2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.1 第2課時(shí) 綜合法和分析法教案 新人教A版選修1-2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.1 第2課時(shí) 綜合法和分析法教案 新人教A版選修1-2 (教師用書獨(dú)具) ●三維目標(biāo) 1.知識(shí)與技能 結(jié)合學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例,了解直接證明的基本方法:分析法.了解分析法的思維過(guò)程、特點(diǎn). 2.過(guò)程與方法 會(huì)用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,提高學(xué)生思維能力. 3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過(guò)學(xué)生參與,激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,端正嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度,提高逆向思維的論證能力. ●重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn):掌握分析法的思維過(guò)程、特點(diǎn)及其解題步驟,會(huì)用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題. 難點(diǎn):根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn),結(jié)合分析法的思考過(guò)程、 特點(diǎn),應(yīng)用分析法證明較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 分析法是從結(jié)論到條件的邏輯推理方法,即從題目結(jié)論入手索證結(jié)論成立的充分條件,經(jīng)過(guò)一系列的中間推理索證,最后要把證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等),所以對(duì)結(jié)論變形、轉(zhuǎn)化是問(wèn)題解決的關(guān)鍵,也是問(wèn)題的突破點(diǎn),應(yīng)該重點(diǎn)講解. (教師用書獨(dú)具) ●教學(xué)建議 建議本節(jié)課采取探究式教學(xué)方法,教師主要作用在“引導(dǎo)”“點(diǎn)撥”,讓學(xué)生自主思考分析法的證明特點(diǎn),掌握分析法的證明格式與解題步驟,對(duì)于不同類型的問(wèn)題如何思考、如何進(jìn)行逆向推理,教師應(yīng)給出必要的指導(dǎo).另外應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)由結(jié)論去索證問(wèn)題成立的充分條件,從結(jié)論入手并不是說(shuō)證明就不需要已知條件,而是證明過(guò)程要時(shí)時(shí)處處關(guān)注已知,將證明引向已知或明顯成立的式子是證明的關(guān)鍵.證明過(guò)程每一步都需可逆.在解答每一個(gè)例證前,最好先引導(dǎo)學(xué)生分析出思維路線圖,然后再由學(xué)生給出證明. ●教學(xué)流程 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引出問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)直接證明的方法之一——分析法.讓學(xué)生自主完成填一填,使學(xué)生進(jìn)一步了解分析法的證明格式、步驟等.引導(dǎo)學(xué)生分析例題1中所證結(jié)論的轉(zhuǎn)化條件及轉(zhuǎn)化方向,師生共同探究逆向推理思路,學(xué)生自主完成證明過(guò)程,教師指導(dǎo)完善,并完成互動(dòng)探究.學(xué)生分組探究例題2的證明思路,總結(jié)分析法證明數(shù)列問(wèn)題的規(guī)律方法.完成變式訓(xùn)練中三角恒等問(wèn)題的證明. 完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo),鞏固所學(xué)知識(shí)及應(yīng)用方法.并進(jìn)行反饋矯正.歸納整理,進(jìn)行課堂小結(jié),整體認(rèn)識(shí)本節(jié)所學(xué)知識(shí),強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)內(nèi)容和規(guī)律方法.學(xué)生自主完成例題3,總結(jié)分析法綜合法相結(jié)合綜合應(yīng)用的特點(diǎn).并仿照例題3完成變式訓(xùn)練.讓學(xué)生自主分析例題3,老師適當(dāng)點(diǎn)撥解題思路,學(xué)生分組討論給出解法.老師組織解法展示,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律. 課標(biāo)解讀 1.了解分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的格式、步驟.(重點(diǎn)) 2.理解分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn),會(huì)用分析法證明較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題.