高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第11講 抽象函數(shù)課件 理.ppt
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第 11 講,抽象函數(shù),1.了解函數(shù)模型的實際背景.,2.會運用函數(shù)的解析式理解和研究函數(shù)的性質.,1.已知 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且 f(x)≠0,則 f(x)是,(,),B,A.奇函數(shù) C.非奇非偶函數(shù),B.偶函數(shù) D.不確定,解析:令x=y(tǒng)=0,則2f(0)=2[f(0)]2,因f(x)≠0,所以f(0) =1.令 x=0,則 f(y)+f(-y)=2f(y),f(y)=f(-y).故選B.,C,A,0,考點1,正比例函數(shù)型抽象函數(shù),例1:設函數(shù) f(x)對任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且當 x0 時,f(x)0,f(1)=-2. (1)求證:f(x)是奇函數(shù); (2)試問在-3≤x≤3 時,f(x)是否有最值?如果有,求出最 值;如果沒有,說出理由.,令 y=-x,則有 f(0)=f(x)+f(-x). 即 f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函數(shù).,(2)解:當-3≤x≤3 時,f(x)有最值,理由如下: 任取 x10?f(x2-x1)0.,∴f(x1)f(x2).∴y=f(x)在 R 上為減函數(shù).,因此 f(3)為函數(shù)的最小值,f(-3)為函數(shù)的最大值. f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6. ∴函數(shù)的最大值為 6,最小值為-6.,(1)證明:令 x=y(tǒng)=0,則有 f(0)=2f(0)?f(0)=0.,【規(guī)律方法】(1)利用賦值法解決抽象函數(shù)問題時需把握好 如下三點:一是注意函數(shù)的定義域,二是利用函數(shù)的奇偶性去 掉函數(shù)符號“f ”前的“負號”,三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù) 符號“f ”.,(2)解決正比例函數(shù)型抽象函數(shù)的一般步驟為:f(0)=0?f(x),是奇函數(shù)?f(x-y)=f(x)-f(y)?單調(diào)性.,(3)判斷單調(diào)性小技巧:設 x10?f(x2-x1)0 ?f(x2)=f(x2 -x1 +x1)=f(x2 -x1)+f(x1)f(x1),得到函數(shù)單調(diào)遞 減.,【互動探究】 1.已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(x+y)=f(x)+f(y),則,下列錯誤的是(,),答案:D,考點 2,對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù),例 2:已知函數(shù) f(x)的定義域為{x|x∈R,且 x≠0},對定義 域內(nèi)的任意x1,x2,都有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且當 x1時 f(x)0, f(2)=1. (1)求證:f(x)是偶函數(shù); (2)求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù); (3)解不等式 f(2x2-1)2.,則有 f(-x)=f(x)+f(-1). 又令x1=x2=-1,得 2f(-1)=f(1). 再令 x1=x2=1,得 f(1)=0,從而 f(-1)=0. 于是有 f(-x)=f(x),所以 f(x)是偶函數(shù).,(1)證明:對定義域內(nèi)的任意 x1,x2 都有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2),令 x1=x,x2=-1,,【互動探究】 2.對于函數(shù) f(x)定義域中任意 x1,x2(x1≠x2)有如下結論: ①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2); ②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);,當 f(x)=lgx 時,上述結論中正確結論的序號是______.,②③,考點3,指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù),例3:定義在R上的函數(shù) y=f(x),f(0)≠0,當x>0時,f(x)1, 且對任意的 a,b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b). (1)求證:f(0)=1; (2)求證:對任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)求證:f(x)是 R 上的增函數(shù); (4)若 f(x)f(2x-x2)>1,求 x 的取值范圍. (1)證明:令a=b=0,則 f(0)=f 2(0). ∵f(0)≠0,∴f(0)=1.,∴f(x2)>f(x1).∴f(x)是 R 上的增函數(shù).,(4)解:由f(x)f(2x-x2)>1,f(0)=1 得 f(3x-x2)>f(0). ∵f(x)是R 上的增函數(shù),∴3x-x2>0.∴0<x<3. ∴x 的取值范圍是{x|0x3}.,【互動探究】 3.對于函數(shù) f(x)定義域中任意的 x1,x2(x1≠x2),有如下結論: ①f(x1+x2)=f(x1)f(x2); ②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);,當 f(x)=2x 時,上述結論中正確結論的序號是___________.,答案:①③⑤,●思想與方法● ⊙利用轉化與化歸思想解答抽象函數(shù),答案:①③,- 配套講稿:
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