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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《數(shù)學(xué)方法選講》2 四、從反面考慮 　　解數(shù)學(xué)題，需要正確的思路。對于很多數(shù)學(xué)問題，通常采用正面求解的思路，即從條件出發(fā)，求得結(jié)論。但是，如果直接從正面不易找到解題思路時(shí)，則可改變思維的方向，即從結(jié)論入手或從條件及結(jié)論的反面進(jìn)行思考，從而使問題得到解決。 1．某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)一共出了10道題，評分方法如下： 　每答對一題得4分，不答題得0分，答錯(cuò)一題倒扣1分，每個(gè)考生預(yù)先給10分作為基礎(chǔ)分。問：此次測驗(yàn)至多有多少種不同的分?jǐn)?shù)？ 2．一支隊(duì)伍的人數(shù)是5的倍數(shù)，且超過1000人。若按每排4人編隊(duì)，則最后差3人；若按每排3人編隊(duì)，則最后差2人；若按每排2人編隊(duì)，則最后差1人。問：這支隊(duì)伍至少有多少人？ 3．在八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)上是否可以分別記上數(shù)1，2，…，8，使得任意三個(gè)相鄰的頂點(diǎn)上的數(shù)的和大于13？ 4．有一個(gè)1000位的數(shù)，它由888個(gè)1和112個(gè)0組成，這個(gè)數(shù)是否可能是一個(gè)平方數(shù)？ 五、從特殊情況考慮 　　對于一個(gè)一般性的問題，如果覺得難以入手，那么我們可以 　　先考慮它的某些特殊情況，從而獲得解決的途徑，使問題得以“突破”，這種方法稱為特殊化。 　　對問題的特殊情況進(jìn)行研究，一方面是因?yàn)檠芯刻厥馇闆r比研究一般情況較為容易；另一方面是因?yàn)樘厥獾那闆r含有一般性，所以對特殊情況的研究常能揭示問題的結(jié)論或啟發(fā)解決問題的思路，它是探索問題的一種重要方法。 　　運(yùn)用特殊化方法進(jìn)行探索的過程有兩個(gè)步驟，即先由一般到特殊，再由特殊到一般。通過第一步驟得到的信息，還要回到一般情況予以解答。 5．如下圖，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，且邊長均為2cm。又E點(diǎn)是正方形 ABCD的中心，求兩個(gè)正方形公共部分（圖中陰影部分）的面積S。 6．是否在平面上存在這樣的40條直線，它們共有365個(gè)交點(diǎn)？ 7．如右圖，正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處標(biāo)注的數(shù)字為a，b，c，d，e， 　　求（a+b+c+d）-（e+f+g+h）的值。 8．將n2個(gè)互不相等的數(shù)排成下表： a11　 a12　a13　… a1n a21 　a22　a23　… a2n an1　an2　an3　… ann 　　先取每行的最大數(shù)，得到n個(gè)數(shù)，其中最小數(shù)為x；再取每列的最小數(shù)，也得到n個(gè)數(shù)，其中最大數(shù)為y。試比較x和y的大小。 六、有序化 　　當(dāng)我們研究的對象是一些數(shù)的時(shí)候，我們常常將這些數(shù)排一個(gè)次序，即將它們有序化。有序化的假設(shè)，實(shí)際上是給題目增加了一個(gè)可供使用的條件。 9．將10到40之間的質(zhì)數(shù)填入下圖的圓圈中，使得3組由“→”所連的4個(gè)數(shù)的和相等，如果把和數(shù)相等的填法看做同一類填法，請說明一共有多少類填法？并畫圖表示你的填法。 10．有四個(gè)互不相等的數(shù)，取其中兩個(gè)數(shù)相加，可以得到六個(gè)和：24，28，30，32，34，38。求此四數(shù)。 11．互不相等的12個(gè)自然數(shù)，它們均小于36。有人說，在這些自然數(shù)兩兩相減（大減小）所得到的差中，至少有3個(gè)相等。你認(rèn)為這種說法對嗎？為什么？ 12．有8個(gè)重量各不相同的物品，每個(gè)物品的重量都是整克數(shù)且都不超過15克。想以最少的次數(shù)用天平稱出其中最重的物品。他用了如下的測定法： 　?。?）