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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《二次函數(shù)》(1) 　　二次函數(shù)是最簡單的非線性函數(shù)之一，而且有著豐富內(nèi)涵。在中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)材中，對二次函數(shù)和二次方程，二次三項式及二次不等式以及它們的基本性質(zhì)，都有深入和反復(fù)的討論與練習(xí)。它對近代數(shù)學(xué)，乃至現(xiàn)代數(shù)學(xué)，影響深遠，為歷年來高考數(shù)學(xué)考試的一項重點考查內(nèi)容，歷久不衰，以它為核心內(nèi)容的重點試題，也年年有所變化，不僅如此，在全國及各地的高中數(shù)學(xué)競賽中，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容也是非常重要的命題對象。因此，必須透徹熟練地掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)。 學(xué)習(xí)二次函數(shù)的關(guān)鍵是抓住頂點（-b/2a，(4ac-b2)/4a），頂點的由來體現(xiàn)了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；圖象的平移歸結(jié)為頂點的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函數(shù)的對稱性（對稱軸x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x∈R），單調(diào)區(qū)間（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、極值（(4ac-b2)/4a），判別式（Δb2-4ac）與X軸的位置關(guān)系（相交、相切、相離）等，全都與頂點有關(guān)。 　　一、“四個二次型”概述 （一元）二次函數(shù) y=ax2+bx+c (a≠0) → a=0 → （一元）一次函數(shù) y=bx+c(b≠0) ↑ ↑ ↑ ↑ （一元）二次三項式 ax2+bx+c(a≠0) → a=0 → 　　一次二項式 　　bx+c(b≠0) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) → a=0 → 一元一次方程 bx+c=0(b≠0) ↓ ↓ ↓ 一元二次不等式 ax2+bx+c>0或 ax2+bx+c<0(a≠0) → a=0 → 一元一次不等式 bx+c>0或 bx+c<0(b≠0) 　　觀察這個框圖，就會發(fā)現(xiàn)：在a≠0的條件下，從二次三項式出發(fā)，就可派生出一元二次函數(shù)，一元二次方程和一元二次不等式來。故將它們合稱為“四個二次型”。其中二次三項式ax2+bx+c(a≠0)像一顆心臟一樣，支配著整個“四個二次型”的運動脈絡(luò)。而二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，猶如“四個二次型”的首腦或統(tǒng)帥：它的定義域即自變量X的取值范圍是全體實數(shù)，即n∈R；它的解析式f(x)即是二次三項式ax2+bx+c(a≠0)；若y=0，即ax2+bx+c=0（a≠0），就是初中重點研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0），就是高中一年級重點研究的一元二次不等式，它總攬全局，是“四個二次型”的靈魂。討論零值的一元二次函數(shù)即一元二次方程是研究“四個二次型”的關(guān)鍵所在，它直接影響著兩大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函數(shù)的零點；一元二次不等式的解集可看作二次函數(shù)的正、負值區(qū)間。心臟、頭腦、關(guān)鍵、主干、一句話，“四個二次型”聯(lián)系密切，把握它們的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化、相互利用，便于尋求規(guī)律，靈活運用，使學(xué)習(xí)事半功倍。 　　