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3.1.4空間向量的正交分解 及其坐標表示,由平面向量基本定理知,平面內(nèi)的任意一個向量 都可以用兩個不共線的向量 來表示.,,,,,,,,,,,那么，對于空間的任意一個向量,有沒有類似的結論呢?,一、空間向量基本定理：,如圖，設 是空間三個兩兩垂直的向量，且有公共 起點O。對于空間任意一個向量 ,設點Q為點P在 所確定的平面上的正投影，,從而，有：,我們稱 為向量 在 上的分向量。,由此可知，如果 是空間三個兩兩垂直的向量，那么，對空間任一個向量 ，存在一個有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得,在空間中，如果用任意三個不共面向量 代 替兩兩垂直的 向量,能得到類似的結論嗎？,空間向量基本定理： 如果三個向量 不共面，那么對空間任一向量 ,存在有序?qū)崝?shù)組{x , y , z}， 使得,{ }叫做空間的一個基底， 都叫做基向量。,思考：,思考:基底應注意什么呢?,1.任意三個不共面的向量都可作為空間向量的一個基底,2.三個基向量每一個都不能為零向量,3.一個基底是指一個向量組,一個基向量是指一個向量,二、空間向量的正交分解及其坐標表示,,,,,,,,,,x,y,z,O,e3,,,,,,,P,,P′,P,e1,e2,例1 設 且 是空間的一個基底,給出下列向量組 ② ③ ④ ,其中可以作為空間的基底的向量組有( ) A. 1個 B. 2個 C. 3個 D.4個,分析:能否作為空間的基底,即是判斷給出的向量組中的三個下向量是否共面,由于 是不共面的向量,所以可以構造一個平行六面體直觀判斷,設 ,易判斷出答案,C,例題講解：,例2、如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA， BC的中點，P，Q是MN的三等分點。用向量 表示 和 。,變式,空間四邊形OABC中,M在OA上,OM=3MA,N在BC上,且BN=2NC,設 ,用向量 表示,小結： 1、選定空間不共面的三個向量作為基向量,并用它們表示出指定的向量,是用向量解決立體幾何問題的基本要求； 2、求解時要結合已知和所求觀察圖形,聯(lián)想相關的運算法則和公式,就近表示所需向量,再對照目標進行調(diào)整,直到符合要求.,作業(yè)：課本P98：10 11,