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2019-2020年高考數(shù)學(xué)滾動(dòng)檢測(cè)05向量數(shù)列不等式和立體幾何的綜合同步單元雙基雙測(cè)B卷文 一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分） 1. 【xx河南名校聯(lián)考】已知公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列， 則 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 2. 《莊子天下篇》中記述了一個(gè)著名命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”反映這個(gè)命題本質(zhì)的式子是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：由題得:是求首項(xiàng)為,公比為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.所以:故選D. 考點(diǎn)：等比數(shù)列求和. 3. 設(shè)是兩個(gè)非零的平面向量，下列說法正確的是（ ） ①若，則有； ②； ③若存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，則； ④若，則存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】B 【解析】 考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用. 4. 【xx遼寧凌源兩校聯(lián)考】若實(shí)數(shù)， 滿足不等式組 ， ，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】畫出可行域如圖所示,令=,化簡得,即過定點(diǎn)(-1,2)的直線系的斜率的取值范圍,由圖知當(dāng)直線過定點(diǎn)(-1,2)與交點(diǎn)(-3,1)連線時(shí)斜率為,此時(shí)斜率最小,則的取值范圍為,故選A. 5. 已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，且，則球的表面積為 （ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：三棱柱外接球 【思想點(diǎn)睛】空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解． (2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解． 6. 【xx黑龍江齊齊哈爾八中三?！咳鐖D，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】該幾何體是由兩個(gè)小三棱錐和一個(gè)圓錐組成， 所以體積為，故選A。 7. 【xx江西宜春調(diào)研】如圖（1），五邊形是由一個(gè)正方形與一個(gè)等腰三角形拼接而成，其中， ，現(xiàn)將進(jìn)行翻折，使得平面平面，連接，所得四棱錐如圖（2）所示，則四棱錐的外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 故選C. 點(diǎn)睛：本題考查了多面體的外接球，把不易求其外接球半徑的幾何體轉(zhuǎn)化為易求半徑的幾何體是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了補(bǔ)體的方法. 8. 設(shè)為兩個(gè)非零向量、的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，的最小值為1,（ ） A．若確定，則 唯一確定 B．若確定，則 唯一確定 C．若確定，則 唯一確定 D．若確定，則 唯一確定 【答案】B 【解析】 考點(diǎn)：1、平面向量的模；2、平面向量的夾角． 9. 【xx湖南瀏陽五校聯(lián)考】已知直線，平面且給出下列命題： ①若∥，則； ②若，則∥； ③若，則； ④若∥，則. 其中正確的命題是 A. ①④ B. ③④ C. ①② D. ①③ 【答案】A 【解析】若α∥β，且m⊥α?m⊥β，又l?β?m⊥l，所以①正確。 若α⊥β,且m⊥α?m∥β，又l?β，則m與l可能平行，可能異面，所以②不正確。 若m⊥l，且m⊥α，l?β?α與β可能平行，可能相交。所以③不正確。 若m∥l，且m⊥α?l⊥α又l?β?α⊥β，∴④正確。 故選：B. 10. 已知數(shù)列中，，，，則的前100項(xiàng)和為（ ） A．1250 B．1276 C．1289 D．1300 【答案】C 【解析】 試題分析：由條件得，則＝．因?yàn)?，所以，故選C． 考點(diǎn)：1、數(shù)列的性質(zhì)；2、等差數(shù)列的前項(xiàng)和． 11. 已知實(shí)數(shù)、滿足條件,若目標(biāo)函數(shù)的最小值為,則的值為（ ） A. B. C. D. 【來源】【百強(qiáng)校】xx屆廣東汕頭市普通高考高三第二次模擬數(shù)學(xué)（文）試卷（帶解析） 【答案】B 【解析】 考點(diǎn)：簡單的線性規(guī)劃. 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值. 12.如圖，在棱長為1的正方體的對(duì)角線上取一點(diǎn)，以為球心，為半徑作一個(gè)球，設(shè)，記該球面與正方體表面的交線的長度和為，則函數(shù)的圖像最有可能的是（ ） 【答案】B 【解析】 考點(diǎn)：函數(shù)圖象. 【思路點(diǎn)晴】球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個(gè)特殊情形：（1）當(dāng)；（2）當(dāng)；（3）當(dāng).其中（1）（3）兩種情形所得弧長相等且為函數(shù)的最大值，根據(jù)圖形的相似，（2）中的弧長為（1）中弧長的一半，對(duì)照選項(xiàng)，即可得出答案.本題考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查特殊值、小題小作的小題技巧. 二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分） 13. 若非零向量滿足,則夾角的余弦值為_______． 【答案】 【解析】 試題分析：由，得，即，所以＝． 考點(diǎn)：1、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；2、平面向量的夾角． 14. 如圖是棱長為1的正方體，是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為____________． 【答案】 【解析】 試題分析：按如圖所示作輔助線，為球心，設(shè)，則，同時(shí)由正方體的性質(zhì)知，則在中，，即，解得，所以球的半徑，所以球的表面積為． 考點(diǎn)：1、多面體的外接球；2、球的表面積． 【思路點(diǎn)晴】解答本題的關(guān)鍵是求出外接球的半徑，如何利用題設(shè)條件建構(gòu)含球的半徑的方程是解答好本題的關(guān)鍵之所在．求解時(shí)充分借助正方體和正四棱錐都是對(duì)稱圖形，將球心設(shè)在四棱錐與正方體底面的中心的連線上，借助截面圓的圓心與球心連線垂直于截面圓，運(yùn)用勾股定理求出了半徑． 15. 若直線過點(diǎn)，則的最小值為 ． 