二、二次函數(shù)的解析式 　　上面提到，“四個二次型”的心臟是二次三項式：二次函數(shù)是通過其解析式來定義的（要特別注意二次項系數(shù)a≠0）；二次函數(shù)的性質(zhì)是通過其解析式來研究的。因此，掌握二次函數(shù)首先要會求解析式，進而才能用解析式去解決更多的問題。 　　y=ax2+bx+c(a≠0)中有三個字母系數(shù)a、b、c，確定二次函數(shù)的解析式就是確定字母a、b、c的取值。三個未知數(shù)的確定需要3個獨立的條件，其方法是待定系數(shù)法，依靠的是方程思想及解方程組。 　　二次函數(shù)有四種待定形式： 　　過三點A（x1,f (x1)）、B（x2,f (x2)）、C（x3,f (x3)）的二次函數(shù)可設(shè)為 　　f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把ABC坐標依次代入，即令x=x1,x2,x3,得 　　　　　　　　f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)， 　　　　　　　　f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)， 　　　　　　　　f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2) 　　解之，得：a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3)，a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3)，a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2) 從而得二次函數(shù)的三點式為： f(x)=[f(x1)/(x1-x2)](x1-x3)(x-x2)(x-x3)+[f(x2)/ (x2-x1)(x2-x3)](x-x1)(x-x3)+[f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)](x-x1)(x-x2) 根據(jù)題目所給的不同條件，靈活地選用上述四種形式求解二次函數(shù)解析式，將會得心應(yīng)手。 例題講解 元素與集合的關(guān)系 1. 集合={}，={}，，求實數(shù)的取值集合． 2. 考察所有可能的這樣拋物線，它們與坐標軸各有三個不同的交點，對于每一條這樣的拋物線，過其與坐標軸的三個交點作圓．證明：所有這些圓周經(jīng)過一定點． 3. 拋物線的頂點位于區(qū)域內(nèi)部或邊界上，求、的取值范圍． 4. 設(shè)=時，二次函數(shù)有最大值5，二次函數(shù)的最小值為－2，且＞0， +=,=25．求的解析式和值． 5. 已知0≤≤1, =,的最小值為． （1） 用表示；（2）求的最大值及此時的值． 6．函數(shù)=，∈[―,1―],該函數(shù)的最大值是25,求該函數(shù)取最大值時自變量的值． 7．一幢（＞2）層樓的公寓有一部電梯，最多能容納－1個人，現(xiàn)有－1個學(xué)生同時在第一層樓乘電梯，他們中沒有兩人是住同一層樓的．電梯只能停一次．停在任意選擇的一層．而對每一個學(xué)生而言，自已往下走一層感到一分不滿意，而往上走一層感到2分不滿意，問電梯停在哪一層，可使不滿意的總分達到最?。? 8．已知方程，其中＞1，證明：方程的正根比1小，負根比 －1大． 9．若拋物線與連接兩點（0，1），（2，3）的線段（包括、兩點）有兩個相異的交點，求的取值范圍． 10．設(shè)≥≥≥≥2，且＋＋≥，證明： 11．定義在上的奇函數(shù)，當≥0時，=－．另一個函數(shù)=的定義域為[,],值域為[],其中≠,、≠0．在∈[,]上, =．問:是否存在實數(shù),使集合{恰含有兩個元素? 課后練習(xí) 1． 已知二次函數(shù)的圖象過（－1,－6），（1，－2）和（2,3）三點，求二次函數(shù)的解析式。 2．二次函數(shù)的圖象通過點（2，－5），且它的頂點坐軸為（1，－8），求它的解析式 3．已知二次函數(shù)的圖象過（－2,0）和（3,0）兩點，并且它的頂點的縱坐標為125/4，求它的解析式。 4．已知二次函數(shù)經(jīng)過3點A（1/2，3/4）、B（－1,3）、C（2,3），求解析式。 5．當X為何值時，函數(shù) f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取最小值。 6．