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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 第一章第3－4節(jié)簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞和量詞（理） 新人教A版選修2—1 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義； 2. 能正確地利用“或”、“且”、“非”表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容； 3. 知道命題的否定與否命題的區(qū)別； 4. 了解量詞在日常生活中和數(shù)學(xué)命題中的作用，正確區(qū)分全稱量詞和存在量詞的概念，并能準(zhǔn)確理解和使用這兩類量詞。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)： 1. 掌握真值表的表示方法； 2. 理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義； 3. 理解全稱量詞、存在量詞的概念與區(qū)別。 難點(diǎn)：理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，會(huì)正確使用全稱命題、存在性命題。 三、考點(diǎn)分析： 本部分內(nèi)容在高考中經(jīng)常滲透到一些試題中來(lái)考查，基本上單獨(dú)命題的可能性比較小，有時(shí)在小題中出現(xiàn)。解題的關(guān)鍵是理解三種邏輯聯(lián)結(jié)詞的概念以及運(yùn)用，這部分內(nèi)容在我們以后學(xué)習(xí)概率的時(shí)候也會(huì)用到。我們除了要掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞這部分知識(shí)外，還要理解全稱量詞和存在量詞的相互轉(zhuǎn)化。 一、邏輯聯(lián)結(jié)詞的基本概念 1. 邏輯聯(lián)結(jié)詞與復(fù)合命題的表示形式 我們把“或”、“且”、“非”稱為邏輯聯(lián)結(jié)詞，它們分別對(duì)應(yīng)于集合中的并、交、補(bǔ)的運(yùn)算。 我們常用小寫拉丁字母p，q，r，…表示命題，復(fù)合命題的構(gòu)成形式有三種： p或q； p且q； 非p。 非p也叫做命題p的否定。非p記作“”，“”讀作“非”（或“并非”），表示“否定”。 2. 復(fù)合命題的真值判定 當(dāng)p、q兩個(gè)命題都是真命題時(shí)，是真命題；當(dāng)p、q中有一個(gè)是假命題時(shí)，是假命題。全真為真，有假即假 當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)是真命題時(shí)，是真命題；當(dāng)p、q都是假命題時(shí)，是假命題。全假為假，有真即真 一般地，對(duì)一個(gè)命題p全盤否定，就得到一個(gè)新命題，記作：“p”，讀作“非p”或“p的否定”。 若p是真命題，則必是假命題；若p是假命題，則必是真命題。 “非”命題最常見(jiàn)的幾個(gè)正面詞語(yǔ)的否定： 正面 ＝ ＞ 是 都是 至多有一個(gè) 至少有一個(gè) 任意的 所有的 否定 ≠ ≤ 不是 不都是 至少有兩個(gè) 一個(gè)也沒(méi)有 某個(gè) 某些 二、全稱量詞與存在量詞 全稱量詞：如“所有的”、“任何”、“一切”、“任意一個(gè)”等。其表達(dá)的邏輯為：“對(duì)宇宙間的所有事物x來(lái)說(shuō)，x都是F?！崩洌骸八械聂~(yú)都會(huì)游泳?！庇涀鳌啊ⅰ钡?，表示個(gè)體域里的所有個(gè)體。 存在量詞：如“有”、“有的”、“有些”、“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等。其表達(dá)的邏輯為：“宇宙間至少有一個(gè)事物x，x是F?！崩洌骸坝械墓こ處熓枪と顺錾怼！庇涀鳌埃钡?，表示個(gè)體域里有的個(gè)體。 全稱命題：其公式為“所有S是P”。例句：“所有產(chǎn)品都是一等品”。全稱命題，可以用全稱量詞，也可以用“都”等副詞、“人人”等主語(yǔ)重復(fù)的形式來(lái)表達(dá)，甚至有時(shí)可以沒(méi)有任何的量詞標(biāo)志，如“人類是有智慧的”。含有全稱量詞的命題也稱全稱命題。 全稱命題的格式：“對(duì)M中的所有x，p（x）”的命題，記為： 特稱命題：其公式為“有的S是P”。例句：“大多數(shù)學(xué)生星期天休息”。特稱命題使用存在量詞，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量詞的命題也稱存在性命題。 存在性命題的格式：“存在于集合M中的元素x，q（x）”的命題，記為： 注意：存在量詞的“否”就是全稱量詞。 知識(shí)點(diǎn)一：簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞的運(yùn)用 例1. 對(duì)于下述命題，寫出“”形式的命題，并判斷“”與“”的真假： （1）（其中全集，，）。 （2）2＜x≤3。 （3）平方和為的兩個(gè)實(shí)數(shù)都為。 （4）100既能被4整除，又能被5整除。 （5）若。 （6）若，則中至少有一個(gè)為。 （7）一元二次方程至多有兩個(gè)解。 