把8個(gè)物品分成2組，每組4個(gè)，比較這2組的輕重； 　　（2）把以上2組中較重的4個(gè)再分成2組，即每組2個(gè)，再比較它們的輕重； 　　（3）把以上2組中較重的分成各1個(gè)，取出較重的1個(gè)。 　　稱了3次天平都沒有平衡，最后便得到一個(gè)物品。 　　可是實(shí)際上得到的是這8個(gè)物品當(dāng)中從重到輕排在第5的物品。 　　問：找出的這個(gè)物品有多重？并求出第二輕的物品重多少克？ 課后練習(xí) 1.育才小學(xué)40名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競賽，用15分記分制（即分?jǐn)?shù)為0，1，2，…，15）。全班總分為209分，且相同分?jǐn)?shù)的學(xué)生不超過5人。試說明得分超過12分的學(xué)生至多有9人。 2.今有一角紙幣、二角紙幣、五角紙幣各1張，一元幣4張，五元幣2張，用這些紙幣任意付款，一共可以付出多少種不同數(shù)額的款項(xiàng)？ 3.求在8和98之間（不包括8和98），分母為3的所有最簡分?jǐn)?shù)的和。 　　4.如右圖，四邊形ABCD的面積為3，E，F(xiàn)為邊AB的三等分點(diǎn)，M，N是CD邊上的三等分點(diǎn)。求四邊形EFNM的面積。 5.直線上分布著xx個(gè)點(diǎn)，我們標(biāo)出以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的一切可能線段的中點(diǎn)。問：至少可以得到多少個(gè)互不重合的中點(diǎn)？ 6.假定100個(gè)人中的每一個(gè)人都知道一個(gè)消息，而且這100個(gè)消息都不相同。為了使所有的人都知道一切消息，他們一共至少要打多少個(gè)電話？ 7.有4個(gè)互不相等的自然數(shù)，將它們兩兩相加，可以得到6個(gè)不同的和，其中較小的4個(gè)和是64，66，68，70。求這4個(gè)數(shù)。 8.有五個(gè)砝碼，其中任何四個(gè)砝碼都可以分成重量相等的兩組。問：這五個(gè)砝碼的重量相等嗎？為什么？ 課后練習(xí)答案 　　1.若得分超過12分的學(xué)生至少有10人，則全班的總分至少有 　　5（12+13）+5（0+1+2+3+4+5）=210（分）， 　　大于條件209分，產(chǎn)生了矛盾，故得分超過12分的學(xué)生至多有9人。 　　2.119種。 　　解：從最低幣值1角到最高幣值14元8角，共148個(gè)不同的幣值。再從中剔除那些不能由這些紙幣構(gòu)成的幣值。 　　經(jīng)計(jì)算，應(yīng)該剔除的幣值為（i+0.4）元（i=0，1，2，…，14）及（j+0.9）元（j=1，2，3，…，13），一共29種幣值。所以，一共可以付出148-29=119（種）不同的幣值。 　　3.9540。 　　 　　　=2（8+9+…+97）+（97-8+1）=9540。 　　4.1。 　　解：先考慮ABCD是長方形的特殊情況，顯然此時(shí)EFNM的面積是1。下面就一般情況求解。 　　連結(jié)AC，AM，F(xiàn)M，CF，則 　　 　　 　　　 　　5.3993個(gè)。 　　解：為了使計(jì)算互不重復(fù)，我們?nèi)【嚯x最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)A，B。先計(jì)算以A為左端點(diǎn)的所有線段，除B外有1996條，這些線段的中點(diǎn)有1996個(gè)，它們互不重合，且到點(diǎn)A的距離小于AB長度的一半。 　　同樣，以B為右端點(diǎn)的所有線段，除A外有1996條，這些線段的中點(diǎn)有1996個(gè)，它們互不重合，且到點(diǎn)A的距離小于AB長度的一半。 　　這兩類中點(diǎn)不會重合，加上AB的中點(diǎn)共有1996+1996+1=3993（個(gè)），即互不重合的中點(diǎn)不少于3993個(gè)。 　　另一方面，當(dāng)這xx個(gè)點(diǎn)中每兩個(gè)相鄰點(diǎn)的間隔都相等時(shí)，不重合的中點(diǎn)數(shù)恰為3993。 　　這說明，互不重合的中點(diǎn)數(shù)至少為3993個(gè)。 　　6.198個(gè)。 　　解：考慮一種特殊的通話過程：先由99人每人打一個(gè)電話給A，A再給99人每人打一個(gè)電話，這樣一共打了198個(gè)電話，而且每人都知道了所有的消息。 　　