已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0　(k為實數(shù))的兩個實數(shù)根，x12+x22的最大值是：（ ） 　　　?。ˋ）19；　　　?。˙）18；　　　?。–）50/9　　(D)不存在 7．已知f (x)=x2-2x+2，在x∈[t,t+1]上的最小值為g (t)，求g (t)的表達式。 8．（1）當x2+2y2=1時，求2x+3y2的最值； 　 （2）當3x2+2y2=6x時，求x2+y2的最值。 課后練習(xí)答案 1．　　[解法一]：用標準式 　　∵圖象過三點（－1,－6）、（1，－2）、（2,3） 　　∴可設(shè)y=f(x)=ax2+bx+c，且有a-b+c=－6　①，a+b+c=－2 ②，4a+2b+c=3 ③ 　　解之得：a=1，b=2，c=－5 　　∴所求二次函數(shù)為y=x2+2x-5 　　[解法二]：用三點式 　　∵圖象過三點（－1，－6），（1，－2），（2,3） 　　∴可設(shè)y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2－ [a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)]x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2) 　　計算可得：a1=－6/(－1－1)(－1－2)=－1， 　　　　　　　a2=－2/ (1＋1)(1－2)=1， 　　　　　　　a3=3/ (2＋1)(2－1)=1 　　∴f(x)=x2＋2x－5 2．　　解：∵它的頂點坐標已知 　　∴可設(shè)f (x)=a(x－1)2－8 ，又函數(shù)圖象通過點（2，－5）， 　　∴a(2－1)2－8=－5 ，解之，得a=3 　　故所求的二次函數(shù)為：y=3(x－1)2－8 　　即：y=f (x)=3x2－6x－5 　　[評注]，以頂點坐標設(shè)頂點式a(x-h)2+k，只剩下二次項系數(shù)a為待定常數(shù)，以另一條件代入得到關(guān)于a的一元一次方程求a，這比設(shè)標準式要來得簡便得多。 3．　　解：∵（－2,0）和（3,0）是X軸上的兩點， 　　∴x1＝－2，x2＝3 可設(shè)y=f(x)=a(x+2)(x-3) 　　　　　　　=a(x2-x-6)=a[(x-1/2)2-25/4]=a(x-1/2)2-25/4a 它的頂點的縱坐標為－25/4a ，∴－25/4a=125/4，a=－5 故所求的二次函數(shù)為：f (x)=－5(x+2)(x-3)=－5x2+5x+30 　　[想一想]：本例能否用頂點式來求？ 4． [分析]本例當然可用標準式、三點式求解析式，但解方程組與求a1、a2、a3計算較繁。仔細觀察三點坐標特點或畫個草圖幫助分析，注意到三點的特殊位置，則可引出如下巧解。 　　[解法一]：頂點式：由二次函數(shù)的對稱性可知，點B、C所連線段的中垂線x=(-1+2)/2=1/2即為圖象的對稱軸，從而點A（1/2，3/4）必是二次函數(shù)的頂點，故可設(shè)頂點式:f(x)=a(x-(1/2))2+(3/4) 把B或C的坐標代入得：f(-1)=a(-3/2)2+(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3 解得：a=1 ，∴f(x)=(x-(1/2))2+3/4=x2-x+1 　　[解法二]由B、C的縱坐標相等可知B、C兩點是函數(shù)y=f (x)與直線y=3的交點，亦即B、C兩點的橫坐標是方程f (x)=3即f (x)-3=0的兩個根故可設(shè)零點式為： f (x)-3=a(x+1)(x-2) 把A點坐標代入，有　f (1/2)-3=a(1/2+1)(1/2-2)，即－9/4=－9/4a，a=1 從而f (x)=(x+1)(x-2)+3=x2-x+1 5.解：∵f (x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+…+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2…+an)x+(a12+a22+…+an2) 　　∴當x=((a1+a2+…+an)/n)時，f(x)有最小值。 　　[評注]：1994年全國普通高考命制了如下一個填空題，在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a1、a2、…，an共n個數(shù)據(jù)。