【思路分析】 題意分析：本題是對(duì)邏輯連結(jié)詞“或”“且”“非”的否定形式的考查。 解題思路：先分析題中涉及到哪個(gè)聯(lián)結(jié)詞，然后從意思上進(jìn)行否定。 【解答過(guò)程】 （1）；真，假； （2）x≤2或x＞3。 （3）平方和為的兩個(gè)實(shí)數(shù)不都為； （4）100不能被4整除，或不能被5整除； （5）若。 （6）若，則中都不為； （7）一元二次方程至少有三個(gè)解。 【題后思考】掌握復(fù)合命題的否定形式以及一些常用詞語(yǔ)的否定。 p∨q的否定是∧q p∧q的否定是∨q 例2. 命題方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根， 命題方程無(wú)實(shí)數(shù)根。若“且”“或”為真命題，求的取值范圍。 【思路分析】 題意分析：考查復(fù)合命題真值的運(yùn)用。 解題思路：先理解“或”為真命題，一真即真，再運(yùn)用集合中并集的思想解決該題。 【解答過(guò)程】 “或”為真命題，則為真命題，或?yàn)檎婷}，或和都是真命題 當(dāng)為真命題時(shí)，則，得； 當(dāng)為真命題時(shí)，則 當(dāng)和都是真命題時(shí)，取其交集，得 當(dāng)和至少有一個(gè)是真命題時(shí)取其并集，得 【題后思考】對(duì)于復(fù)合命題真值的判定，要能靈活地把邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合中的三種運(yùn)算對(duì)應(yīng)起來(lái)，再運(yùn)用集合的思想解題。 例3. 已知命題若非是的充分不必要條件，求的取值范圍。 【思路分析】 題意分析：考查了運(yùn)用邏輯聯(lián)結(jié)詞來(lái)解決不等式的求解與條件判定的綜合問(wèn)題。 解題思路：先求非表示的不等式的解集，然后利用集合間的包含關(guān)系來(lái)解決。 【解答過(guò)程】 而，即 【題后思考】對(duì)于邏輯條件的運(yùn)用，我們要能熟練地結(jié)合集合的思想來(lái)解決。 【小結(jié)】對(duì)于這部分內(nèi)容的解題方法，就是將命題轉(zhuǎn)換為集合，然后運(yùn)用集合的思想進(jìn)行求解運(yùn)算。一般以小題的形式進(jìn)行考查。 知識(shí)點(diǎn)二：全稱量詞和存在量詞的運(yùn)用 例4. 指出下述推理過(guò)程中邏輯上的錯(cuò)誤： 第一步：設(shè)a＝b，則有a2＝ab 第二步：等式兩邊都減去b2，得a2－b2＝ab－b2 第三步：因式分解得 （a＋b）（a－b）＝b（a－b） 第四步：等式兩邊都除以（a－b），得a＋b＝b 第五步：由a＝b代入，得2b＝b 第六步：兩邊都除以b，得2＝1 【思路分析】 題意分析：體會(huì)特稱命題與全稱命題的運(yùn)用。 解題思路：運(yùn)用綜合法從已知分析結(jié)論，注意對(duì)命題的準(zhǔn)確理解。 【解答過(guò)程】 第四步錯(cuò)：因a－b＝0，等式兩邊不能除以（a－b） 第六步錯(cuò)：因b可能為0，兩邊不能立即除以b，需分情況進(jìn)行討論。 【題后思考】（a＋b）（a－b）＝b（a－b） a＋b＝b是存在性命題，不是全稱命題，由此得到的結(jié)論不可靠。同理，由2b＝b2＝1亦是存在性命題，不是全稱命題。 例5. 判斷下列語(yǔ)句是不是全稱命題或存在性命題，如果是，用量詞符號(hào)表達(dá)出來(lái)。 （1）中國(guó)的所有江河都注入太平洋； （2）0不能作除數(shù)； （3）任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)實(shí)數(shù)； （4）每一個(gè)向量都有方向。 【思路分析】 題意分析：對(duì)于特稱命題、全稱命題的準(zhǔn)確理解。 解題思路：從句子的意思上進(jìn)行分析判定，注意一些字眼：所有、任何，句子中存在的這些詞語(yǔ)是解決問(wèn)題的突破點(diǎn)。分析后用量詞符號(hào)表示出來(lái)。 【解答過(guò)程】（1）全稱命題，河流x∈{中國(guó)的河流}，河流x注入太平洋； （2）存在性命題，0∈R，0不能作除數(shù)； （3）全稱命題，x∈R，； （4）全稱命題，，有方向。 【題后思考】判定語(yǔ)句屬于哪類命題，主要是找語(yǔ)句中的量詞，然后判定解決。 例6. 寫出命題的否定形式 （1）p：$ x∈R，x2＋2x＋2≤0； （2）p：有的三角形是等邊三角形； （3）p：有些函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)； （4）p：存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直且平分； （5）p：所有的矩形都是平行四邊形； （6）p：每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)； （7）p："xR，x2－2x＋1≥0。 【思路分析】 題意分析：對(duì)于全稱命題與特稱命題的否定的考查。 解題思路：掌握符號(hào)的表示，以及全稱命題與特稱命題的相互轉(zhuǎn)化。 【解答過(guò)程】 （1）" xR，x2＋2x＋2＞0； （2）任何三角形都不是等邊三角形； （3）任何函數(shù)都有反函數(shù)； （4）對(duì)于所有的四邊形，它的對(duì)角線不可能互相垂直或平分； （5）存在一個(gè)矩形不是平行四邊形； （6）否定：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)； （7）否定：$xR，x2－2x＋1＜0。 