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2019-2020年高三下學期第一次模擬考試 數(shù)學（理） 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中第Ⅱ卷第22～23題為選考題，其它題為必考題?？忌鞔饡r，將答案寫在答題卡上，在本試卷上答題無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 注意事項： 1．答題前，考生務必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。 2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂,如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標號;非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。 3．請按照題號在各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。 4．保持卡面清潔，不折疊，不破損。 5．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。 第I卷（選擇題） 1、 選擇題：本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合 題目要求的 1．已知集合則等于 A. B. C. D. 2．若復數(shù)z滿足，則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是 A. 1 B. C. D. 4．設向量，若向量與向量共線，則的值為 A. B. C. D. 4 5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 6． 已知等差數(shù)列的前項和為，且 若，則的取值范圍是 A． B． C. D． 7．我們知道，可以用模擬的方法估計圓周率的近似值，如圖， 在圓內(nèi)隨機撒一把豆子，統(tǒng)計落在其內(nèi)接正方形中的豆子數(shù)目， 若豆子總數(shù)為，落在正方形內(nèi)的豆子數(shù)為，則圓周率的 估算值是 A． B． C． D． 8．從5名學生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競賽， 其中甲不能參加C，D兩科競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為 A.24 B.48 C.72 D.120 9．若，則 A. B.1 C. D. 10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則 輸入的為 A. B. C. D. 11.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的最大值為 A．3 B． C.2 D． 12．已知函數(shù)與的圖象關于軸對稱，當函數(shù)和在區(qū)間同時遞增或同時遞減時，把區(qū)間叫做函數(shù)的“不動區(qū)間”，若區(qū)間為函數(shù)的“不動區(qū)間”，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 第II卷（非選擇題） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分. 13．若變量滿足約束條件，則的最大值為 . 14. 二項式的展開式中的常數(shù)項為 . 15.給出如下命題: ① 已知隨機變量，若，則 ②若動點到兩定點的距離之和為，則動點的軌跡為線段; ③設，則“”是“”的必要不充分條件; ④若實數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為; 其中所有正確命題的序號是_________. 16.《九章算術(shù)》中“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學的古典名題：“今有墻厚若千尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何？”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也進―尺，以后每天減半，如果墻足夠厚，為前天兩只老鼠打洞之和，則 尺 三、解答題:(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.（本小題滿分12分） 在中，角的對角分別為且. （1）求； （2）若為邊的中點，且，求面積的最大值. 18.（本小題滿分12分） 某單位實行休年假制度三年以來，50名職工休年假的次數(shù)進行的調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果如下表所示： 休假次數(shù) 0 1 2 3 人數(shù) 5 10 20 15 根據(jù)表中信息解答以下問題： （1）從該單位任選兩名職工，求這兩人休年假次數(shù)之和為4的概率； （2）從該單位任選兩名職工，用表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望． 19.（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，,為的中點. （1）若，求證：； （2）若，且，點在 線段上，試確定點的位置，使二面角大小為，并求出的值. 20.（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率,以上頂點和右焦點為直徑端點的圓與直線相切． (1)求橢圓的標準方程； (2)對于直線和點,橢圓上是否存在不同的兩點與關于直線對稱,且,若存在實數(shù)的值,若不存在,說明理由． 21.（本小題滿分12分） 已知函數(shù) （2）若函數(shù)在定義域上具有單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍； （3）求證：，n∈N． 請考生在22，23，題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑． 22. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在極坐標系中，已知三點. （1）求經(jīng)過O,A,B的圓的極坐標方程； （2）以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若圓與圓外切，求實數(shù)a的值. 23．