【來源】【百強(qiáng)?！縳x學(xué)年遼寧莊河高中高二10月考文數(shù)試卷（帶解析） 【答案】 【解析】 考點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用. 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是基本不等式求最值，整體代入并變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，對(duì)于此類題目而言，首先利用已知條件求出之間的關(guān)系，即，然后利用乘法對(duì)進(jìn)行處理，發(fā)現(xiàn)，可利用基本不等式進(jìn)行計(jì)算，即可求解，因此此類題目靈活運(yùn)用基本不等式是解題的關(guān)鍵. 16. 【xx湖南五市十校聯(lián)考】某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為__________． 【答案】 【解析】由三視圖知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長是2， 三棱柱的兩個(gè)底面的中心的中點(diǎn)與三棱柱的頂點(diǎn)的連線就是外接球的半徑， ，球的表面積. 點(diǎn)睛：本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點(diǎn)問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系，得到結(jié)果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等，然后同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線（這兩個(gè)多邊形需有公共點(diǎn)），這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點(diǎn)到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時(shí)也可利用補(bǔ)體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補(bǔ)成長方體，它們是同一個(gè)外接球. 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17. 已知等差數(shù)列的公差為，是它的前項(xiàng)和，，，成等比數(shù)列， （1）求和； （2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求。 【答案】（1）； （2） 【解析】試題分析： (1)結(jié)合題意求得數(shù)列的首項(xiàng)為，則其通項(xiàng)公式為，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得：； (2)結(jié)合(1)中求得的數(shù)列的前n項(xiàng)和可得,裂項(xiàng)求和可得：. 試題解析： （1）因?yàn)椋? 而，，成等比數(shù)列，所以， 即，解得 所以， （2）由（1）知 所以 點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的． 18. 在△中，角的對(duì)邊分別是，已知向量，，且． （1）求的值； （2）若，△的面積，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 試題分析：（1）先根據(jù)向量平行關(guān)系得，再由正弦定理，化角得，最后根據(jù)兩角和正弦公式及誘導(dǎo)公式得（2）由三角形面積公式得，即，再根據(jù)余弦定理得，解方程組得 試題解析：解：（1）∵，∴， 由正弦定理，得， 化簡，得﹒ ∵，∴﹒ 又∵，∵，∴． 考點(diǎn)：正余弦定理，兩角和正弦公式及誘導(dǎo)公式 19. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且. （Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列. （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）證明數(shù)列為等比數(shù)列，一般方法為定義法，即確定相鄰兩項(xiàng)的比值為非零常數(shù)：利用代入化簡，再說明不為零即可（Ⅱ）由（Ⅰ）先根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，即得，代入，可得，因此其前項(xiàng)和應(yīng)用錯(cuò)位相減法求 試題解析： 解（Ⅰ）證明： ∴ 又，∴， 所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，， 即. ∴. 于是，① ，② 由①-②得，， 即， ∴數(shù)列的前項(xiàng)和. 考點(diǎn)：等比數(shù)列定義及通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求和。 20. 【xx四川成都七中一模】如圖，四棱錐中， 平面， 為線段上一點(diǎn)， ， 為的中點(diǎn). （1）證明： （2）求四面體的體積. 【答案】（1）見解析（2） 解析：（1） 由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，即又，即故四邊形為平行四邊形，于是因?yàn)樗? （2）因?yàn)槠矫妫?為的中點(diǎn)，所以到平面的距離為取得中點(diǎn)，連接，由得由得到的距離為，故，所以四面體的體積為 21. 如圖所示，在四棱錐中，四邊形為矩形，△為等腰三角形，，平面平面，且，,,分別為，的中點(diǎn)． （1）證明：平面； （2）證明：平面平面； （3）求四棱錐的體積． 【答案】（1）（2）見解析（3）四棱錐的體積 【解析】 試題分析：（1）要證平面，由線面平行的判定定理，既要證平行于平面內(nèi)的一條直線，通過分析，證明即可；（2）要證平面平面，由面面垂直的判定定理，只要證明平面即可；（3）證明四棱錐的的高為，則體積可求 試題解析：（1）如圖，連接， ∵四邊形為矩形且是的中點(diǎn)， ∴也是的中點(diǎn)． 又是的中點(diǎn)，， ∵平面，平面，∴平面． （2）證明：∵面平面，，平面平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面． （3）取的中點(diǎn)為，連接， ∵平面平面，△為等腰直角三角形， ∴平面，即為四棱錐的高． ∵，∴，又， ∴四棱錐的體積． 考點(diǎn)：線面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，椎體的體積公式 22. 如右圖，已知是邊長為2的正方形，平面，，設(shè)，． （1）證明：； （2）求四面體的體積； （3）求點(diǎn)到平面的距離． 【答案】（1）見解析；（2）2；（3）2． 【解析】 試題解析：（1）由已知，是正方形，所以對(duì)角線， 因?yàn)槠矫?，所以? 因?yàn)?，相交，所以平面，從而? （2）四面體的體積 ， 所以四面體的體積為2． （3）先求△的三條邊長，，， 在直角梯形中易求出， 由余弦定理知，所以， ； 點(diǎn)到平面的距離為，由體積法知： ，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為2． 考點(diǎn)：1、線面垂直的性質(zhì)；2、線線垂直的判定；3、余弦定理；三角形面積公式；4、多面體的體積；5、空間距離．