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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復(fù)習 6.2等差數(shù)列及其前n項和教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.在解答題中對所求結(jié)論的運算進行等差數(shù)列的判斷與證明；2.運用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問題；3.考查等差數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用． 復(fù)習備考要這樣做　1.準確理解概念，掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式和性質(zhì)；2.注意不同性質(zhì)的適用條件和注意事項． 1． 等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母__d__表示． 2． 等差數(shù)列的通項公式 如果等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d. 3． 等差中項 如果A＝，那么A叫做a與b的等差中項． 4． 等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列． (5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． 5． 等差數(shù)列的前n項和公式 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項和Sn＝或Sn＝na1＋d. 6． 等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2＋n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn，(A、B為常數(shù))． 7． 等差數(shù)列的最值 在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，則Sn存在最__小__值． [難點正本　疑點清源] 1． 等差數(shù)列的判斷方法 (1)定義法：an－an－1＝d (n≥2)； (2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2. 2． 等差數(shù)列與等差數(shù)列各項和的有關(guān)性質(zhì) (1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差數(shù)列，公差為kd. (2)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． (3)S2n－1＝(2n－1)an. 3． 等差數(shù)列與函數(shù) 在d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次項系數(shù)為d；Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，二次項系數(shù)為，且常數(shù)項為0. 1． (xx江西)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝____. 答案　35 解析　兩個等差數(shù)列的和數(shù)列仍為等差數(shù)列． 設(shè)兩等差數(shù)列組成的和數(shù)列為{cn}，由題意知新數(shù)列仍為等差數(shù)列且c1＝7，c3＝21，則c5＝2c3－c1＝221－7＝35. 2． 已知兩個數(shù)列x，a1，a2，a3，y與x，b1，b2，y都是等差數(shù)列，且x≠y，則的值為________． 答案　 解析　∵a2－a1＝(y－x)，b2－b1＝(y－x)， ∴＝. 3． 已知等差數(shù)列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，則a5＝________. 答案　15 解析　∵{an}為等差數(shù)列，∴a3＋a8＝a5＋a6＝22， ∴a5＝22－a6＝22－7＝15. 4． (xx江西)設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項和，若S10＝S11，則a1等于(　　) A．18 B．20 C．22 D．24 答案　B 解析　因為S10＝S11，所以a11＝0. 又因為a11＝a1＋10d，所以a1＝20. 5． (xx遼寧)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11等于(　　) A．58 B．88 C．143 D．176 答案　B 解析　S11＝＝＝88. 題型一　等差數(shù)列基本量的計算 例1　(xx福建)在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值． 思維啟迪：等差數(shù)列基本量的計算，基本思想就是根據(jù)條件列方程，求等差數(shù)列的首項與公差． 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 從而an＝1＋(n－1)(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n， 所以Sn＝＝2n－n2. 由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7. 探究提高　(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題． (2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法． 設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0. (1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范圍． 解　(1)由題意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8. 所以 解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7. (2)方法一　∵S5S6＋15＝0， ∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即2a＋9da1＋10d2＋1＝0. 因為關(guān)于a1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0， 解得d≤－2或d≥2. 方法二　∵S5S6＋15＝0， ∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即2a＋9da1＋10d2＋1＝0. 故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8. 故d的取值范圍為d≤－2或d≥2. 題型二　等差數(shù)列的前n項和及綜合應(yīng)用 例2　(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝4n－25，求數(shù)列{|an|}的前n項和． 思維啟迪：(1)由a1＝20及S10＝S15可求得d，進而求得通項，由通項得到此數(shù)列前多少項為正，或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解．(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷出數(shù)列從第幾項開始變號． 