2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.8立體幾何中的向量方法(二)求空間角和距離學(xué)案.doc
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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.8立體幾何中的向量方法(二)求空間角和距離學(xué)案 最新考綱 考情考向分析 1.能用向量方法解決直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面所成角的計(jì)算問(wèn)題． 2.了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用. 本節(jié)是高考中的必考內(nèi)容，涉及用向量法計(jì)算空間異面直線(xiàn)所成角、直線(xiàn)和平面所成角、二面角及空間距離等內(nèi)容，考查熱點(diǎn)是空間角的求解．題型以解答題為主，要求有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，廣泛應(yīng)用函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想. l1與l2所成的角θ a與b的夾角β 范圍 [0，π] 求法 cos θ＝ cos β＝ 2.直線(xiàn)與平面所成角的求法 設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線(xiàn)l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sin θ＝|cos β|＝. 3．求二面角的大小 (1)如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線(xiàn)，則二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿(mǎn)足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)． 知識(shí)拓展 利用空間向量求距離(供選用) (1)兩點(diǎn)間的距離 設(shè)點(diǎn)A(x1，y1，z1)，點(diǎn)B(x2，y2，z2)，則|AB|＝||＝. (2)點(diǎn)到平面的距離 如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線(xiàn)段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為||＝. 題組一 思考辨析 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)兩直線(xiàn)的方向向量所成的角就是兩條直線(xiàn)所成的角．( ) (2)直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線(xiàn)與平面所成的角．( ) (3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角．( ) (4)兩異面直線(xiàn)夾角的范圍是，直線(xiàn)與平面所成角的范圍是，二面角的范圍是[0，π]．( √ ) (5)若二面角α－a－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量n1，n2所成角為θ，則二面角α－a－β的大小是π－θ.( ) 題組二 教材改編 2．[P104T2]已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為( ) A．45 B．135 C．45或135 D．90 答案 C 解析 cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45. ∴兩平面所成二面角為45或180－45＝135. 3．[P117A組T4(2)]如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為_(kāi)_____． 答案 解析 以A為原點(diǎn)，以，(AE⊥AB)，所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸(如圖)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D為A1B1的中點(diǎn)， 則A(0,0,0)，C1(1，，2)，D(1,0,2)，∴＝(1，，2)， ＝(1,0,2)． ∠C1AD為AC1與平面ABB1A1所成的角， cos∠C1AD＝ ＝＝， 又∵∠C1AD∈，∴∠C1AD＝. 題組三 易錯(cuò)自糾 4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)直三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則可得A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，∴＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)． ∴cos〈，〉＝ ＝＝ ＝. 5．已知向量m，n分別是直線(xiàn)l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為_(kāi)_______． 答案 30 解析 設(shè)l與α所成角為θ，∵cos〈m，n〉＝－， ∴sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∵0≤θ≤90，∴θ＝30. 6．過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線(xiàn)段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面ABP與平面CDP所成的角為_(kāi)_____． 答案 45 解析 如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝PA＝1， 則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)， 由題意，知AD⊥平面PAB，設(shè)E為PD的中點(diǎn)，連接AE，則AE⊥PD， 又CD⊥平面PAD， ∴CD⊥AE，從而AE⊥平面PCD. ∴＝(0,1,0)，＝分別是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈，〉＝45. 故平面PAB與平面PCD所成的角為45. 題型一 求異面直線(xiàn)所成的角 典例 如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)證明：平面AEC⊥平面AFC； (2)求直線(xiàn)AE與直線(xiàn)CF所成角的余弦值． (1)證明 如圖所示，連接BD，設(shè)BD∩AC＝G，連接EG，F(xiàn)G，EF. 在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB＝1. 由∠ABC＝120， 可得AG＝GC＝. 由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC. 在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝. 在Rt△FDG中，可得FG＝. 在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，從而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG. 又AC∩FG＝G，AC，F(xiàn)G?平面AFC， 所以EG⊥平面AFC. 