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講 設函數(shù). （1）求解不等式的解集； （2）若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍. 石嘴山三中xx第一次模擬考試理科數(shù)學能力測試參考答案 一、選擇題（125分＝60分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 選項 B D C A A A B C A C B C 二、填空題（45＝20分） 13、4 14、 15、 ②③ 16、 一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合 題目要求的 ． 1．1．已知集合則 A. B. C. D. 【答案】B【解析】，，故選B 2．若復數(shù)滿足，則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D【解析】 ， ，復數(shù)所對應的點 3．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】拋物線的焦點為 ，雙曲線的一條漸近線 為 ，所以所求距離為，選C. 4．設向量，若向量與向量共線，則的值為 A. B. C. D. 4 【答案】A 5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 【解析】根據(jù)三視圖可知，幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，高為 ，所以體積為，故選A. 6.已知等差數(shù)列的前項和為，且，若，則的取值范圍是 A． B． C. D． 【答案】A【解析】設公差為，由得，即，則由得，解得.故選A. 7．我們知道，可以用模擬的方法估計圓周率的近似值，如圖，在圓內(nèi)隨機撒一把豆子，統(tǒng)計落在其內(nèi)接正方形中的豆子數(shù)目，若豆子總數(shù)為，落在正方形內(nèi)的豆子數(shù)為， 則圓周率的估算值是 A． B． C． D． 【答案】B【解析】設正方形的邊長為.則圓的半徑為，根據(jù)幾何概型的概率公式可以得到，即，故選B. 8． 從5名學生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競賽，其中甲不能參加C，D兩科競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為 A.24 B.48 C.72 D.120 【答案】C【解析】∵從5名學生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競賽，其中甲不能參加A，B兩科競賽，∴可分為以下幾步： （1）先從5人中選出4人，分為兩種情況：有甲參加和無甲參加. 有甲參加時，選法有：＝4種；無甲參加時，選法有：＝1種. （2）安排科目,有甲參加時，先排甲，再排其它人.排法有：＝12種. 無甲參加時，排法有＝24種. 綜上，412+124=72.∴不同的參賽方案種數(shù)為72 9．若，則 A. B.1 C. D. 【答案】A【解析】：， 解得， 10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的 A. B. C. D. 【答案】C【解析】當時，為偶數(shù)，所以 ， ，否，此時 是奇數(shù)，所以 ， ，否，此時 偶數(shù)，所以 ， ， ， ， ， ， ， ，此時 輸出 ，此時 ，解得：，故選C. 11.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的最大值為（ B ） A．3 B． C. 2 D． 12．已知函數(shù)與的圖象關于軸對稱，當函數(shù)和在區(qū)間同時遞增或同時遞減時，把區(qū)間叫做函數(shù)的“不動區(qū)間”，若區(qū)間為函數(shù)的“不動區(qū)間”，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】C【解析】：易知與在上單調(diào)性相同，當兩個函數(shù)單調(diào)遞增時，與的圖象如圖1所示，易知，解得；當兩個函數(shù)單調(diào)遞減時，的圖象如圖2所示，此時關于軸對稱的函數(shù)不可能在上為減函數(shù)．綜上所述，，故選C． 第II卷（非選擇題） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分. 13．若變量滿足約束條件，則的最大值為 . 【答案】4【解析】在平面直角坐標系中，作出變量，的約束條件的區(qū)域，如圖所示，由圖可知，當過點時，最大，， 14. 二項式的展開式中的常數(shù)項為 ． 15. 給出如下命題: ① 已知隨機變量，若，則 ②若動點到兩定點的距離之和為，則動點的軌跡為線段; ③設，則“”是“”的必要不充分條件; ④若實數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為; 其中所有正確命題的序號是_________. 【答案】②③ 【解析】②，所以動點的軌跡為線段 ③中由可得成立，所以“”是“”的必要不充分條件 ④實數(shù)成等比數(shù)列，所以圓錐曲線可能為橢圓或雙曲線 16.《九章算術(shù)》中“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學的古典名題：“今有墻厚若千尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何？”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也進―尺，以后每天減半，如果墻足夠厚，為前天兩只老鼠打洞之和，則 尺． 【答案】 【解析】：由題意知:大老鼠每天打洞的距離是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,前天打洞之和為,同理,小老鼠每天打洞的距離為, 所以,因此,本題正確答案是． 三、解答題:(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.（本小題滿分12分） 在中，角的對角分別為且. （1）求； （2）若為邊的中點，且，求面積的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1） , 由正弦定理得， 即. (2) 由，得， ，（當且僅當時，等號成立），得面積. 18.（本小題滿分12分） 某單位實行休年假制度三年以來，50名職工休年假的次數(shù)進行的調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果如下表所示： 休假次數(shù) 0 1 2 3 人數(shù) 5 10 20 15 根據(jù)表中信息解答以下問題： （1）從該單位任選兩名職工，求這兩人休年假次數(shù)之和為4的概率； （2）從該單位任選兩名職工，用表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望． 