解　(1)方法一　∵a1＝20，S10＝S15， ∴1020＋d＝1520＋d，∴d＝－. ∴an＝20＋(n－1)＝－n＋. ∴a13＝0，即當n≤12時，an>0，n≥14時，an<0， ∴當n＝12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S13＝S12＝1220＋＝130. 方法二　同方法一求得d＝－. ∴Sn＝20n＋＝－n2＋n ＝－2＋. ∵n∈N*，∴當n＝12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130. 方法三　同方法一求得d＝－. 又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴當n＝12或13時，Sn有最大值． 且最大值為S12＝S13＝130. (2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25， ∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝41－25＝－21. 所以數(shù)列{an}是以－21為首項，以4為公差的遞增的等差數(shù)列． 令 由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6. 即數(shù)列{|an|}的前6項是以21為首項，公差為－4的等差數(shù)列，從第7項起以后各項構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列， 而|a7|＝a7＝47－25＝3. 設(shè){|an|}的前n項和為Tn，則 Tn＝ ＝ 探究提高　求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：①利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉(zhuǎn)折項；②利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；③將等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值． (xx湖北)已知等差數(shù)列{an}前三項的和為－3，前三項的積為8. (1)求等差數(shù)列{an}的通項公式； (2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和． 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d. 由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5或an＝3n－7. (2)當an＝－3n＋5時，a2，a3，a1分別為－1，－4,2，不成等比數(shù)列； 當an＝3n－7時，a2，a3，a1分別為－1,2，－4，成等比數(shù)列，滿足條件． 故|an|＝|3n－7|＝ 記數(shù)列{|an|}的前n項和為Sn. 當n＝1時，S1＝|a1|＝4；當n＝2時，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 當n≥3時，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(33－7)＋(34－7)＋…＋(3n－7) ＝5＋＝n2－n＋10. 當n＝2時，滿足此式． 綜上，Sn＝ 題型三　等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 例3　設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn，已知前6項和為36，Sn＝324，最后6項的和為180 (n>6)，求數(shù)列的項數(shù)n. 思維啟迪：在等差數(shù)列中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，在涉及數(shù)列前n項和及某些項和的問題中常用到此性質(zhì)． 解　由題意可知a1＋a2＋…＋a6＝36① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180② ①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5) ＝6(a1＋an)＝216. ∴a1＋an＝36.又Sn＝＝324， ∴18n＝324.∴n＝18. 探究提高　本題的解題關(guān)鍵是將等差數(shù)列性質(zhì)m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq與前n項和公式Sn＝結(jié)合在一起，采用整體思想，簡化解題過程． (1)設(shè)數(shù)列{an}的首項a1＝－7，且滿足an＋1＝an＋2 (n∈N＋)，則a1＋a2＋…＋a17＝________. (2)等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數(shù)列前20項和等于________． 答案　(1)153　(2)180 解析　(1)∵an＋1－an＝2， ∴{an}為等差數(shù)列．∴an＝－7＋(n－1)2， ∴a17＝－7＋162＝25， S17＝＝＝153. (2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78?(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54?a1＋a20＝18?S20＝20＝20＝180. 整體思想在等差數(shù)列解題中的應(yīng)用 典例：(12分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝m，前m項和Sm＝n (m≠n)，求它的前m＋n項的和Sm＋n. 審題視角　(1)Sm＋n＝a1(m＋n)＋d＝(m＋n)，這樣只要求出a1＋d即可．(2)由Sn，Sm可以構(gòu)造出a1＋d，并求出． 規(guī)范解答 解　方法一　設(shè){an}的公差為d，則由Sn＝m，Sm＝n， 得[4分] ②－①得(m－n)a1＋d＝n－m， ∵m≠n，∴a1＋d＝－1.[8分] ∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋d ＝(m＋n)＝－(m＋n)．[12分] 方法二　設(shè)Sn＝An2＋Bn (n∈N*)， 則[4分] ③－④得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m.[6分] ∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1， ∴A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)， ∴Sm＋n＝－(m＋n)．[12分] 溫馨提醒　(1)本題的兩種解法都突出了整體思想，其中方法一把a1＋d看成了一個整體，方法二把A(m＋n)＋B看成了一個整體，解起來都很方便． (2)整體思想是一種重要的解題方法和技巧．這就要求學生要掌握公式，理解其結(jié)構(gòu)特征． (3)本題的易錯點是，不能正確運用整體思想的運算方法，不能建立數(shù)量間的關(guān)系，導(dǎo)致錯誤. 方法與技巧 1． 等差數(shù)列的判斷方法 (1)定義法：an＋1－an＝d (d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (3)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn (A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． 2． 方程思想和化歸思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解． 