【題后思考】從集合的運(yùn)算觀點(diǎn)剖析：， "的否定：；的否定：" 例7. 已知命題：方程在[－1，1]上有解；命題：只有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足不等式，若命題“p或q”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 【思路分析】 題意分析：本題考查函數(shù)與方程以及不等式的解集和特稱命題的綜合運(yùn)用。 解題思路：先分析命題、的含義，再將其轉(zhuǎn)換為運(yùn)用集合的思想進(jìn)行解決。 【解答過(guò)程】 【題后思考】我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要充分體會(huì)全稱命題與特稱命題的運(yùn)用，準(zhǔn)確進(jìn)行命題的轉(zhuǎn)化和運(yùn)用。 【小結(jié)】對(duì)于本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們不僅要理解兩種量詞的概念，同時(shí)要深刻體會(huì)它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用。 對(duì)于這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們主要要理解三種邏輯聯(lián)結(jié)詞的概念，并能結(jié)合集合的思想解決有關(guān)復(fù)合命題的運(yùn)用。同時(shí)要關(guān)注存在性命題和全稱命題的轉(zhuǎn)換問(wèn)題。 一、預(yù)習(xí)新知 我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線是一個(gè)圓。如何改變平面與圓錐曲線的夾角，會(huì)得到什么圖形呢？ 二、預(yù)習(xí)點(diǎn)撥 探究與反思： 探究任務(wù)一：曲線的方程 【反思】 （1）什么是曲線的方程？ （2）什么是方程的曲線？ 探究任務(wù)二：求曲線的方程 【反思】 （1）求曲線方程的步驟 （2）如何合理的建系，使建立的方程最簡(jiǎn)單？ （答題時(shí)間：45分鐘） 一、選擇題 1. 若命題“p或q”為真，“非p”為真，則 （ ） A. p真q真 B. p假q真 C. p真q假 D. p假q假 2. “至多有三個(gè)”的否定為 （ ） A. 至少有三個(gè) B. 至少有四個(gè) C. 有三個(gè) D. 有四個(gè) 3. 有金盒、銀盒、鉛盒各一個(gè)，只有一個(gè)盒子里有肖像。金盒上寫有命題p：肖像在這個(gè)盒子里；銀盒上寫有命題q：肖像不在這個(gè)盒子里；鉛盒上寫有命題r：肖像不在金盒里。p、q、r中有且只有一個(gè)是真命題，則肖像在 （ ） A. 金盒里 B. 銀盒里 C. 鉛盒里 D. 不能確定在哪個(gè)盒子里 4. 不等式 對(duì)于恒成立，那么的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 5. “a和b都不是偶數(shù)”的否定形式是 （ ） A. a和b至少有一個(gè)是偶數(shù) B. a和b至多有一個(gè)是偶數(shù) C. a是偶數(shù)，b不是偶數(shù) D. a和b都是偶數(shù) 二、填空題： 6. 若關(guān)于的方程有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________ 7. 已知命題，，則是_____________________ 8. 下列四個(gè)命題 ①， ②，是有理數(shù)。 ③，使 ④，使 所有真命題的序號(hào)是_____________________。 三、解答題：（解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 9. 已知；，若－p是－q的必要非充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 10. 已知下列三個(gè)方程：中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。  1. B 解析：根據(jù)復(fù)合命題真值的判定得到。 2. B 解析：這是一個(gè)含有量詞的命題的否定。 3. B 本題考查復(fù)合命題及真值表. 解析：∵p＝非r，∴p與r一真一假，而p、q、r中有且只有一個(gè)真命題，∴q必為假命題，∴非q：“肖像在這個(gè)盒子里”為真命題，即：肖像在銀盒里. 評(píng)述：本題考查充要條件的基本知識(shí)，難點(diǎn)在于對(duì)周期概念的準(zhǔn)確把握。 4. B 解析：注意二次項(xiàng)系數(shù)為零也可以這一情況。 5. A 解析：“a和b都不是偶數(shù)”的否定為“a和b不都不是偶數(shù)”，等價(jià)于“a和b中至少有一個(gè)是偶數(shù)”。 6. 解析：結(jié)合一元二次方程的判別式以及韋達(dá)定理解決。 7. ，使 8. ①，②，③，④ 9. 解： ∵－p是－q的必要非充分條件，，即，又，得。 10. 解：假設(shè)三個(gè)方程：都沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則，即，得