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2019-2020 年高中數(shù)學 橢圓的幾何性質(zhì)知識精講 文 蘇教版選修 1-1 【本講教育信息】 一. 教學內(nèi)容： 橢圓的幾何性質(zhì) 二. 教學目標： 通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形， 并了解橢圓的一些實際應用． 通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學，培養(yǎng)學生分析問題和解決實際問題的能力． 使學生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關 系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等． 三. 重點、難點： 重點：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運用． 難點：橢圓離心率的概念的理解． 四. 知識梳理 1、幾何性質(zhì) （1）范圍，即| x|≤ a，| y|≤ b，這說明橢圓在直線 x＝ a 和直線 y＝ b 所圍成的矩 形里．注意結(jié)合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點． （2）對稱性 把 x 換成－ x，或把 y 換成－ y，或把 x、 y 同時換成－ x、－ y 時，方程都不變，所以 圖形關于 y 軸、 x 軸或原點對稱 （3）頂點 在中，須令 x＝0，得 y＝ b，點 B1（0，－ b） 、 B2（0， b）是橢圓和 y 軸的兩個交點； 令 y＝0，得 x＝ a，點 A1（－ a，0） 、 A2（ a，0）是橢圓和 x 軸的兩個交點．橢圓有四個 頂點 A1（－ a，0） 、 A2（ a，0） 、 B1（0，－ b） 、 B2（0， b） ． ①線段 A1A2、線段 B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于 2a 和 2b； ② a、 b 的幾何意義： a 是長半軸的長， b 是短半軸的長； （4）離心率 教師直接給出橢圓的離心率的定義：橢圓的焦距與長軸的比 橢圓的離心率 e 的取值范圍：∵ a＞ c＞0，∴ 0＜ e＜1． 當 e 接近 1 時， c 越接近 a，從而 b 越接近 0，因此橢圓越扁； 當 e 接近 0 時， c 越接近 0，從而 b 越接近 a，因此橢圓接近圓； 當 e＝0 時， c＝0， a＝ b 兩焦點重合，橢圓的標準方程成為 x2＋ y2＝ a2，圖形就是圓 了． 2、性質(zhì)歸納為如下表： 標準方程 圖像 y x F1 O A1 B1 B A2 F2 y x F1 OA1 B1 B2A2 F2 范圍 ， ， 對稱性 關于 x 軸、 y 軸均對稱，關于原點中心對稱 頂點坐標 長軸端點 A1（－ a，0） ， A2（ a，0） ；短軸端點 B 1（0，－ b） ， B2（0， b） 長軸端點 A1（0，－ a） ， A2（0， a） ； 短軸端點 B1（－ b，0） ， B2（ b，0） 焦點坐標 F1（－ c，0） ， F2（ c，0） F1（0，－ c） ， F2（0， c） 半軸長 長半軸長： a，短半軸長： b 焦距 2c a， b， c 關系 離心率 【典型例題】 例 1. 求橢圓 16x2＋25 y2＝400 的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描 點法畫出它的圖形． 解：（1）列表。將 254165x????變 形 為 ，根據(jù)在第一象限的范圍內(nèi)算 出幾個點的坐標（ x， y） （2）描點作圖．先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫 出整個橢圓． OF2F1 例 2. 若橢圓的離心率為 e＝，求實數(shù) k 的值。 解：當焦點在 x 軸上時，有得 k＝8. 當焦點在 y 軸上時，有得 k＝. 所求的 k＝8 或。 例 3. 若橢圓的對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦 點到橢圓上點的距離的最小值為，求橢圓的方程。 解： 22231199acaxyx???????????????所 求 的 橢 圓 方 程 為 或 ∴所求的橢圓方程為 1或 例 4. 