失誤與防范 1．如果p＋q＝r＋s，則ap＋aq＝ar＋as，一般地，ap＋aq≠ap＋q，必須是兩項相加，當然也可以是ap－t＋ap＋t＝2ap. 2．當公差d≠0時，等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù)，當公差d＝0時，an為常數(shù)． 3．公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.若某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項起成等差數(shù)列． A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx福建)等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差為 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　方法一　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由題意得 解得∴d＝2. 方法二　∵在等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5. 又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2. 2． 數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a10＝33，a2＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S20－2S10等于(　　) A．40 B．200 C．400 D．20 答案　C 解析　S20－2S10＝－2 ＝10(a20－a10)＝100d，又a10＝a2＋8d， ∴33＝1＋8d，∴d＝4，∴S20－2S10＝400. 3． 已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有 (　　) A．a(chǎn)1＋a101>0 B．a(chǎn)2＋a100<0 C．a(chǎn)3＋a99＝0 D．a(chǎn)51＝51 答案　C 解析　由題意，得a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101＝0.所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0. 4． (xx大綱全國)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k等于 (　　) A．8 B．7 C．6 D．5 答案　D 解析　∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝21＋(2k＋1)2＝4k＋4＝24，∴k＝5. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝________. 答案　13 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則由已知，得解得 所以a6＝a1＋5d＝13. 6． (xx遼寧)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S2＝S6，a4＝1，則a5＝________. 答案?。? 解析　由題意知 解得　∴a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1. 7． 在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2 (n≥1)，則該數(shù)列的通項an＝________. 答案　2n－1 解析　∵an＋1－an＝2(n≥1)，∴{an}為等差數(shù)列， ∴an＝1＋(n－1)2，即an＝2n－1. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知等差數(shù)列{an}的公差是正數(shù)，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求它的通項公式． 解　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a3＋a7＝a4＋a6＝－4，a3a7＝－12， 所以a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的兩根． 因為d>0，所以a30，a8<0，故n＝7時，Sn最大． 方法二　由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當n＝7時，Sn最大． 方法三　根據(jù)a1＝13，S3＝S11，則這個數(shù)列的公差不等于零，且這個數(shù)列的和先是單調(diào)遞增然后又單調(diào)遞減，根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，以及二次函數(shù)圖象的對稱性，得只有當n＝＝7時，Sn取得最大值． 3． 已知數(shù)列{an}中，a3＝2，a5＝1，若是等差數(shù)列，則a11等于 (　　) A．0 B. C. D. 答案　A 解析　記bn＝，則b3＝，b5＝，數(shù)列{bn}的公差為＝，b1＝，∴bn＝，即＝，∴an＝，故a11＝0. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝________. 答案　15 解析　設(shè)等差數(shù)列的公差為d， 則S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，① S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.② 聯(lián)立①②兩式得a1＝－1，d＝2，故a9＝a1＋8d＝－1＋82＝15. 5． 設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，若對任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為________． 答案　 解析　∵{an}，{bn}為等差數(shù)列， ∴＋＝＋＝＝. ∵＝＝＝＝，∴＝. 6． (xx湖北)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升． 答案　 解析　設(shè)所構(gòu)成數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， 依題意即 解得 ∴a5＝a1＋4d＝＋4＝. 三、解答題 7． (13分)已知等差數(shù)列{an}中，公差d>0，前n項和為Sn，a2a3＝45，a1＋a5＝18. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn＝ (n∈N*)，是否存在一個非零常數(shù)c，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請說明理由． 解　(1)由題意知，{an}是等差數(shù)列，且公差d>0， 則由得 解得　∴an＝4n－3 (n∈N*)． (2)由bn＝＝＝， ∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n. ∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)， ∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列． 即存在一個非零常數(shù)c＝－，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列．