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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 平面幾何例講解答競賽 基本內(nèi)容：五心性質(zhì)；共點(diǎn)線與共線點(diǎn)；共圓點(diǎn)；托勒密定理；西摩松定理； 斯特瓦特定理；面積方法；幾何變換；根軸與反演。 1、如圖，四邊形中，，自對角線的交點(diǎn)，作于，線段交于，交于，是線段上的任意一點(diǎn). 證明：點(diǎn)到線段的距離等于到線段、的距離之和. 證：易知，四邊形共圓，共圓，因此， . 即平分；又由共圓，得，即 平分. 設(shè)于，于， 于，過點(diǎn)作，交于，交于；過點(diǎn)作 ，交于，交于；再作于于，則由平行線及角平分線的性質(zhì)得，. 為證，只要證 . 由平行線的比例性質(zhì)得，，因此 ，由于與的對應(yīng)邊平行，且平分，故是的平分線. 從而 ，即所證結(jié)論成立. 2、在中，,內(nèi)心為，內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)分別為、, 設(shè)是關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，是關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn).求證：四點(diǎn)共圓. 證：設(shè)直線交的外接圓于點(diǎn)，易知是的中點(diǎn)。記的中點(diǎn)為，則．設(shè)點(diǎn)在直線上的射影為， 由于則半周長， 于是， 又， 所以∽，且相似比為2， 熟知；。又∽， 所以，即是的中點(diǎn) 進(jìn)而，， 所以都在以為圓心的同一個圓周上． 3、如圖，△中，分別是邊 上的點(diǎn)，在的延長線上分別取點(diǎn)，使 ；點(diǎn)分別是△，△的垂心. 證明：. 證：如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，則也是的中點(diǎn)，據(jù)中位線知，在△中，∥，； 在△中，∥，，即∥，， 所以△:△，且∥，. 為證，只要證. 以為圓心，為直徑作，其半徑記為；以為圓心，為直徑作，其半徑記為，設(shè)直線交于，交于，由于點(diǎn)是△的垂心，則，， 所以共圓，故有 … … 另一方面，由于可知，在上，在上，從而，因此化為， 即 … … 又設(shè)直線交于，交于，由于點(diǎn)是△的垂心，，則，，所以共圓，故有 … … 再由 可知，在上，在上，從而 ，因此化為， 即 … … 據(jù)、得，，所以 ，而∥，所以 . 4、如圖，⊙O1、⊙O2、⊙O3分別外切⊙O于A1、B1、C1，并且前三個圓還分別與△ABC的兩條邊相切. 求證：三條直線AA1、BB1、CC1相交于一點(diǎn). 證明：設(shè)及分別是四個圓的圓心，其半徑分別為與，的內(nèi)切圓半徑為，顯然，為的三條內(nèi)角平分線，故相交于其內(nèi)心.設(shè)（定值）. 記，，對于，因?yàn)椤袿 與的切點(diǎn)在連心線上，點(diǎn)在的延長線上，則直線必與線段相交，其交點(diǎn)設(shè)為. 同理可設(shè)，直線 .只須證重合. 直線截于，由梅尼勞斯定理，， 即 同理有 ,以及 易知 ，所以 ，從而 ，故 ，所以， ，因此共點(diǎn)，即交于一點(diǎn). 5、四邊形內(nèi)接于，，是的切線（為切點(diǎn)）；證明：三線共點(diǎn)． 證明：以為基本線，設(shè)， ，只要證，共點(diǎn)； 因?yàn)椋? ，只要證，， 即要證，； 因?yàn)椤?∽,∽,∽, 故分別得到，，，，； 所以， 因此結(jié)論得證． 6、四邊形內(nèi)接于，，，是的切線（為切點(diǎn)）；證明： （）四點(diǎn)共線； （）是的垂心． 證明：（）、據(jù)上題，三點(diǎn)共線，只要證，點(diǎn)在上，以為基本線，且設(shè)； 則，；只要證，， 即要證，，即 ． 因?yàn)椤?∽,∽,∽, 則 ，，，； 相乘得，，故結(jié)論得證． （）因是的切線，則垂直平分，而四點(diǎn)共線，則 ，據(jù)的對稱性，有（因?yàn)?，若自引的切線，類似可得，共線，垂直平分，所以）；因此，點(diǎn)為 的垂心．（同時，點(diǎn)也是的垂心）． 7、中，是角平分線上的任一點(diǎn)，分別是 延長線上的點(diǎn)，且∥，∥； 若分別是的中點(diǎn)； 證明：． 證：如圖，延長，分別與交于 ，注意關(guān)于頂點(diǎn)的等高性及等角性，由面積比定理，，（記號表示面積），所以 …… ① 又由∥，∥，得 ，，所以 ……②，由①、②得，即 ……③． 取的中點(diǎn)，據(jù)中位線知，∥,,∥,． 由③，，作角分線，則，因∥，∥，所以其角分線∥，因，得． 8、已知、分別是的外接圓和內(nèi)切圓； 證明：過上的任意一點(diǎn)，都可作一個三角形，使得、分別是的外接圓和內(nèi)切圓． 