數(shù). 設(shè)y=2m,z=2n,代入③、④，相減，除以4得，2d=n2－m2=(n+m)(n－m)，從而n2－m2為偶數(shù)，n，m必同是偶數(shù)，于是m+n與m－n都是偶數(shù)，這樣2d就是4的倍數(shù)，即d為偶數(shù)，這與上述d為奇數(shù)矛盾.故命題得證. 8.首先易證：從而 .再由 因而 ① 顯然，為偶數(shù)，為奇數(shù)，并且只能一個(gè)為4n型 偶數(shù)，一個(gè)為4n+2型偶數(shù)（否則它們的差應(yīng)為4的倍數(shù)，然而它們的差等于2a不是4 的倍數(shù)）， 因此,如果設(shè)，其中e,f為奇數(shù)，那么由①式及的特性就有 （Ⅰ）或（Ⅱ） 由 得e=1， 從而于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分別變?yōu)? 或 解之，得.因a為奇數(shù)，故只能a=1. 9.證明:由于每個(gè)均為1和－1，從而題中所給的等式中每一項(xiàng)也只取1或－1，而這樣的n項(xiàng)之和等于0，則取1或－1的個(gè)數(shù)必相等，因而n必須是偶數(shù)，設(shè)n=2m. 再進(jìn)一步考察已知等式左端n項(xiàng)之乘積=()4=1，這說明，這n項(xiàng)中?。?的項(xiàng)（共m項(xiàng)）也一定是偶數(shù)，即m=2k，從而n是4的倍數(shù).