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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 點(diǎn)到直線的距離教案 理 教材分析 點(diǎn)到直線的距離是解析幾何的重要內(nèi)容之一，它的應(yīng)用十分廣泛．點(diǎn)到直線的距離是指由點(diǎn)向直線引垂線的垂線段的長．我們知道，求點(diǎn)到點(diǎn)的距離，有“工具”———兩點(diǎn)間的距離公式可用，同樣有必要?jiǎng)?chuàng)造出一套“工具”來方便地解決點(diǎn)到直線的距離問題，也就是說：已知點(diǎn)P（x1，y1）和直線l：Ax＋By＋C＝0，（A，B不全為0），目標(biāo)是設(shè)法用已知的量x1，y1，A，B，C把點(diǎn)P到l的距離表示出來，當(dāng)作公式用．教材上公式的推導(dǎo)運(yùn)用了兩點(diǎn)間的距離公式，具體做法是作直線m過點(diǎn)P與l垂直，設(shè)垂足為Po（xo，yo），Po滿足直線m的方程，也滿足直線l的方程，將Po的坐標(biāo)分別代入直線m和直線l的方程，通過恒等變形利用兩點(diǎn)間的距離公式，推出點(diǎn)到直線的距離公式．這種方法思路清晰，學(xué)生易于接受，但恒等變形較抽象，學(xué)生難于掌握，故教學(xué)中應(yīng)注意啟發(fā)學(xué)生怎樣想到這樣變形．這樣既可以活躍學(xué)生的思維，又可以鍛煉其發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力．公式的推導(dǎo)方法還有很多，對學(xué)有余力的同學(xué)可加以啟發(fā)，展開討論，以培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力． 這節(jié)課的重點(diǎn)是理解和掌握點(diǎn)到直線的距離公式，并能熟練地應(yīng)用公式求點(diǎn)到直線的距離，難點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)． 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過探索點(diǎn)到直線距離公式的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生探索與研究問題能力． 2. 理解和掌握點(diǎn)到直線的距離公式，體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用的過程，數(shù)形結(jié)合、化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力． 任務(wù)分析 這節(jié)課是在學(xué)習(xí)了“兩點(diǎn)間的距離公式”、“兩條直線的位置關(guān)系”的基礎(chǔ)上引入的，通過復(fù)習(xí)兩直線垂直、兩直線相交及兩點(diǎn)間的距離公式，學(xué)生容易想到把點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問題．為了利用兩點(diǎn)間的距離公式，須要求垂足的坐標(biāo)．若利用垂線與已知直線相交解出垂足的坐標(biāo)，想法自然，但求解較繁，為了簡化解題過程，自然要想其他方法，教材采用了設(shè)而不求，整體代換來解決問題，簡單明了，但恒等變形較難，因此，通過分析兩點(diǎn)間的距離公式與點(diǎn)到直線距離的聯(lián)系和區(qū)別，找到恒等變形的思路是解決問題的關(guān)鍵．本課通過觀察、分析掌握兩點(diǎn)間距離公式的特點(diǎn)，總結(jié)應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式的步驟；通過例題和練習(xí)使學(xué)生掌握并能應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式解決有關(guān)問題；通過探索和研究有關(guān)問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情境 1. 某供電局計(jì)劃年底解決本地區(qū)一個(gè)村莊的用電問題，經(jīng)過測量，若按部門內(nèi)部設(shè)計(jì)好的坐標(biāo)圖（以供電局為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正半軸，正北方向?yàn)椋S的正半軸，長度單位為km），則這個(gè)村莊的坐標(biāo)是（15，20），它附近只有一條線路通過，其方程為3x－4y－10＝0．問：要完成任務(wù)，至少需要多長的電線？ 這實(shí)際上是一個(gè)求點(diǎn)到直線的距離問題，那么什么是點(diǎn)到直線的距離，如何求村莊到線路的距離呢？ 2. 在學(xué)生思考討論的基礎(chǔ)上，教師收集學(xué)生各種的求法，得常見求法如下： （1）設(shè)過點(diǎn)P（15，20）與l：3x－4y－10＝0垂直的直線為m，易求m的方程為4x＋3y－120＝0．由 解得即m與l的交點(diǎn) 由兩點(diǎn)間的距離公式，得 故要完成任務(wù)，至少需要9km長的電線． （2）設(shè)直線l：3x－4y－10＝0與x軸的交點(diǎn)為Q，則Q（，0）．在直線l上任取一點(diǎn)M（0，－），易讓向量＝（，）與向量n＝（3，－4）垂直． 設(shè)向量與向量n的夾角為θ，點(diǎn)P到直線l的距離為d，由向量的數(shù)量積的定義易知 （3）設(shè)過點(diǎn)P（15，20）與l：3x－4y－10＝0垂直的直線為ｍ，易求ｍ的方程為4（x－15）＋3（y－20）＝0． 設(shè)垂足為Po（xo，yo），則4（xo－15）＋3（yo－20）＝0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?、? 又因?yàn)辄c(diǎn)Po在l上，所以3xo－4yo－10＝0，即3xo－4yo＝10， 而315－420－10＝315－420－3xo＋4yo＝－3（xo－15）＋4（yo－20）， 即3（xo－15）－4（yo－20）＝45．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ② 把等式①和等式②兩邊相加，得 25［（xo－15）2＋（yo－20）2］＝452， ∴（xo－15）2＋（yo－20）2＝， 3. 教師展現(xiàn)學(xué)生們的求法，師生共同點(diǎn)評(píng)各種求法，得出：求垂線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式使問題得解，想法雖自然，但計(jì)算量較大；不求垂足的坐標(biāo)，設(shè)出垂足的坐標(biāo)代入直線方程，進(jìn)而通過等式變形，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得結(jié)果，想法既巧妙，又簡單明了． 二、建立模型 設(shè)坐標(biāo)平面上（如圖24-1），有點(diǎn)P（x1，y1）和直線l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全為0）． 