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2019-2020年高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué) 第二章 2.5 反函數(shù)教案 新人教A版 鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.反函數(shù)定義：若函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域?yàn)镃，由這個(gè)函數(shù)中x、y的關(guān)系，用y把x表示出來(lái)，得到x=φ(y).如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=φ(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù).這樣的函數(shù)x=φ(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作x=f-1(y). 在函數(shù)x=f-1(y)中，y表示自變量，x表示函數(shù).習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，y表示函數(shù)，因此我們常常對(duì)調(diào)函數(shù)x=f-1(y)中的字母x、y，把它改寫成y=f-1(x). 2.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象間關(guān)系 y=f(x)與y=f-1(x)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱. 3.求反函數(shù)的步驟 (1)解關(guān)于x的方程y=f(x),得到x=f-1(y); (2)把第一步得到的式子中的x、y對(duì)換位置，得到y(tǒng)=f-1(x); (3）求出并說(shuō)明反函數(shù)的定義域〔即函數(shù)y=f(x)的值域〕. 二、點(diǎn)擊雙基 1． y=(1≤x≤2)的反函數(shù)是( ) A.y=1+(-1≤x≤1) B.y=1+(0≤x≤1) C.y=1-(-1≤x≤1) D.y=1-(0≤x≤1) 解析：y2=-(x-1)2+1,(x-1)2=1-y2,x-1=,即y=1+(0≤x≤1). 答案：B 2．若函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f-1(x)=2x+1,則f(1)的值為( ) A.4 B.-4 C.1 D.-1 解析:令2x+1=1x=-1, ∴f(1)=-1.故選D. 答案:D 3．已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)是f-1(x)=logm+1(+m)(m>0),則方程f(x)=2 006的解集為( ) A.{-1} B.{-1,1} C.{1} D. 答案:由反函數(shù)的概念知f-1(2 006)=logm+1(+m)=1. 所以方程f(x)=2 006的解集為{1}.故選C. 答案:C 4．函數(shù)f(x)=-x2(x∈(-∞,-2))的反函數(shù)f-1(x)=________________. 解析:y=-x2(x≤-2),y≤-4, ∴x=-.x、y互換, ∴f-1(x)=-(x≤-4). 答案:-(x≤-4) 5．已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為f-1(x)=logsinθ(-cos2θ)，其中0<θ<，則方程f(x)=2 006的解是_________. 解析:由題意得f-1(2 006)=logsinθ(-cos2θ)=logsinθ(1-cos2θ)=logsinθsin2θ=2. 答案:x=2 誘思實(shí)例點(diǎn)撥 【例1】設(shè)f-1(x)是函數(shù)f(x)=(ax-a-x)(a>1)的反函數(shù),則使f-1(x)>1成立的x的取值范圍為( ) A.(,+∞) B.(-∞,) C.(,a) D.［a,+∞］ 解法一:求得f-1(x)=loga(x+)(a>1).由f-1(x)>1得loga(x+)>logaa, ∴x+>a,解得x>. 解法二:∵a>1, ∴f(x)=(ax-a-x)為增函數(shù). 根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的定義域、值域之間的關(guān)系,f-1(x)>1,即在f(x)中,在x>1的條件下,求f(x)的范圍. ∴f(x)>f(1)=(a-a-1)=. 答案:A 講評(píng):解析一為常規(guī)解法,即求出反函數(shù)解析式. 解法二巧妙地利用函數(shù)與反函數(shù)的定義域、值域的關(guān)系以及函數(shù)的單調(diào)性,可以起到事半功倍的作用. 【例2】 求函數(shù)f(x)=的反函數(shù). 解:當(dāng)x≤-1時(shí)，y=x2+1≥2，且有x=-,此時(shí)反函數(shù)為y=-(x≥2). 當(dāng)x＞-1時(shí)，y=-x+1＜2，且有x=-y+1,此時(shí)反函數(shù)為y=-x+1(x＜2=. ∴f(x)的反函數(shù)f-1(x)=. 講評(píng):分段函數(shù)應(yīng)在各自的條件下分別求反函數(shù)式及反函數(shù)的定義域，分段函數(shù)的反函數(shù)也是分段函數(shù). 【例3】 (1)已知函數(shù)y=ax+b的圖象過(guò)點(diǎn)(1,4),其反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,0),求a的值. (2)已知f(x)=,求f-1(). 解:(1)由函數(shù)y=ax+b的圖象過(guò)點(diǎn)A(1,4),得a+b=4. ① 由y=ax+b的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,0),則原來(lái)的函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0,2), 所以a0+b=2. ② 解①②,得a=3,b=1. (2)由=,得2-22x=1+2x, 所以32x=1. 所以2x=. 所以x=log2,即f-1()=log2. 鏈接提示 (1)若點(diǎn)M(a,b)在原函數(shù)y=f(x)的圖象上,那么點(diǎn)M′(b,a)在反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上. (2)f(a)=bf-1(b)=a.