【答案】試題解析：（1） （2）從該單位任選兩名職工，用表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對值，則的可能取值分別是0,1，2,3， 于是，， ，． 從而的分布列： 的數(shù)學期望：． 19.（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，, 為的中點. （1）若，求證：； （2）若，且，點在 線段上，試確定點的位置，使二面角大小為，并求出的值. 【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）由，為的中點，得，又由底面為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，證得，進而證得，即可證明；（2）以為坐標原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，得平面和平面的一個法向量，根據(jù)二面角大小為，利用向量的運算，即可求解求出的值. 試題解析：⑴∵，為的中點，∴，又∵底面為菱形，，∴，又，∴，又∵，∴； ⑵∵，，， ∴，∴以為坐標原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系如圖. 則，，，，設， 所以，平面的一個法向量是， 設平面的一個法向量為， 所以，∴ 取， 由二面角大小為，可得：，解得，此時. 20.（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率,以上頂點和右焦點為直徑端點的圓與直線相切． (Ⅰ)求橢圓的標準方程； (Ⅱ)對于直線和點,是否橢圓上存在不同的兩點與關于直線對稱,且,若存在實數(shù)的值,若不存在,說明理由． 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在，. 試題解析：(Ⅰ)由橢圓的離心率得，得………………1分 上頂點為，右焦點為， 以上頂點和右焦點為直徑端點的圓的方程為， 所以，，，，………………3分 橢圓的標準方程為………………4分 (Ⅱ)由題意設，，直線方程為：. 聯(lián)立消整理可得：，………………5分 由，解得………………6分 ，， 設直線之中點為，則，………………7分 由點在直線上得：， 又點在直線上，，所以……①………………9分 又，， 解得：或……②………………11分 綜合①②，的值為.………………12分 21.（本小題滿分12分） 已知函數(shù)發(fā)f（x）=（x+1）lnx﹣ax+2． （1）當a=1時，求在x=1處的切線方程； （2）若函數(shù)f（x）在定義域上具有單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍； （3）求證：，n∈N． 21．解：（1）當a=1時，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0）， f′（x）=lnx+，f′（1）=1，f（1）=1， 所以求在x=1處的切線方程為：y=x （2）f′（x）=lnx++1﹣a，（x＞0）． （i）函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞減時， 即a≥lnx+時，令g（x）=lnx+， 當x＞ea時，g′（x）＞0，不成立； （ii）函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增時，a≤lnx+； 令g（x）=lnx+， 則g′（x）=，x＞0； 則函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增； 所以g（x）≥2，故a≤2． （3）由（ii）得當a=2時f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增， 由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0， 即lnx＞在（1，+∞）上總成立， 令x=得ln＞， 化簡得：ln（n+1）﹣lnn＞， 所以ln2﹣ln1＞， ln3﹣ln2＞，…， ln（n+1）﹣lnn＞， 累加得ln（n+1）﹣ln1＞， 即ln（n+1），n∈N命題得證． 請考生在22，23，題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑． 22. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在極坐標系中，已知三點. （1）求經(jīng)過O,A,B的圓的極坐標方程； （2）以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若圓與圓外切，求實數(shù)a的值. 22.試題解析：（Ⅰ）以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系， ∴點O（0，0），A（0，2），B（2，2）； 過O，A，B三點的圓C的普通方程是(x-1)2+(y-1)2=2， 即x2-2x+y2-2y=0； 化為極坐標方程是ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ， 即 5分 （ II）圓D的參數(shù)方程是參數(shù)）化為普通方程是(x+1)2+(y+1)2=a2； 圓C與圓D的圓心距|CD|==, 當圓C與圓D外切時，，解得. 10分 考點：極坐標與做極坐標互化，待定系數(shù)法，圓的標準方程，直角坐標方程與極坐標方程互化，參數(shù)方程與普通方程互化，兩圓的位置關系 23．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講 設函數(shù). （1）求解不等式的解集； （2）若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍. 【解答】解：（1）原不等式即為|x﹣2|﹣|x﹣4|＜0， 若x≤2，則2﹣x+x﹣4＜0，符合題意，∴x≤2， 若2＜x＜4，則x﹣2+x﹣4＜0，解得：x＜3，∴2＜x＜3， 若x≥4，則x﹣2﹣x+4＜0，不合題意， 綜上，原不等式的解集是{x|x＜3}； （2）若函數(shù)g（x）=的定義域為R， 則m﹣f（x）=0恒不成立， 即m=f（x）在R無解， |f（x）|=||x﹣2|﹣|x﹣4||≤|x﹣2﹣（x﹣4）|=2， 當且僅當（x﹣2）（x﹣4）≤0時取“=”， ∴﹣2≤f（x）≤2， 故m的范圍是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．