我們規(guī)定的所測物理量的“最佳近似值”a是這樣一個量：與其它近似值比較，a與各數(shù)據(jù)差的平方和最小，依此規(guī)定，從a1,a2,…an推出a=　　　　讀者從5的解答中，能否悟到解決此題的靈感？ 6．解：由韋達定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5 　　∴x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5) 　　　　　　　 =-k2-10k-6=-(k+5)2+19 　　如果由此得K＝-5時，（x12+x22）max=19，選（A），那就錯了。為什么？已知該x1,x2是方程的兩個“實數(shù)”根，即方程必須有實數(shù)根才行，而此時方程的判別式Δ≥0，即 Δ＝(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16≥0 ① 解①得：-4≤k≤-4/3 　　∵k=-5[-4,-4/3]，設(shè)f(k)=-(k+5)2+19則f(-4)=18,f(-4/3)=50/9<18 　　∴當k=-4時，(x12+x22)max=18， 　　∴選（B） 　　[評注]：求二次函數(shù)最值時，必須首先考慮函數(shù)定義域。否則，審題不慎，忽略“實數(shù)”二字，就會掉進題目設(shè)置的“陷阱”中去了。 7．　　解：f (x)= (x-1)2+1 　　(1)當t+1<1即t<0時，g(t)=f(t+1)=t2+1 　　(2)當t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，g (t)=f (1)=1 　　(3)當t>1時，g(t)=f (t)=t2-2t+2 　　綜合（1）、（2）、（3）得： 8．解：（1）由x2+2y2=1得y2=1/2(1-x2)，代入2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2))(x-(2/3))2+(13/6) 又1-x2=2y2≥0，∴x2≤1，－1≤x≤1 　　∴當x=2/3時，y=(√10)/6，（2x+3y2）max=16/3； 　　　當x=-1時，y=0，?。?x+3y2）min=－2 (2)由3x2+2y2=6x，得y2=(3/2)x(2-x)，代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2 又y2=(3/2)x (2-x)≥0，得0≤x≤2 　　當x=2，y=0時，（x2+y2）max=4；當x=0，y=0時，(x2+y2)min=0 例題答案： 1．解：、分別表示函數(shù)與函數(shù)的值域．由≥3知=[3，＋∞）．而受參數(shù)的影響，要進行討論． =0時，，值域是符合條件． ≠0時，=是二次函數(shù)，如果＜0，該函數(shù)的值域為，這時不成立．如果＞0時，由[3，＋∞][，＋∞],得 ∴　0＜≤1 綜上所述, 的可取值集合為{|0≤≤1}。 說明：參數(shù)的取值決定了函數(shù)=的類別及性質(zhì)，因而對該函數(shù)的值域有影響．為了由求出的允許值范圍，必須對參數(shù)分情況討論． 2．證明：設(shè)拋物線與軸的交點為（，0）、（，0）．由韋達定理知＜0 (因為=0,則與坐標軸只有兩個不同的交點),故點（，0）、（，0）在坐標原點的兩側(cè)．又因為，由相交弦定理的逆定理知，點（，0）、（，0）、（0，），（0，1）在同一個圓周上，即過拋物線與坐標軸的三個交點（，0）、（，0）、（0，）的圓一定過定點（0，1）．于是所有的這些圓周均經(jīng)過一定點（0，1）． 3．解：拋物線的頂點坐標為（），故 ， 上式即為、的取值范圍． 4．解：由題設(shè)=5，=25，=，所以 =30，解得 =1 （= －17舍去）．由于在=1時有最大值5，故設(shè) = 所以 =－=，因的最小值為－2，故,所以．從而=． 5．解：（1）把改寫成=．于是知是頂點為（），開口向上的拋物線．又因為∈[0,1],故當0＜≤1，即0＜≤2時，的最小值為； 當＞1,即＞2時，有最小值．于是 （2）當＞2時，的值小于0，而當0＜≤2時，=，它的最大值為（當=1時取得），故的最大值為，此時=1． 說明：對于某些在給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，往往需要把頂點和區(qū)間端點結(jié)合起來考慮． 6．分析：限定在區(qū)間[―,1―]上的函數(shù)的最大值要考慮到在這個區(qū)間上的單調(diào)情況．