(難點(diǎn)) 分析法 【問(wèn)題導(dǎo)思】 證明不等式:+2<2+成立,可用下面的方法進(jìn)行. 證明:要證明+2<2+, 由于+2>0,2+>0, 只需證明(+2)2<(2+)2. 展開得11+4<11+4,只需證明6<7, 顯然6<7成立. ∴+2<2+成立. 1.本題證明從哪里開始? 【提示】 從結(jié)論開始. 2.證題思路是什么? 【提示】 尋求每一步成立的充分條件. 1.分析法的定義 從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等),這種證明方法叫做分析法. 2.分析法的框圖表示 Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一個(gè)明顯 成立的條件 應(yīng)用分析法證明不等式 設(shè)a,b為實(shí)數(shù),求證:≥(a+b). 【思路探究】 分析:討論≥(a+b)成立的條件,分a+b≥0和a+b<0兩種情況. 【自主解答】 若a+b<0,≥(a+b)顯然成立. 若a+b≥0,要證≥(a+b)成立, 只需證a2+b2≥(a+b)2成立, 即證a2+b2≥(a2+2ab+b2)成立, 即證(a2-2ab+b2)≥0, 即(a-b)2≥0成立, 因?yàn)?a-b)2≥0成立,且以上每步都可逆. 所以a+b≥0時(shí),≥(a+b)成立, 綜上可知:a,b為實(shí)數(shù)時(shí),≥(a+b)成立. 1.分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論. 2.用分析法證明不等式是從要證的不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式. 3.用分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí),一定要恰當(dāng)?shù)赜煤梅赐品?hào)“?”或“要證明”、“只需證明”、“即證明”等詞語(yǔ). 已知a>0,b>0,證明不等式+≥a+b. 【證明】 要證+≥a+b, 只需證a3+b3≥a2b+b2a, 只需證a3+b3-a2b-b2a≥0, 即證(a-b)2(a+b)≥0. 又a>0,b>0,(a-b)2(a+b)≥0顯然成立. 因此,原不等式成立. 用分析法證明其他問(wèn)題 在數(shù)列{an}中,a1=,an+1=an+,設(shè)bn=2nan,證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列. 【思路探究】 分析{bn}成為等差數(shù)列的條件是否成立. 【自主解答】 要證{bn}為等差數(shù)列, 只要證bn+1-bn=d(常數(shù))(n≥1), 即證2n+1an+1-2nan為常數(shù). 即證2n+1(an+)-2nan為常數(shù), 而2nan+1-2nan=1為常數(shù)成立. ∴{bn}是等差數(shù)列. 1.利用分析法證明時(shí),在敘述過(guò)程中“要證”“只需證”“即要證”這些詞語(yǔ)必不可少,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. 2.逆向思考是用分析法證題的主題思想,通過(guò)反推,逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件,正確把握轉(zhuǎn)化方向,使問(wèn)題順利獲解. 已知α,β≠kπ+(k∈Z),且sin θ+cos θ=2sin α,sin θcos θ=sin2β, 求證:=. 【證明】 =?= ?cos2α-sin2α= ?2(1-2sin2α)=1-2sin2β ?4sin2α-2sin2β=1, 由已知得:4sin2α=sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ, =1+2sin θcos θ, 2sin2β=2sin θcos θ, ∴4sin2α-2sin2β=1成立, ∴=成立. 綜合法和分析法的綜合應(yīng)用 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C為等差數(shù)列,且a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊. 求證:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1. 【思路探究】 利用分析法得出c2+a2=b2+ac,再利用綜合法證明其成立. 【自主解答】 要證(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1, 即證+=, 只需證+=3. 化簡(jiǎn),得+=1, 即c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c), 所以只需證c2+a2=b2+ac. 因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列, 所以B=60, 所以cos B==, 即a2+c2-b2=ac成立. ∴(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1成立. 1.綜合法推理清晰,易于書寫,分析法從結(jié)論入手,易于尋找解題思路. 2.在實(shí)際證明命題時(shí),常把分析法與綜合法結(jié)合起來(lái)使用. 已知a、b、c是不全相等的正數(shù),且0<x<1. 求證:logx+logx+logx<logx a+logx b+logx c. 