下面我們說明這是次數(shù)最少的。考慮一種能使所有人知道一切消息的通話過程中的關(guān)鍵性的一次通話，這次通話后，有一個(gè)接話人A知道了所有的消息，而在此之前還沒有人知道所有的消息。 　　除了A以外的99人每人在這個(gè)關(guān)鍵性的通話前，必須打出電話一次，否則A不可能知道所有的消息；又這99人每人在這個(gè)關(guān)鍵性的通話后，又至少收到一個(gè)電話，否則它們不可能知道所有的消息。 　　7.30，34，36，38或31，33，35，39。 　　解：設(shè)4個(gè)數(shù)為a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，則6個(gè)和為a+b，a+c，a+d，b+c，b+d，c+d。于是有 　　a+b＜a+c＜a+d＜b+d＜c+d 　　和a+b＜a+c＜b+c＜b+d＜c+d。 　　分別解這兩個(gè)方程組，得 　　8.相等。 　　解：設(shè)這五個(gè)砝碼的重量依次為a≤b≤c≤d≤e。 　　去掉e，則有a+d=b+c； ① 　　去掉d，則有a+e=b+c。 ② 　　比較①②，得d=e。 　　去掉a，則有b+e=c+b； ③ 　　去掉b，則有a+e=c+d。 ④ 　　比較③④，得a=b。 將a=b代入①得c=d，將d=e代入④得b=c。所以e=b=c=d=e。 例題答案： 1．　　分析：最高的得分為50分，最低的得分為0分。但并不是從0分到50分都能得到。 　　從正面考慮計(jì)算量較大，故我們從反面考慮，先計(jì)算有多少種分?jǐn)?shù)達(dá)不到，然后排除達(dá)不到的分?jǐn)?shù)就可以了。 　　解：最高的得分為50分，最低的得分為0分。在從0分到50分這51個(gè)分?jǐn)?shù)中，有49，48，47，44，43，39這6種分?jǐn)?shù)是不能達(dá)到的，故此次測驗(yàn)不同的分?jǐn)?shù)至多有51-6=45（種）。 2．　　分析：從條件“若按每排4人編隊(duì)，則最后差3人”的反面來考慮，可理解為“若按每排4人編隊(duì)，則最后多1人”。同理，按3人、2人排隊(duì)都可理解為多1人。即總?cè)藬?shù)被12除余1。這樣一來，原題就化為： 　　一個(gè)5的倍數(shù)大于1000，且它被12除余1。問：這個(gè)數(shù)最小是多少？ 　　解：是5的倍數(shù)且除以12余1的最小自然數(shù)是25。因?yàn)槿藬?shù)超過1000，[3，4，5]=60，所以最少有 　　25+6017=1045（人）。 3．　　解：將八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)依次記為a1，a2，a3，…，a8，則有S=a1+a2+a3+…+a8=1+2+3+…+8=36。 　　假設(shè)任意3個(gè)相鄰頂點(diǎn)上的數(shù)都大于13，因?yàn)轫旤c(diǎn)上的數(shù)都是整數(shù)，所以 　　a1+a2+a3≥14； 　　a2+a3+a4≥14； 　　…… 　　a7+a8+a1≥14； 　　a8+a1+a2≥14。 　　將以上 8個(gè)不等式相加，得3S≥112，從而 S＞ 37，這與S=36矛盾。故結(jié)論是否定的。 4．解：假設(shè)這個(gè)數(shù)為A，它是自然數(shù)a的平方。 　　因?yàn)锳的各位數(shù)字之和888是3的倍數(shù)，所以a也應(yīng)是3的倍數(shù)。于是a的平方是9的倍數(shù)，但888不是9的倍數(shù)，這樣就產(chǎn)生了矛盾，從而A不可能是平方數(shù)。 5. 　　分析：我們先考慮正方形EFGH的特殊位置，即它的各邊與正方形ABCD的各邊對應(yīng)平行的情況（見上圖）。此時(shí)，顯然有 　　得出答案后，這個(gè)問題還得回到一般情況下去解決，解決的方法是將一般情況變成特殊情況。 解：自E向AB和AD分別作垂線EN和EM（右圖），則有 　　S=S△PME+S四邊形AMEQ 　　又S△PME=S△EQN，故 　　　 　S=S△EQN+S四邊形AMEQ 　　 　　 =S正方形AMEN 　　　 　　　　 6. 　分析與解：先考慮一種特殊的圖形：圍棋盤。它有38條直線、361個(gè)交點(diǎn)。我們就從這種特殊的圖形出發(fā)，然后進(jìn)行局部的調(diào)整。 　　先加上2條對角線，這樣就有40條直線了，但交點(diǎn)仍然是361個(gè)。再將最右邊的1條直線向右平移1段，正好增加了4個(gè)交點(diǎn)（見上圖）。