我們來尋求點(diǎn)到直線l距離的算法． 作直線m通過點(diǎn)P（x1，y1），并且與直線l垂直，設(shè)垂足為P0（x0，y0）．容易求得直線m的方程為 B（x－x1）－A（y－y1）＝0． 由此得B（x0－x1）－A（y0－y1）＝0．① 由點(diǎn)P0在直線l上，可知Ax0＋By0＋C＝0， 即C＝－Ax0－By0． 所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0， 即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．② 把等式①和②兩邊平方后相加，整理可得 （A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2， 即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝ 容易看出，等式左邊即為點(diǎn)P（x1，y1）到直線l距離的平方．由此我們可以得到點(diǎn)P（x1，y1）到直線l的距離d的計(jì)算公式： 歸納求點(diǎn)P（x1，y1）到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離的計(jì)算步驟如下： （1）給出點(diǎn)的坐標(biāo)x1和y1賦值． （2）給A，B，C賦值． （3）計(jì)算 注意：（1）在求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般式． （2）當(dāng)直線與x軸或y軸平行時(shí)，公式也成立，但此時(shí)求距離一般不用公式． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 求點(diǎn)P（－1，2）到下列直線的距離： l1：2x＋y＝5，　　　l2：3x＝2． 注意：規(guī)范解題格式． 2. 求兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，（C1≠C2）之間的距離． 分析：求兩條平行線間的距離，就是在其中一條直線上任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)到另一條直線的距離． 解：在l1上任取一點(diǎn)P（x1，y1），則Ax1＋By＝－C1，點(diǎn)P到l2的距離d＝ 3. 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，證明：等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高． 解：以等腰三角形底邊所在的直線為x軸，底邊上的高所在的直線為ｙ軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖24-2）． 不妨設(shè)底邊｜AB｜＝2a，高｜OC｜＝b，則直線AC： 即bx－ay＋ab＝0； 直線BC：，即bx＋ay－ab＝0， ∴點(diǎn)B（a，0）． 在線段AB上任取一點(diǎn)D（m，0）， 則－a≤m≤a． ∴d1＋d2＝，即等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高． ［練　習(xí)］ 1. 求下列點(diǎn)到直線的距離． （1）0（0，0），l1：3x＋4y－5＝0． （2）A（1，0），l2：x＋y－＝0． （3）B（1，2），l3：3x＋y＝0． （4）C（－2，3），l4：y－7＝0． 2. 求兩條平行直線2x＋3y－8＝0和2x＋3y＋18＝0之間的距離． 3. （1）求過點(diǎn)A（－1，2），且與原點(diǎn)的距離為的直線方程． （2）若點(diǎn)P（x，y）在直線x＋y－4＝0上，O為原點(diǎn)，求OP的最小值． （3）若△ABC的三頂點(diǎn)分別為A（7，8），B（0，4），C（2，－4），求△ABC的面積． （4）求點(diǎn)P（0，1）關(guān)于直線x－2y＋1＝0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)． （5）求直線2x＋11y＋16＝0關(guān)于點(diǎn)P（0，1）對稱的直線方程． 四、拓展延伸 1. 點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用非常廣泛，你能舉例說明它在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用嗎？ 2. 點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)方法有很多，對學(xué)有余力的同學(xué)可探索其他推導(dǎo)方法，下面介紹兩種常見的推導(dǎo)方法． （1）如圖，已知點(diǎn)P0（x0，y0），直線l：Ax＋By＋C＝0，求點(diǎn)P0到直線l的距離． 不妨設(shè)A≠0，B≠0，這時(shí)l和x軸、y軸都相交．過點(diǎn)P0作直線l的垂線，交l于Q．令｜P0Q｜＝d，過P0作x軸的平行線交l于R（x1，y0），作y軸的平行線交l于S（x0，y2）． 由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0得 易證A＝0或B＝0，公式也成立． （2）點(diǎn)到直線的距離公式也可用向量的知識(shí)求得，此法更能體現(xiàn)出代數(shù)與幾何的聯(lián)系，比其他方法更簡單，直觀，易懂．求法如下： ①如圖24-4，證明向量n＝（A，B）與直線l垂直． 不妨設(shè)A≠0，直線l與x軸的交點(diǎn)是Q（－，0）． 如果P1（x1，y1）是直線l上不同于Q的點(diǎn)，則Ax1＋By1＋C＝0． ∴A（x1＋）＋B（y1－0）＝0， 即（A，B）（x1＋，y1－0）＝0， ∴向量n＝（A，B），與向量＝（x1＋，y1－0）垂直，即向量n與直線l垂直． ②求點(diǎn)P0到直線l的距離d． 由數(shù)量積的定義，如果向量與向量n的夾角為θ，那么 易證當(dāng)A＝0或B＝0時(shí)，公式也成立． 點(diǎn)　評(píng) 這節(jié)課首先通過實(shí)例闡述了點(diǎn)到直線距離的產(chǎn)生背景，并通過學(xué)生思考討論，歸納和概括出了求點(diǎn)到直線的距離的常用方法，然后按照由特殊到一般的思路，找出了推導(dǎo)點(diǎn)到直線距離公式的方法．這種安排充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)理念，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)精神．例題與練習(xí)的設(shè)計(jì)由淺入深，完整，全面．解釋應(yīng)用深有新意，有深度．拓展延伸活躍了學(xué)生思維，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力．總之，這篇案例較好地體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)教育發(fā)展的一絲新理念．