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-1-,第四章,線性方程組的解的結(jié)構(gòu),,4.4 線性方程組在幾何中的應用,4.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.1 線性方程組解的存在性定理,-2-,4.1 線性方程組解的存在性定理,在前面的章節(jié)學習中，我們已經(jīng)研究的關(guān)于線性 方程組的求解問題，本章將在整理前面知識點的同時， 深入研究解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。,-3-,(4-1),(矩陣形式),(向量形式),(原始形式),,,,-4-,非齊次方程組解的存在性定理,對于非齊次方程組,(4-1),向量 可由A的列向量組,線性表示。,-5-,,,,的系數(shù)行列式,Cramer法則,則方程組有唯一解,且解為:,(4-2),-6-,齊次方程組解的存在性定理,(4-3),(矩陣形式),(向量形式),(原始形式),,,,-7-,對于齊次方程組,(1),A的列向量組線性無關(guān),(2),A的列向量組線性相關(guān),推論1,當方程的個數(shù)m小于未知量的個數(shù)n，則(4-3) 必有非零解。,-8-,,,,有非零解,(4-4),學習書P.135 例2,-9-,第四章,線性方程組的解的結(jié)構(gòu),,4.4 線性方程組在幾何中的應用,4.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.1 線性方程組解的存在性定理,-10-,4.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),,(2) 解集的秩是多少?,(3) 解集的最大無關(guān)組(又稱為基礎解系) 如何求?,(1) 解集的特點?,稱：,-11-,性質(zhì)1：若 是 的解，,性質(zhì)2：,注：,如果(4-3)只有零解，解空間是零空間。 如果(4-3)有非零解，解空間是非零空間。,性質(zhì),而在解空間中，基的概念我們在這里稱為基礎解系。,首先回答問題(1),-12-,線性無關(guān)；,的任一解都可以由,線性,基礎解系,表示,則稱,下面我們用一個例子回答第(2)和第(3)個問題， 同時也是定理4.2.1的例證。,( 取任意實數(shù)),從而,也是(4-3)的解。,-13-,,,通過下面的例子, 針對一般的方程組,回答所提問題.,第一步:對系數(shù)矩陣 A 初等行變換化行最簡形 B,從行最簡形能得到什么？,-14-,第二步：寫出同解的方程組(保留第一個未知數(shù)在方程的左邊,其余的都移到右邊. 右邊的又叫自由變量),自由變量的個數(shù)=?,,,,-15-,是解嗎?,線性無關(guān)嗎?,任一解都 可由 表示嗎?,是基礎解系嗎?,基礎解系所含向量的個數(shù) = ?,第四步:寫出基礎解系,再來分析一下基礎解系的由來:,第二步的同解方程組為,第三步的通解為,-16-,就是,類似的……,這就啟發(fā)我們, 由于基礎解系所含解向量的個數(shù)正好等于自由變量的個數(shù)(這里3個).,必然是線性無關(guān)的, 從而也是基礎解系.由此得到解法2.,-17-,第一步:同前,第二步:同前,第三步: 令,第四步:寫出通解,-18-,則齊次線性方程組,的基礎解系存在，,且每個基礎解系中含有,個解向量。,則齊次線性方程組,的任意 個線性無關(guān),的解向量均可構(gòu)成基礎解系。,解空間的維數(shù)是 dim(N(A))=n - r(A).,-19-,且線性無關(guān)，則_______是AX=O的基礎解系。,(2),(3),則_______可為AX=O的基礎解系。,(4),練習,(1),(2),作業(yè):P142 1;3,-20-,設 ,證明,證,因此,移項,重要結(jié)論,第四章,線性方程組的解的結(jié)構(gòu),,4.4 線性方程組在幾何中的應用,4.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.2 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4.1 線性方程組解的存在性定理,-22-,4.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),以下總假設,有解, 而其對應的齊次方程組,的基礎解系為,這里,-23-,性質(zhì),(2) 設 是(1)的解, 是(2)的解,則 仍是(1)的解.,設 是(1)的一個解(固定), 則對(1)的任一解 x,是 (2)的解,從而存在 使得,又形如(3)的向量( 任取)都是(1)的解.,由此得:,(3),-24-,設 是(1)的任一解, 則(1)的通解為,解,-25-,,,得齊次方程組的基礎解系,于是所有通解,,即得方程組的一個解,作業(yè):P147 1(1);2;3,-26-,,,有無窮多解？,唯一解？,無解？,有無窮多解時求其通解？,解,,即,,,,,,練習,-27-,,,,其通解為,,,,自學:P145 例3,例4,例5,-28-,設四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,,已知 是它的三個解向量, 且,求該方程組的通解.,,,,解,取 , 則它就是解,從而也是基礎解系.,基礎解系所含向量個數(shù) = 4 – 3 = 1,故非齊次方程組的通解為,-29-,證明,設 , 首先證明,利用這一結(jié)論,證,-30-,,,是 Ax=0 的解,是 Ax=b 的解,※,※,,,