因?yàn)镋G?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC. (2)解 如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GB，GC所在直線(xiàn)為x軸，y軸，||為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，F(xiàn)，C(0，，0)， 所以＝(1，，)，＝. 故cos〈，〉＝＝－. 所以直線(xiàn)AE與直線(xiàn)CF所成角的余弦值為. 思維升華 用向量法求異面直線(xiàn)所成角的一般步驟 (1)選擇三條兩兩垂直的直線(xiàn)建立空間直角坐標(biāo)系； (2)確定異面直線(xiàn)上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線(xiàn)的方向向量； (3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值； (4)兩異面直線(xiàn)所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值． 跟蹤訓(xùn)練 (xx廣東五校第一次診斷)如圖所示，菱形ABCD中，∠ABC＝60，AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2. (1)求證：BD⊥平面ACFE； (2)當(dāng)直線(xiàn)FO與平面BED所成的角為45時(shí)，求異面直線(xiàn)OF與BE所成角的余弦值的大?。? (1)證明 ∵四邊形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC. ∵AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴BD⊥AE. 又∵AC∩AE＝A，AC，AE?平面ACFE， ∴BD⊥平面ACFE. (2)解 以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，過(guò)O且平行于CF的直線(xiàn)為z軸(向上為正方向)，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1,0,2)，F(xiàn)(－1,0，a)(a>0)，＝(－1,0，a)． 設(shè)平面EBD的法向量為n＝(x，y，z)， 則有即 令z＝1，則n＝(－2,0,1)， 由題意得sin 45＝|cos〈，n〉|＝ ＝＝， 解得a＝3或a＝－(舍去)． ∴＝(－1,0,3)，＝(1，－，2)， cos〈，〉＝＝， 故異面直線(xiàn)OF與BE所成角的余弦值為. 題型二 求直線(xiàn)與平面所成的角 典例 (xx全國(guó)Ⅲ)如圖，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)． (1)證明：MN∥平面PAB； (2)求直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值． (1)證明 由已知得AM＝AD＝2. 取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC的中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT. 因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB. (2)解 取BC的中點(diǎn)E，連接AE. 由AB＝AC得AE⊥BC， 從而AE⊥AD，AE＝ ＝ ＝. 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. 由題意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，＝(0,2，－4)，＝，＝. 設(shè)n＝(x，y，z)為平面PMN的法向量，則 即可取n＝(0,2,1)． 于是|cos〈n，〉|＝＝. 設(shè)AN與平面PMN所成的角為θ，則sin θ＝， 即直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值為. 思維升華 利用向量法求線(xiàn)面角的方法 (1)分別求出斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影直線(xiàn)的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)； (2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線(xiàn)和平面所成的角． 跟蹤訓(xùn)練 如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)證明：AC⊥B1D； (2)求直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角的正弦值． (1)證明 易知AB，AD，AA1兩兩垂直， 如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)， B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)． 從而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)， 因?yàn)锳C⊥BD，所以＝－t2＋3＋0＝0， 解得t＝或t＝－(舍去)． 于是＝(－，3，－3)，A＝(，1,0)， 因?yàn)椋剑?＋3＋0＝0， 所以⊥，即AC⊥B1D. (2)解 由(1)知，＝(0,3,3)，A＝(，1,0)， ＝(0,1,0)， 設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量， 則 即 令x＝1，則n＝(1，－，)． 設(shè)直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成的角為θ， 則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝， 即直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為. 題型三 求二面角 典例 (xx全國(guó)Ⅱ)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90，E是PD的中點(diǎn)． (1)證明：直線(xiàn)CE∥平面PAB； (2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線(xiàn)BM與底面ABCD所成角為45，求二面角M-AB-D的余弦值． (1)證明 取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF. 因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD，EF＝AD. 由∠BAD＝∠ABC＝90，得BC∥AD，又BC＝AD， 所以EF綊BC，四邊形BCEF是平行四邊形，CE∥BF， 又BF?平面PAB，CE?平面PAB， 故CE∥平面PAB. (2)解 由已知得BA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，||為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)， B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)． 設(shè)M(x，y，z)(0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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