證：如圖，設(shè)，分別是的外接圓和內(nèi)切圓半徑，延長交于，則，，延長交于；則 ，即； 過分別作的切線，在上，連，則平分，只要證，也與相切； 設(shè)，則是的中點(diǎn)，連，則 ，， ， 所以， 由于在角的平分線上，因此點(diǎn)是的內(nèi)心， （這是由于，，而 ，所以，點(diǎn)是的內(nèi)心）．即弦與相切． 9、如圖，四邊形內(nèi)接于，而與外切于點(diǎn)，且都內(nèi)切于，若對角線分別是、的內(nèi)、外公切線； 證明：點(diǎn)是的內(nèi)心． 證：先證引理：若內(nèi)切于，的弦切 于，延長交于，則是的中點(diǎn)，且 ． 　如圖，作兩圓的公切線，因是的切線，則 ，而 ，所以，即是的中點(diǎn)， 又由:，得到． 回到本題，設(shè)，分別切于，切于，據(jù)引理知直線過的中點(diǎn)，則，而，， 所以，故在，的根軸上，即在內(nèi)公切線上，所以與重合，即是的中點(diǎn)，故平分；又由， 得，于是 ，即 ， 而，所以，因此平分，從而是的內(nèi)心． 10、銳角三角形中，，在邊上分別有動點(diǎn)，試確定，當(dāng)取得最小值時的面積． 解：對于任一個內(nèi)接，暫將固定，而讓在上移動，設(shè)的中點(diǎn)為，則由中線長公式， ，因此在固定后，欲使取得最小值，當(dāng)使達(dá)最小，但是為上的定點(diǎn)，則當(dāng)時，達(dá)最小，再對作同樣的討論，可知，當(dāng) 取得最小值時，的三條中線必定垂直于三角形的相應(yīng)邊；今設(shè)重心為，面積為，的面積為，則 …… 由于分別共圓，則 ，故由， ，同除以 ，得，所以 ，……，又由 ，即，所以，因而 ． （其中） 11、如圖，的外心為，是的中點(diǎn)，直線交于，點(diǎn)分別是的外心與內(nèi)心，若， 證明：為直角三角形. 證：由于點(diǎn)皆在的中垂線上，設(shè)直線交于，交于，則是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn); 因是的內(nèi)心，故共線，且. 又 是的中垂線，則，而為的內(nèi)、外角平分線，故有，則為的直徑，所以，，又因 ，則. 作于，則有， ，且，所以，，故得 ，因此，是的中位線，從而 ∥，而，則.故為直角三角形． 證二：記，因是的中垂線，則，由條件 延長交于，并記，則，對圓內(nèi)接四邊形用托勒密定理得，即，由、得，所以， 即是弦的中點(diǎn)，而為外心，所以，故為直角三角形． 12、試證費(fèi)爾巴赫定理： 三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切于其九點(diǎn)圓；而其三個旁切圓皆與九點(diǎn)圓相外切． 證：若為等腰三角形，顯然其內(nèi)切圓在底邊中點(diǎn)處與九點(diǎn)圓內(nèi)切； 只須考慮的三邊不等時的情況，如圖所示，設(shè)邊的中點(diǎn)分別為，內(nèi)切圓切這三邊于，，過作的切線交于，為切點(diǎn)，連，則點(diǎn)關(guān)于線對稱，所以，作于，連，，，設(shè)，是的中位線，， 因 ，所以 ……， 又由∥，得，因，則共圓， ，所以，得，因此 ……，即；又 ，所以 ，故共圓，，而在中， ，所以 …… 因中位線∥，，是直角三角形的斜邊中點(diǎn)，則 ，在中，，得 …， 由得，，故共圓，而過點(diǎn)、、的圓即是的九點(diǎn)圓，即在九點(diǎn)圓上，因此是的內(nèi)切圓與九點(diǎn)圓的公共點(diǎn)； 再證，這兩圓在點(diǎn)處相切：過作內(nèi)切圓的切線（點(diǎn)和點(diǎn)在直線的同側(cè)），與同是的切線，則，因共圓，， 故，從而與的外接圓相切于點(diǎn)，即與的九點(diǎn)圓相切于點(diǎn)．所以是兩圓的公切線，因此三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切于其九點(diǎn)圓． （用類似的方法可證得旁切圓與九點(diǎn)圓相切．采用結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換方法，先將旁切圓情形下的相應(yīng)點(diǎn)的符號以及輔助線仿照內(nèi)切圓情況給出，再將證明移植） 今考慮旁切圓情況，不妨設(shè)，為邊外的旁切圓，為的中點(diǎn)，若，則顯然與九點(diǎn)圓切于的中點(diǎn)； 若，如圖，設(shè)切于，角分線， 于，過作的切線，交于，為切點(diǎn)，連，則垂直平分，所以；是的中位線， ，又因 ， 所以 ……， 又由∥，得，因 ，則共圓， ，所以，得，因此 ……，即；又 ，所以 ，故共圓， ，因?yàn)橹形痪€∥，，而是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，，所以，故得，，所以共圓， 而過點(diǎn)、、的圓即是的九點(diǎn)圓，即在九點(diǎn)圓上，因此是的旁切圓與九點(diǎn)圓的公共點(diǎn)； 再證，這兩圓在點(diǎn)處相切：過作旁切圓的切線（在切線上，取點(diǎn)和點(diǎn)在直線的同側(cè)，取點(diǎn)和點(diǎn)在直線的異側(cè)），與同是的切線，則，因共圓，得，所以，即 ，從而與的外接圓相切于點(diǎn)，即與的九點(diǎn)圓相切于點(diǎn)．所以是兩圓的公切線，因此三角形的旁切圓，外切于其九點(diǎn)圓．