于是，我們就得到了有365個(gè)交點(diǎn)的40條直線。 7. 分析：從這8個(gè)數(shù)都相等的特殊情況入手，它們滿足題目條件，從而得所求值為0。這就啟發(fā)我們?nèi)フf明a+b+c+d=e+f+g+h。 解：由已知得 　　3a=b+e+d，3b=a+c+f， 　　3c=b+d+g，3d=a+c+h， 　　推知 　　3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h， 　　a+b+c+d=e+f+g+h， 　?。╝+b+c+d）-（e+f+g+h）=0。 8. 分析：先討論n=3的情況，任取兩表： 　　1 　3　7　　1　2　3 　　2　5　6　　4　5　6 　　8　9　4　　7　8　9 　　左上表中x=6，y=4；右上表中x=3，y=3。兩個(gè)表都滿足x≥y，所以可以猜想x≥y。 解：設(shè)x是第i行第j列的數(shù)aij，y是第l行第m列的數(shù)alm?？紤]x所在的行與y所在的列交叉的那個(gè)數(shù)，即第i行第m列的數(shù)aim。顯然有aij≥aim≥alm，當(dāng)i=l，j=m時(shí)等號成立，所以x≥y。 9. 解：10到40之間的8個(gè)質(zhì)數(shù)是 　　11，13，17，19，23，29，31，37。 　　根據(jù)題目要求，除去最左邊和最右邊的2個(gè)質(zhì)數(shù)之外，剩下的6個(gè)質(zhì)數(shù)在同一行的2個(gè)質(zhì)數(shù)的和應(yīng)分別相等，等于這6個(gè)數(shù)中最小數(shù)（記為a）與最大數(shù)（記為b）之和a+b。根據(jù)a，b的大小可分為6種情況： 　　當(dāng)a=11，b=29時(shí)，無解； 　　當(dāng)a=11，b=31時(shí)，有11+31=13+29=19+23，得到如下填法： 　　當(dāng)a=11，b=37時(shí)，有11+37=17+31=19+29，得到如下填法： 　　當(dāng)a=13，b=31時(shí)，無解； 　　當(dāng)a=13， b=37時(shí)，無解； 　　當(dāng)a=17，b=37時(shí)，無解。 　　所以，共有2類填法。 10. 解：設(shè)四個(gè)數(shù)為a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，則六個(gè)和為a+b，a+c，a+d，b+c，b+d，c+d，其中a+b最小，a+c次小，c+d最大，b+d次大，a+d與b+c位第三和第四。 　　 　　分別解這兩個(gè)方程組，得 　　　　　　　 　11.　解：設(shè)這12個(gè)自然數(shù)從小到大依次為a1，a2，a3，…，a12，且它們兩兩相減最多只有2個(gè)差相等，那么差為1，2，3，4，5的都最多只有2個(gè)。從而 　　a12-a11，a11-a10，a10-a9，…，a2-a1， 　　這11個(gè)差之和至少為 　　2（1+2+3+4+5）+6=36， 　　但這11個(gè)差之和等于a12-a1＜36。這一矛盾說明，兩兩相減的差中，至少有3個(gè)相等。 　12.　解：設(shè)這8個(gè)物品的重量從重到輕依次排列為： 　　15≥a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＞a7＞a8≥1。 　　找出的這個(gè)物品重量為a5，第二輕的物品重量為a7。 　　由于a5加上一個(gè)比它輕的物品不可能大于兩個(gè)比a5重的物品重量之和，因而第一次必須篩去3個(gè)比a5重的物品。 　　這樣就有以下四種可能： 　　　　 　　先考慮第一種情況。根據(jù)①式，a4比a1至少輕3克，a5比a2，a6比a3也都至少輕3克，則a7比a8至少重 10克。根據(jù)②式，a5比a4至少輕1克，則a6比a7至少重 18克。與已知矛盾，第一種情況不可能出現(xiàn)。 　　按同樣的推理方法，可以說明第二種和第三種情況也不可能出現(xiàn)。 　　最后，考慮第四種情況。a1比a2至少重1克；a5比a3，a6比a4都至少輕1克，則a7比a8至少重4克。根據(jù)④式，a5比a4至少輕4克，則a6比a7至少重5克。這樣得到的這8個(gè)物品的重量分別為： 　　a1=15克， a2=14克， a3=13克， a4=12克， 　　a5=11克， a6=10克， a7=5克， a8=1克。 　　因此，找出的這個(gè)物品重11克，第二輕的物品重5克。