橢圓（ a>b>0）上一點 M 與兩焦點 F1， F2所成的角∠ F1MF2＝ α ，求證△ F1MF2的面 積為 b2tan. 解：設 M F1＝ m， M F2＝ n， 則 m＋ n＝2 a，且 4c2＝ m2＋ n2－2 mncosα ＝（ m＋ n） 2－2 mn（1＋ cosα ） 4b2＝2 mn（1＋ cosα ） sisi taoSbb????? 例 5. 如圖，橢圓的長短軸端點為 A， B，過中心 O 作 AB 的平行線，交橢圓上半部分于點 P，過 P 作 x 軸的垂線恰過左焦點 F1，過 F1再作 AB 的平行線交橢圓于 C， D 兩點，求橢圓 的方程。 y B x O A F2 F1 D P 解：設所求的橢圓方程為（ a>b>0） 則 P（－ c， ） ， 又 AB∥ OP∴ 2 22bxcyca????橢 圓 方 程 可 化 為 直線 CD 的方程為 y＝（ x－ c） ，將其代入橢圓方程化簡得，2 x2－2 cx－ c2＝0 ∵ 3]4)[(3)(1121????xCD ∴ 所求的橢圓方程為 【模擬試題】 （答題時間：60 分鐘 滿分：100 分） 一、選擇題（5 分8＝40 分） 1、已知橢圓上一點 P 到橢圓一個焦點的距離是 3，則 P 點到另一個焦點的距離為： （ ） A、2 B、3 C、5 D、7 2、橢圓的一個焦點與兩個頂點為等邊三角形的三個頂點，則橢圓的長軸長是短軸長的（ ） A、倍 B、2 倍 C、倍 D、倍 3、橢圓的一個焦點為 F1，點 P 在橢圓上，如果線段 PF1的中點 M 在 y 軸上，那么點 M 的 縱坐標是：（ ） A、 B、 C、 D、 4、以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的焦點，則橢圓的離心率為 （ ） A、 B、 C、 D、 5、橢圓（ a>b>0）的半焦距為 c，若直線 y＝2 x 與橢圓的一個交點的橫坐標恰好為 c，則 橢圓的離心率為（ ） A、 B、 C、 D、 6、若以橢圓上的一點和兩個焦點為頂點的三角形面積的最大值為 1，則此橢圓長軸的長 的最小值為（ ） A、1 B、 C、2 D、2 7、橢圓的兩個焦點分別為 F1、 F2，以 F2為圓心且過橢圓中心的圓與橢圓的一個交點為 M，已知直線 F1M 與圓 F2相切，則離心率為 （ ） A、 B、 C、 D、 8、設橢圓（ a>b>0）的兩個焦點分別為 F1、 F2， P 是橢圓上一點，若 PF1⊥ PF2， 則｜ PF1－ PF2｜等于（ ） A、 B、2 C、 D、2 二、填空題（5 分4＝20 分） 9、平面上點 P 到兩個定點 A、 B 的距離之和等于| AB|，則 P 點軌跡是 。 10、已知對稱軸為坐標軸，長軸長為 6，離心率為的橢圓方程為 。 11、橢圓的離心率為，則實數(shù) m 的值為 。 12、若 M 為橢圓上一點， F1， F2是橢圓的兩個焦點，且∠ MF1F2＝2∠ MF2F1＝2 α （ α ≠0） ， 則橢圓的離心率是 。 三、解答題（共 40 分） 13、 （滿分 8 分）已知橢圓的焦點在軸上，焦距是 4，且經(jīng)過，求此橢圓的方程。 14、 （滿分 10 分）若點在橢圓上，分別是橢圓的兩個焦點，且，求的面積。 15、 （滿分 10 分）已知中心在原點，焦點在 x 軸上的橢圓左頂點 A，上頂點 B，左焦點 F1到直線 AB 的距離為| OB|，求橢圓的離心率。 16、 （滿分 12 分）已知 F1（－3，0） ， F2（3，0）分別是橢圓的左、右焦點， P 是該橢圓 上的點，滿足 PF2⊥ F1F2，∠ F1PF2的平分線交 F1F2于 M（1，0） ，求橢圓方程。 【試題答案】 一、選擇題 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B D D C B 二、填空題 9、線段 AB 10、 2211595xyx??或 11、 m＝3 或 m＝ 12、 三、解答題 13、解：因為焦距為 4，所以 即 ①…………3′ 設橢圓方程為 因為在橢圓上 所以 ②…………6′ 由①②得 所以橢圓方程為…………8′ 14、解：設 由橢圓得…………2′ 即 ①…………4′ 是直角三角形 4 ②…………6′ 由①②得…………8′ 所以…………10′ 15、解：直線 AB 的方程為 bx－ ay＋ ab＝0，…………4′ 則左焦點 F1（－ c，0）到其距離為2|78bae???? ? ?? ? ? 16、解： PF2⊥ F1F2， PF2＝，…………2′ ∵，………………4 …………………………6 abPa223??? ………………8 又………………10 ………………11 所求的橢圓方程為……………………12