【證明】 要證明logx+logx+logx<logx a+logx b+logx c, 只需要證明logx()<logx(abc). 由已知0<x<1,只需證明>abc. 由公式≥>0,≥>0,≥>0. 又∵a,b,c是不全相等的正數(shù), ∴>=abc. 即>abc成立. ∴l(xiāng)ogx+logx+logx<logx a+logx b+logx c成立. 因邏輯混亂而出錯(cuò) 設(shè)向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),若tan αtan β=16,求證:a∥b. 【錯(cuò)解】 ∵a∥b,且a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β), ∴(4cos α)(4cos β)=sin αsin β, 即sin αsin β=16cos αcos β, ∴=16, ∴tan αtan β=16,即結(jié)論正確. 【錯(cuò)因分析】 以上證明混淆了已知和結(jié)論,把頭腦中的分析過(guò)程當(dāng)成了證明過(guò)程,如果按分析法書寫就正確了;當(dāng)然,本題用綜合法書寫證明過(guò)程更簡(jiǎn)潔. 【防范措施】 分析法的優(yōu)點(diǎn)是方向明確,思路自然,故利于思考,但表述易錯(cuò);綜合法的優(yōu)點(diǎn)是易于表達(dá),條理清晰,形式簡(jiǎn)捷,故我們一般用分析法尋求解題思路,用綜合法書寫解題過(guò)程. 【正解】 分析法:要證明a∥b,而a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β), ∴即要證明(4cos α)(4cos β)=sin αsin β, 即要證sin αsin β=16cos αcos β, 即要證=16,即要證tan αtan β=16, 而tan αtan β=16已知,所以結(jié)論正確. 綜合法:∵tan αtan β=16,∴=16, 即sin αsin β=16cos αcos β, ∴(4cos α)(4cos β)=sin αsin β, 即a=(4cos α,sin α)與b=(sin β,4cos β)共線, ∴a∥b. 1.綜合法的特點(diǎn)是:從已知看可知,逐步推出未知. 2.分析法的特點(diǎn)是:從未知看需知,逐步靠攏已知. 3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法思考起來(lái)比較自然,容易尋找到解題的思路和方法,缺點(diǎn)是思路逆行,敘述較繁;綜合法從條件推出結(jié)論,較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題,但不便于思考.實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用,先用分析法探索證明途徑,然后再用綜合法敘述出來(lái). 1.直接證明中最基本的兩種證明方法是( ) A.類比法和歸納法 B.綜合法和分析法 C.比較法和二分法 D.換元法和配方法 【解析】 根據(jù)綜合法和分析法的定義可知,二者均為直接證明方法. 【答案】 B 2.欲證-<-,只需要證( ) A.(-)2<(-)2 B.(-)2<(-)2 C.(+)2<(+)2 D.(--)2<(-)2 【解析】 ∵-<0,-<0, ∴要證-<-,只需證 +<+, 即證(+)2<(+)2. 【答案】 C 3.在證明命題“對(duì)于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的過(guò)程“cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”中應(yīng)用了( ) A.分析法 B.綜合法 C.分析法和綜合法綜合使用 D.間接證法 【解析】 符合綜合法的證明思路. 【答案】 B 4.已知a>b>0,試用分析證明>. 【證明】 要證明>(由a>b>0,得a-b>0). 只需證(a2-b2)(a+b)>(a2+b2)(a-b), 只需證(a+b)2>a2+b2,即2ab>0, 因?yàn)閍>b>0,所以2ab>0顯然成立. 因此當(dāng)a>b>0時(shí),>成立. 一、選擇題 1.下列表述: ①綜合法是由因?qū)Чǎ? ②綜合法是順推法; ③分析法是執(zhí)果索因法; ④分析法是間接證明法; ⑤分析法是逆推法. 其中正確的語(yǔ)句有( ) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 【解析】 結(jié)合綜合法和分析法的定義可知①②③⑤均正確,分析法和綜合法均為直接證明法,故④不正確. 【答案】 C 2.要證明+<+(a≥0)可選擇的方法有多種,其中最合理的是( ) A.綜合法 B.類比法 C.分析法 D.歸納法 【解析】 要證+<+, 只需證2a+7+2<2a+7+2, 只需證<, 只需證a(a+7)<(a+3)(a+4), 只需證0<12, 故選用分析法最合理. 【答案】 C 3.已知f(x)=是奇函數(shù),那么實(shí)數(shù)a的值等于( ) A.1 B.-1 C.0 D.1 【解析】 當(dāng)a=1時(shí),f(x)=,f(-x)==-f(x),f(x)為奇函數(shù). a=-1,0時(shí)得不出f(x)為奇函數(shù),故A正確. 【答案】 A 4.下列函數(shù)f(x)中,滿足“對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),當(dāng)x1- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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