當可取任意實數(shù)時，二次函數(shù)的圖象是對稱軸為開口向下的拋物線，與區(qū)間[―,1―]的位置關(guān)系決定了已知函數(shù)的單調(diào)狀況，因此要分區(qū)間討論． 當∈[―,1―],即時,最大值應(yīng)是．由=25, 2=,不符合的條件．可見． 當＞1―,即＞時，函數(shù)=，∈[―,1―]是增函數(shù)，可見，解之得=或=．其中=不合＞的條件，舍去．可見1―=1－=－． 當＜―，即＜時,函數(shù)=是[―,1―]是減函數(shù),可見,解之得=或=．其中=不合＜的條件,舍去,由此知=． 綜上所述,當=－或=時, 函數(shù)有最大值25． 說明：由點與區(qū)間[―,1―]的位置關(guān)系引起的分類討論是“形”對“數(shù)”的引導(dǎo)作用．本題中雖然只是求函數(shù)取最大值時的自變量的值，沒有問的值，但這個值與值有直接關(guān)系，所以要先求再求． 7．解：設(shè)電梯停在第層，則不滿意的總分為=（1＋2＋…＋－2）＋2（1＋2＋…＋－）=,所以當=時，最小，其中表示最接近于的整數(shù)．例如,故當電梯停在時，不滿意總分最?。? 8．證明：原方程整理后，得=0，令=，則是開口向上的拋物線，且，故此二次函數(shù)=0有一個正根，一個負根．要證明正根比1小，只須證，要證明負根比 －1大，只須證＞0．因為 從而命題得證． 9．解：易知過兩點（0，1）、（2，3）的直線方程為，而拋物線與線段有兩個交點就是方程在區(qū)間[0，2]上有兩個有兩個不等的實根．令．則 解得的范圍為≤≤－1． 說明：利用二次函數(shù)來研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段． 10．證明：令＝＋＋,,則原不等式為,即=0，令=,則只需證明≤0．因，而≤，所以,從而＞0，與軸有兩個不同的交點．易知這兩個交點為，下證∈[]． ，只需證[][],即,由于， 所以∈[]，從而必有≤0． 解法二：只需證明≤0，而，因此只需證而，，由可證得 說明：通過構(gòu)造二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)來證明一些不等式問題，往往會使問題簡化． 11．分析：{}是以軸為對稱軸由=的圖象平移所形成的拋物線系．對給定的它表示一條拋物線，條件恰含有兩個元素的意思是函數(shù)=，∈[,]的圖象與拋物線恰有兩個交點．首先要弄清楚=，∈[,]，進而作出它的圖象． 容易求出奇函數(shù)=在＜0時的解析式是=．即 = 函數(shù)=的定義域為[,],值域為[],其中≠,、≠0，這表明 可見、同號．也就是說=，∈[,]的圖象在第一或第三象限內(nèi)．根據(jù)=（∈[,]以及的圖象可知，函數(shù)的圖象如所示曲線的一部分． 值域與函數(shù)的單調(diào)狀況有關(guān)，又與定義域有關(guān)．如果只考慮0＜＜＜2或－2＜＜＜0兩種情況，不能準確地用,、表示出值域區(qū)間的端點，因此要把區(qū)間（0，2），（－2，0）再分細一些，由圖中看出，當、＞0時，考慮以下三種情況較好．0＜＜≤1，0＜＜1＜，1≤＜＜2． 如果0＜＜≤1，那么＞1．但是∈（0，1]時，≤1,這與的值域區(qū)間[]的右端點大于1矛盾．可見不出現(xiàn)0＜＜≤1的情形． 如果1≤＜＜2，由圖看出是減函數(shù)，可見整理得 ，考慮到1≤＜＜2的條件，解之得． 完全類似地，考慮到－1≤＜＜0，－2＜＜－1＜＜0，－2＜＜≤－1三種情況后,可以在－2＜＜≤－1的情況下通過值域條件得出 ，這就得到了函數(shù) 對于某個，拋物線與函數(shù)的圖象有兩個交點時，一個交點在第一象限，一個交點在第三象限．因此，應(yīng)當使方程，在[1，]內(nèi)恰有一個實數(shù)根，并且使方程，在[]內(nèi)恰有一個實數(shù)根．問題歸結(jié)為求，使由（1）得，方程在內(nèi)恰有一根，設(shè)，則即，由（2）得，即，∴＝－2．易證，拋物線與函數(shù)圖象恰有兩個交點（―1,―1）和（ 綜上所述：題目條件下的實數(shù)＝－2． 說明：解題過程可分為“求函數(shù)”，“求函數(shù)”，“求”三個階段．求函數(shù)的關(guān)鍵步驟是求的值．運用了數(shù)形結(jié)合的方法和分類討論的運算過程，最終把求的問題化歸到求一次方程和二次方程的一定范圍內(nèi)有解的問題． 可以看出，當∈(－2,0)時,拋物線與函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)有一個交點,當∈時,在第三象限內(nèi)有一個交點．